2023年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点专题测评（附答案）
（共12小题，每小题10分，满分120分）
1．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；
（3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．
2．已知抛物线y＝ax2+3x+的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b为常数）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线y＝﹣x+4与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；
（3）如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF∥x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点E，当AE+CE取得最小值时，E点坐标为 ；此时AE与BC的位置关系是 ，tan∠ACE＝ ；
（3）抛物线对称轴右侧的函数图象上是否存在点M，满足∠ACB＝∠BAM，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）若抛物线上一动点Q，当∠BAQ＝∠ACO时，直接写出Q点坐标 ．
5．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）点Q在抛物线上，连接CQ，当tan∠QCB＝时，连接AQ交直线BC于点M，求的值．
6．已知抛物线：y＝ax2﹣6ax﹣16a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点G是AC的中点．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴．
（2）直线y＝﹣x与抛物线交于点M，N且MO＝NO，求抛物线解析式．
（3）已知点P是（2）中抛物线上第四象限内的动点，过点P作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．若以点C，P，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点P的坐标．
7．如图，抛物线y＝x +bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点E是抛物线上第四象限内的一点，且S△ABE＝2，求点E的坐标；
（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以点B，C，M，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
9．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c，点A（4，3）对称轴是直线x＝2．顶点为B．抛物线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AD⊥x轴于点D，点E是线段AC上的动点（点E不与A、C两点重合）．
（1）求抛物线的函数解析式和顶点B的坐标；
（2）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两个四边形，求点E的坐标；
（3）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
10．如图1，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点（与端点不重合），过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于点F．
（1）若反比例函数y＝的图象正好过点C，求k的值；
（2）求当△PEF面积最大时，点P的坐标；
（3）如图2，将二次函数y＝﹣x2+2x+1关于x轴对称得到新抛物线y′，y′的顶点为C'，再将y′沿直线AB的方向平移得到新抛物线y″，y″的顶点为C″．在y″平移过程中，是否存在一个合适的位置，使得△ABC″是一个直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点C″的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；
（2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E．
①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；
②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线的表达式．
12．在直角坐标系中，⊙A的半径是2，圆心A的坐标为（1，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，直线BC与⊙A交于点C，与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰好为点 E、F，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ECM的周长最小时，请直接写出点M的坐标．
参考答案
1．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，
∴S四边形ABPC＝S△OAC+S△OPB+S△OPC
＝×2×1+×4（﹣m2+m+2）+×2m
＝﹣m2+4m+5
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，S最大是9，
∴点P的坐标为（2，﹣3）；
（3）设P（x，x2﹣x﹣2），
∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），
∴BC＝＝2，PC＝，AC＝，
∵S△PCB＝S四边形ABPC﹣S△ABC＝﹣x2+4x+5﹣×5×2＝﹣x2+4x＝BC PF＝PF，
∴PF＝，
∵PF⊥BC于点F，
∴∠PFC＝∠AOC＝90°，
①△PCF∽△CAO时，
∴，
∴，解得：x1＝0（与点C重合，舍去），x2＝，
∴点P的坐标为（，﹣）；
②△PCF∽△ACO时，
∴，
∴，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝3，
∴点P的坐标为（3，﹣2）；
综上，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．
