2023年高三下学期5月上海高考数学模拟预测卷01解析
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合，，2，3，4，，则 ，2， ．
【分析】求出集合，利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合，
，2，3，4，，
则，2，．
故答案为：，2，．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算滶解能力，是基础题．
2．已知复数满足，则 ．
【分析】直接利用商的模等于模的商求解．
【解答】解：，．
故答案为：．
【点评】本题考查复数模的求法，考查转化思想，是基础题．
3．的展开式中的系数为 210 （用数字表示）．
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解．
【解答】解：的通项为，
令，
所以展开式中的系数为．
故答案为：210．
【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
4．已知服从正态分布，且，则 0.1 ．
【分析】由正态分布的对称性求解即可．
【解答】解：由题知：，故，
又，
故．
故答案为：0.1．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．已知单位向量，满足，若向量，则向量，的夹角为 ．
【分析】根据题意，设向量，的夹角为，由数量积的性质求出以及的值，进而求出的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为，
由于，则，则，
，
故，
又由，则．
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
6．已知公比大于1的等比数列满足，，则的公比 2 ．
【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值．
【解答】解：由题意可得，则，
上述两个等式作商可得，即，
因为，解得．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
7．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价（单位：元）与销售量（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格 8 9.5 10.5 12
销售量 16 10 8 6 5
经分析知，销售量件与价格元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则 10 ．
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解值．
【解答】解：，，
则样本点的中心的坐标为，
代入，得，
解得：．
故答案为：10．
【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
8．正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
【分析】由基本不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案．
【解答】解：由题，
则，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9．已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量，则的期望为 ．
【分析】讨论从甲盒中随机取到球的颜色，进而确定对应的可能取值，分别求出对应概率，再应用独立事件乘法公式、互斥概率求法求各可能情况的概率，最后求期望即可．
【解答】解：若从甲盒中随机取到的为红球且概率为，则的可能取值为1，2，
则，，
若从甲盒中随机取到的为白球且概率为，则的可能取值为0，1，2，
则，，，
综上，，，
，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，化归转化思想，属中档题．
10．设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为 ．
【分析】设，则函数的图象与直线有三个不同的交点，利用导数得到函数的单调性及极值，进而作出函数的图象，根据图象即可得到的范围．
【解答】解：由可得，，
设，则函数的图象与直线有三个不同的交点，
又，
则当或时，，当时，，
即函数在，上单调递减，在上单调递增，
则，且时，，当时，，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使函数的图象与直线有三个不同的交点，则．
故答案为：．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
11．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为 ．
【分析】利用椭圆与双曲线的对称性，结合椭圆与双曲线的定义求得，的长，构造平行四边形，利用平行四边形法则求得的长度，然后利用余弦定理及基本不等式求得离心率乘积的最小值．
【解答】解：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
由椭圆与双曲线的定义，可得，，
解得：，，
四边形为平行四边形，，
．
，，
即，
，
则与的离心率之积．
与的离心率之积的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单几何性质，考查圆锥曲线定义的应用，考查运算求解能力，是中档题．
12．已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数，若对于任意的，2，，，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若，，，为“同心圆数列”，则的最小值为 64 ．
【分析】求出当时，，，，最多能表示个数字，由即可求解的最小值．
【解答】解：对于此题，我们先从简单的算起．
当时，则最多能表示共1个数字；
当时，则，最多能表示，，共3个数字；
当时，则，，最多能表示，，，，，共6个数字；
当时，则，，，最多能表示个数字；
．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查运算求解能力，属于难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是
A． B． C． D．
【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可．
【解答】解：对于，函数在上递减，故不符题意；
对于，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为奇函数，
又函数在单调递增，故符合题意；
对于，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以函数为偶函数，故不符合题意；
对于，函数，
因为，所以函数不是增函数，故不符题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
14．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为，、，、，、，、，和，六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是
A．这14天中空气质量指数的中位数是179
B．从1日到5日空气质量越来越好
C．这14天中有7天空气质量为“重度污染”
D．连续三天中空气质量指数方差最小是8日到10日
【分析】将14天的空气质量指数由小到大依次排列，即可得出中位数，判断项；观察数据可判断项；由图形数据即可得出项；计算可得，12日到14日空气质量指数的方差小于8日到10日空气质量指数的方差．
【解答】解：对于，由折线图知：
14天的空气质量指数由小到大依次为：
80，83，138，155，157，165，179，214，214，221，243，260，263，275，
中位数为，故错误；
对于，1日为214，2日为275，空气质量变差，故项错误；
对于项，由折线图知：
14天的空气质量指数在区间，内的有：
214，214，221，243，260，263，275，共7天（第1天和第12天均为，故项正确；
对于项，经计算可得8日到10日空气质量指数方差为1792.89，
12日到14日空气质量指数方差为，故错误．
故选：．
【点评】本题考查折线图、中位数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
A． B． C． D．
【分析】由题意易得点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，进而求解即可．
【解答】解：若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，
在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；
在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）；
在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，
故点的轨迹长度为．
故选：．
【点评】本题考查轨迹的长度的计算，属中档题．
16．如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
A．6 B．8 C． D．
【分析】在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，连接，，，，，利用△△全等，得到，当点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和最小时，即当为直线与椭圆的交点时，求解即可得到答案．
【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，
连接，，，，，
在△与△中，，其中为球半径，
，为公共边，
所以△△，所以，
设沿圆锥表面到达的路径长为，
则，
当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号，
，
故从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是6．
故选：．
【点评】本题以双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当为直线与椭圆的交点时取得最值．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．
（1）证明：平面平面．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）由（1）得平面，，则建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：过点作于点，如图所示：