2．解：（1）∵抛物线y＝ax2+3x+的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，
∴a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+，
令y＝0，则﹣x2+3x+＝0，
解得x＝﹣1或x＝7，
∴A（﹣1，0），B（7，0）；
（2）存在，理由如下：
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，
令x＝0，则y＝，
∴C（0，），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
设P（t，﹣t2+3t+），则D（t，﹣t+），
∴PD＝﹣t2+t，
S四边形PBOC＝S△BCO+S△PBC＝××7+×7×（﹣t2+t）
＝+[﹣（t﹣）2+]，
∴当t＝时，四边形PBOC的面积最大为，
此时P（，）；
（3）设M（m，﹣m2+3m+），N（m，﹣m+），
∴MN＝|﹣m2+m|，
∵MN＝3，
∴|﹣m2+m|＝3，
∴﹣m2+m＝3或﹣m2+m＝﹣3，
解得m＝或m＝或m＝1或m＝6，
∴M（，）或M（，）或M（1，6）或M（6，）．
3．解：（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x+4；
（2）过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，
设P（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴GP＝﹣t2+t，
令y＝0，则x＝3，
∴D（3，0），
∵S△CDP＝S△PCG﹣S△PDG＝×PG×t﹣×PG×（t﹣3）
＝×PG×3
＝×（﹣t2+t）
＝﹣t2+7t
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△CDP有最大值，
此时P（，）；
（3）存在点M，使得△MEF≌△COD，理由如下：
∵ME⊥CD，
∴∠MEF＝90°，
∵MF∥x轴，
∴∠FME＝∠CDO，
∵△MEF≌△COD，
∴MF＝CD，
∵OC＝4，OD＝3，
∴CD＝5，
∴FM＝5，
设M（m，﹣m2+m+4），则F（m﹣5，﹣m2+m+4），
∵FF点在直线CD上，
∴﹣m2+m+4＝﹣（m﹣5）+4，
∴m＝2或m＝5，
∴M（2，8）或M（5，4）．
4．解：（1）二次函数y＝x2+bx+3，令x＝0，则y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC＝1，
∵tan∠ABC＝1，即＝1，
∴OC＝OB＝1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B （3，0）代y＝x2+bx+3得32+3b+3＝0，
解得：b＝﹣4，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1）．对称轴为x＝﹣2，
解方程（x﹣2）2﹣1＝0，得：x1＝1，x2＝3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE＝BE，AE+CE取得最小值，
∴AE+CE＝BE+CE＝BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
把B （3，0）代入y＝kx+3，得：0＝3k+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝1，
∴点E坐标为（2，1）；
∵AE＝＝，BE＝＝，AB＝3﹣1＝2，
∴AE2+BE2＝AB2，AE＝BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE＝＝2，
∴，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC；；
（3）设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB＝∠BAM，
∴tan∠ACB＝tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE＝，
∴tan∠BAM＝＝，
∵AF＝OF﹣OA＝1，
∴GF＝，
∴G点坐标为（2，），
∵A（1，0），
设直线AG的解析式为y＝nx+m，
∴，解得，
∴直线AG的解析式为y＝x﹣，
由x2﹣4x+3＝x﹣得，x1＝1，x2＝，
∴M点的横坐标为；
同理得直线AG′的解析式为y＝﹣x+，
由x2﹣4x+3＝﹣x+得，x1＝1，x2＝，
∴M′点的横坐标为；
综上，M点的横坐标为或；
（4）∵OA＝1，OC＝3，
∴tan∠ACO＝，
同（3）得H点的坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y＝x﹣，
由x2﹣4x+3＝x﹣得，x1＝1，x2＝，
∴Q点的横坐标为（，）；
同理得直线AQ′的解析式为y＝﹣x+，
由x2﹣4x+3＝﹣x+得，x1＝1，x2＝，
∴Q′点的横坐标为（，﹣）；
综上，Q点的横坐标为（，）或（，﹣）．
故答案为：（，）或（，﹣）．
5．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴C（0，﹣4）、B（4，0），
把C（0，﹣4）、B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，如图，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，t2﹣3t﹣4），
过点P作PH⊥x轴，交y＝x﹣4于点H，则H（t，t﹣4），
∴PH＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S＝ PH |xB﹣xC|＝×（﹣t2+4t）×4＝﹣2t2+8t，
∴S＝﹣2t2+8t（0＜t＜4）；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
①当点Q在x轴上方时，如图，过Q作QT⊥y轴于点T，QS⊥CM于点S，交y轴于点R，设CQ与x轴的交点为D，过Q、M分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵RS⊥CS，
∴∠SRC＝45°，
∴RS＝CS，RC＝RS，
∵tan∠QCB＝，
∴CS＝7QS，
设QS＝k，则CS＝RS＝7k，RQ＝QS﹣QS＝6k，
∴CR＝7k，
∵∠QRT＝45°，QT⊥RT，
∴TQ＝sin∠QRT RQ＝×6k＝3k＝RT，
∴TC＝RC﹣RT＝7k﹣3k＝4k，
∵tan∠OCD＝＝，OC＝4，TQ＝3k，TC＝4k，
∴，
∴OD＝3，
∴D（3，0），
设直线CQ的解析式为：y＝kx+b，将C（0，﹣4）、D（3，0）代入得：
，
解得：，
∴y＝，
联立抛物线解析式得：
，
解得：，，
∴Q（，），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，将A（﹣1，0）、Q（，）代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：y＝x+，
联立直线BC的解析式y＝x﹣4：
，
解得：，
∴M（，），
∵QF⊥x轴，MG⊥x轴，则F（，0）、G（，0）、A（﹣1，0），
∴GF＝﹣＝，GA＝+1＝，
∵OF∥MG，
∴，
∴＝＝，
②当点Q在x轴下方时，如图，过Q作QT⊥y轴于点T，QS⊥CM于点S，交y轴于点R，设CQ与x轴的交点为D，过Q、M分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，
∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵RS⊥CS，
∴∠SRC＝45°，
∴RS＝CS，RC＝RS，
∵tan∠QCB＝，
∴CS＝7QS，
设QS＝k，则CS＝RS＝7k，RQ＝QS+QS＝8k，
∴CR＝7k，
∵∠QRT＝45°，QT⊥RT，
∴TQ＝sin∠QRT RQ＝×8k＝4k＝RT，
∴TC＝RC﹣RT＝7k﹣4k＝3k，
∵tan∠OCD＝＝，OC＝4，TQ＝4k，TC＝3k，
∴，
∴OD＝，
∴D（，0），
设直线CQ的解析式为：y＝kx+b，将C（0，﹣4）、D（，0）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣4，
联立抛物线解析式得：
，
解得：，，
∴Q（，），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，将A（﹣1，0）、Q（，）代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：y＝x﹣，
联立直线BC的解析式y＝x﹣4：
，
解得：，
∴M（3，﹣1），
∵QF⊥x轴，MG⊥x轴，则F（，0）、G（3，0）、A（﹣1，0），
∴GF＝﹣3＝，GA＝3+1＝4，
∵OF∥MG，
∴，
∴＝＝，
综上所述，的值为或．
6．解：（1）∵y＝ax2﹣6ax﹣16a＝a（x2﹣6x﹣16），
令y＝0，则x2﹣6x﹣16＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
∵y＝a（x﹣3）2﹣25a，
∴对称轴为直线x＝3；
（2）联立方程组，
整理得，ax2﹣6ax+x﹣16a＝0，
∴xM+xN＝6﹣，
∵MO＝NO，
∴M点与N点关于原点对称，
∴xM+xN＝0，
∴6﹣＝0，
∴a＝，
∴y＝x2﹣x﹣4；
（3）由y＝x2﹣x﹣4，则C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则E（t，t﹣4），
∴PE＝﹣t2+2t，
∴CE＝，CP＝，
∵点G是AC的中点，
∴G（﹣1，﹣2），
∴AG＝，GO＝，
∴△AOG是等腰三角形，
∵OA＝2，OC＝4，
∴tan∠OAC＝2，
∵OB＝8，
∴tan∠OCB＝2，
∴∠CAO＝∠OCB，
∵PE∥OC，
∴∠FEB＝∠OCB，
∴∠DEP＝∠CAO，
①当CP＝PE时，△AOG∽△CEP，
∴PE＝PC，
∴＝﹣t2+2t，
解得t＝3，
∴P（3，﹣）；
②当PC＝CE时，△AOG∽△PEC，
∴＝，
解得t＝4，
∴P（4，﹣6）；
综上所述，P点坐标为（4，﹣6）或（3，﹣）．
7．解：（1）把B（﹣1，0），D（2，﹣2）代入y＝x +bx+c中，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（3，0），B（﹣1，0），
∴AB＝4，
过点E作x轴的垂线交直线AB于点D，如图：
设点点E（t，t2﹣t﹣2），其中0＜t＜3，
∵S△ABE＝2，
∴S△ABE＝×4×[﹣（t2﹣t﹣2）]＝2，
∴2t2﹣4t＝3，
解得t＝或t＝（舍去），
此时t2﹣t﹣2＝﹣1，
∴E（，﹣1）；
（3）在y＝x2﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设P（0，m），而C（0，﹣2），A（3，0），
∴PC2＝（m+2）2，PA2＝9+m2，AC2＝9+4＝13，
①当PA＝AC时，9+m2＝13，
解得m＝2或m＝﹣2（与C重合，舍去），
∴P（0，2）；
②当PC＝AC时，（m+2）2＝13，
解得m＝﹣2+或m＝﹣2﹣，
∴P（0，﹣2+）或（0，﹣2﹣）；
③当PA＝PC时，9+m2＝（m+2）2，
解得m＝，
∴P（0，），
综上所述，P点的坐标为（0，2）或（0，﹣2+）或（0，﹣2﹣）或（0，）．
8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴，交BC于G，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴点C（0，3），
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，
设点P（p，﹣p2+2p+3），则点G坐标为（p，﹣p+3），
∴PG＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵PG∥OC，
∴＝＝＝﹣（p﹣）2+，
∴当p＝时，的值有最大值，
∴点P（，）；
（3）存在，满足条件的点M的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣，0）．理由如下：
设点M的坐标为（m，0），
当BC是平行四边形BCMF的边时，如图1，
点C（0，3）平移到点B（3，0），先向下平移3个单位，再向右平移3个单位，
则点M1（m，0），平移到F1（m+3，﹣3），
令﹣x2+2x+3＝﹣3，可得m+3＝1±；
∴m＝﹣2±；
∴M1（﹣，0），M2（，0）．
当BC是平行四边形BCFM的边时，如图2，
∴点B（3，0）平移到点C（0，3），先向上平移3个单位，再向左平移3个单位，
则点M1（m，0），平移到F1（m﹣3，3），
令﹣x2+2x+3＝3，可得m﹣3＝0或2；
∴m＝3（舍）或m＝5；
∴M3（5，0）．
当BC是平行四边形BMCF的对角线时，BM∥CF，且BM＝CF，
由上可知，点F4的坐标为（2，3），
∴M4的坐标为（1，0），
综上所述：满足条件的点M的坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣，0）．
9．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+3．
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3．
则C点的坐标为（0，3）．
∵A（4，3），
∴AC∥OD，．