四边形为等腰梯形，，，
，
又，，则，
在中，由余弦定理得，
，即是直角三角形，
，
又，，平面，平面，
平面，
又平面，则平面平面；
（2）由（1）得平面，，则建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，，则，0，，，1，，，1，，，，，
，，，，1，，，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，，，
设直线与平面的夹角为，
，，
故直线与平面所成角的正弦值为；
【点评】本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到
优秀 非优秀 合计
男 30
女 50
合计 100
参考公式及数据：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【分析】（1）运用频率分布直方图中位数计算公式可求得结果．
（2）计算出优秀人数完成列联表，再运用独立性检验判断即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以竞赛成绩的中位数在，内．
设竞赛成绩的中位数为，则，解得，
所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．
（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，
竞赛成绩为“优秀”的有：人，
由此可得完整的列联表：
优秀 非优秀 合计
男 20 30 50
女 40 10 50
合计 60 40 100
零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关．
因为，
所以有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．
【点评】本题主要考查独立性检验公式，属于中档题．
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形，上部是圆弧，该圆弧所在的圆心为，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗（其中，在圆弧上，，在弦上）．过作，交于，交于，交圆弧于，已知，（单位：，记通风窗的面积为（单位：．
（1）设，将表示成的函数；
（2）通风窗的高度为多少时，通风窗的面积最大？
【分析】（1）由，，所以，在和矩形中，得到和，代入矩形面积公式即可求解；
（2）令，则，利用函数单调性即可求解．
【解答】解：（1）因为，，所以，
在中，，
在矩形中，，
故，
即所求函数关系是；
（2）选择（1）中的函数模型：
因为，令，
则，
因为当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取到最大值，此时有最大值，
即时，通风窗的面积最大．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点．过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的横坐标为，求△与△面积的比值；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据左顶点求出，根据点在椭圆上，求出，则可得椭圆的标准方程；
（2）根据题意求出，两点的坐标，再求出两个三角形的面积后可得比值；
（3）先建立直线的方程，与椭圆方程联立求出的坐标，然后建立直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，借助点在椭圆上，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）因为左顶点，所以，
因为点在椭圆上，所以，得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为点的横坐标为，所以由题意可得点的纵坐标为，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，代入，消去并整理得：，
解得或，所以的横坐标为0，则的纵坐标为，
所以，，
所以△与△面积的比值为．
（3）设直线的方程为，
联立消去并整理得，
所以，所以，
所以，所以，
若，则，，
因为，所以，所以与不垂直；
所以，因为，，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
由解得，所以，，
又点，在椭圆上，
所以，
即，解得，
因为，所以．
【点评】本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
定义域为的函数，其导函数为．若对任意，均有，则称函数为上的梦想函数．
（1）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（2）已知函数，为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；
（3）已知函数，，为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．
【分析】（1）按照梦想函数的定义举反例即可；
（2）求出，由为上为梦想函数，得在上恒成立，分离出参数后转化为函数最值解决；
（3）求出，由题意得在，恒成立，即在，上恒成立．时易判断成立；当时，可得对任意，恒成立．令，利用导数可求得的最小值及其范围，从而得到的范围，进而得到答案；
【解答】解：（1）函数不是其定义域上的梦想函数．
理由如下：的定义域，，
存在，使，
故函数不是其定义域上的梦想函数．
（2），，
若函数在上为梦想函数，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在内的值域为，
所以．
（3），由题意在，恒成立，
故，即在，上恒成立．
①当时，显然成立；
②当时，由，可得对任意，恒成立．
令，则，
令，
则．
当时，因为，所以在单调递减；
当时，因为，所以在单调递增．
，，
当时，的值均为负数．
，，
当时，有且只有一个零点，且．
当时，，所以，可得在单调递减；
当，时，，所以，可得在，单调递增．
则．
因为，所以，
．
在上单调递增，，，
，
所以，即．
又因为，所以的最大整数值为．
【点评】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．2023年高三下学期5月上海高考数学模拟预测卷01
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合，，2，3，4，，则 ．
2．已知复数满足，则 ．
3．的展开式中的系数为 （用数字表示）．
4．已知服从正态分布，且，则 ．
5．已知单位向量，满足，若向量，则向量，的夹角为 ．
6．已知公比大于1的等比数列满足，，则的公比 ．
7．2023年五一节到来之前，某市物价部门对本市5家商场的某种商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场这种商品的售价（单位：元）与销售量（单位：件）之间的一组数据如下表所示：
价格 8 9.5 10.5 12
销售量 16 10 8 6 5
经分析知，销售量件与价格元之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为，则 ．
8．正数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
9．已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量，则的期望为 ．
10．设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为 ．
11．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，、分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为 ．
12．已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数，若对于任意的，2，，，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若，，，为“同心圆数列”，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是
A． B． C． D．
14．空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为，、，、，、，、，和，六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是
A．这14天中空气质量指数的中位数是179
B．从1日到5日空气质量越来越好
C．这14天中有7天空气质量为“重度污染”
D．连续三天中空气质量指数方差最小是8日到10日
15．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
A． B． C． D．
16．如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是
A．6 B．8 C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．
（1）证明：平面平面．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到
优秀 非优秀 合计
男 30
女 50
合计 100
参考公式及数据：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形，上部是圆弧，该圆弧所在的圆心为，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗（其中，在圆弧上，，在弦上）．过作，交于，交于，交圆弧于，已知，（单位：，记通风窗的面积为（单位：．
（1）设，将表示成的函数；
（2）通风窗的高度为多少时，通风窗的面积最大？
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，、分别是椭圆的左、右焦点．过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的横坐标为，求△与△面积的比值；
（3）若，求的值．
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
定义域为的函数，其导函数为．若对任意，均有，则称函数为上的梦想函数．
（1）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；
（2）已知函数，为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；
（3）已知函数，，为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．