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形．
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则，
解得，
∴直线BE的函数表达式为：y＝x+．
令y＝x+＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0）．
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合．
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），
∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m．
∴S矩形ACOD＝OC AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝（OM+EC） OC＝（4m﹣6+m）×3＝．
分两种情况：
①＝，即＝，
解得m＝．
∴点E的坐标为：（，3）；
②＝，即＝，
解得m＝．
∴点E的坐标为：（，3）；
综上所述，点E的坐标为：（，3）或（，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，理由如下：
由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为（a，﹣a2+a+3），则NF＝3﹣（﹣a2+a+3）＝a2﹣a，NC＝﹣a．
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD．
∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO．
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN．
∴∠EFN＝∠DGO．
在△EFN和△DGO中，
，
∴△EFN≌△DGO（ASA）．
∴NE＝OD＝AC＝4．
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a．
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°．
∴∠EFN＝∠DEA．
∴△ENF∽△DAE．
∴＝，即＝，
整理，得a2+a＝0，
解得a＝﹣或0．
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝．
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为．
10．解：（1）∵，
∴C（2，3），
根据题意，反比例函数的图象过点（2，3），
∴k＝6；
（2）联立方程，
解得或，
∴A（0，1），B（6，﹣5），
∵点C的坐标为（2，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，
设P（m，﹣m+1）（1＜m＜6），
当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，，
故点，
∴，
∵，
∴当时，△PEF的面积最大，
故点；
（3）存在；
∵C（2，3），
∴C'（2，﹣3），
∵直线AB的表达式为y＝﹣x+1，
则设点C'向右平移m个单位，则向下平移了m个单位，故点C''（2+m，﹣3﹣m），
由点A，B，C''的坐标，
得AB2＝62+62＝72，AC''2＝（m+2）2+（m+4）2，BC''2＝（m+2﹣6）2+（m﹣2）2，
①当AB是斜边时，72＝（m+2）2+（m+4）2+（m+2﹣6）2+（m﹣2）2，
解得，
∴C''（2+2，﹣3﹣2）或C''（2﹣2，﹣3+2）；
②当AC''是斜边时，（m+2）2+（m+4）2＝72+（m+2﹣6）2+（m﹣2）2，
解得m＝3，
∴C''（5，﹣6）；
③当BC''是斜边时，（m+2﹣6）2+（m﹣2）2＝72+（m+2）2+（m+4）2，
解得m＝﹣3，
∴C''（﹣1，0）；
∴点C''的坐标为或或（5，﹣6）或（﹣1，0）．
11．解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）①设直线x＝1交x轴于G，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴GM＝GB＝2，
∴DM＝DG﹣GM＝2，
∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），
∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），
∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，
∴DE2+BE2＝BD2，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠DBE＝45°；
②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，
由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，
∴平移后∠QPB＝45°，
∴PH＝BH，
∵OE∥QH，PE＝2PQ，
∴OP＝2PH，
∴4BH＝3，
∴BH＝
∴OP＝2BH＝，
∴GM＝GP＝，
∴M（1，﹣），
∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．
12．解：（1）连接AC，
∵A（1，0），B（﹣3，0），
∴OA＝1，OB＝3，AB＝4．
又∵∠COA＝∠COB＝90°，AC＝2，
在Rt△AOC中，＝．
在Rt△COB中，＝．
在△ABC中，AC2+BC2＝22+（）2＝16，AB2＝42＝16，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC为直角三角形．
∴∠ACB＝90°．
即AC⊥BC，
又∵AC为⊙A的半径，
∴BC为⊙A的切线；
（2）由题意可知，抛物线与x轴交于点E（﹣1，0），F （3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
把B（﹣3，0），C（0，）代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为．
∵抛物线的顶点在直线BC上．
∴x＝1代入 得：＝，
∴抛物线的顶点坐标为（1， ）．
设抛物线的解析式为，
把F（3，0）代入，得．
∴抛物线的解析式为或y＝；
（3）由题意知，EC的长度不变，点M在抛物线的对称轴上，
连接CF交对称轴于点M，此时△ECM的周长最短，
设直线CF的表达式为y＝mx+n，则，
解得，
∴直线CF的表达式为y＝﹣x+，
当x＝1时，y＝﹣+＝，
故M点的坐标是（1，）．
