浙江省浙北2校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、若a与b均为实数，i为虚数单位，且，则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2、在中，，则的值为( )
A. B.0 C. D.
3、已知向量，，若，则( )
A. B.1 C. D.-1
4、已知 m、n是两条不同的直线， ,,是三个不同的平面.下列说法中不正确的是( )
A. 若,,, 则
B. 若,, 则
C. 若,,, 则
D. 若,,, 则
5、如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点间的距离为( )
A. B. C.3 D.
6、如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面且EF长度的最大值为b，最小值为则( )
A.7 B.6 C.5 D.3
7、在中，点D，E满足,,BE与AD交于点P，若，则( )
A. B. C. D.
8、在平面中，已知单位向量,的夹角为，向量，且，设向量与的夹角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、设向量，满足，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.向量与夹角为
10、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是( )
A.若，则
B.，，则的外接圆半径是4
C.若，则
D.若，，，则有两解
11、已知在正四面体ABCD中,E、F、G、H分别是棱AB,BC,CD,AD的中点，则( )
A.平面ACD B.
C.平面FGH D.E、F、G、H四点共面
12、在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、边长为2的正三角形的直观图的面积为___________.
14、向量，.则在方向上的投影向量坐标为 .
15、正三棱锥的侧棱长为2，M为AB的中点，且，则三棱锥外接球的表面积为 .
16、如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是 .
四、解答题
17、如图ABCD是直角梯形，以上底边CD为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和体积.
18、已知复数，.（i为虚数单位）
（1）求；
（2）若，且复数z的虚部等于复数的实部，复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求复数z.
19、如图，直三棱柱中，，，M，N分别为AC，的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点Q，使平面MNQ？说明理由.
20、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，为锐角.
（1）求角C；
（2）若，，的面积为，求的值.
21、如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中，米.现将该三角形菜地分成三块，其中.
（1）若，求DE的长；
（2）求面积的最小值.
22、如图，点P,Q分别是正方形ABCD的边DC、CB上两点，，，记点O为的外心.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，若，求的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：因为, 所以，, 所以. 故选: C.
2、答案：A
解析：在 中, 角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 由正弦定理得, 令,,,, 由余弦定理得:.
故选: A
3、答案：D
解析：向量，,
则,
，
解得
故选: D.
4、答案： B
解析：由线面平行的性质定理可知, A 正确; 若，, 则 或, 即B 错误;
设 的法向量分别为，, 若, 则，, 又，, 则，, 所 以, 即 C正确; 若，, 则, 又, 则, 即 D 正确. 故选: B
5、答案：C
解析：在中，，，则，.在中，，，则，由正弦定理，得.则在中，，，，由余弦定理得，则.故选C.
6、答案：B
解析：如图，过点F作交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得平面平面平面平面又平面平面平面平面平面为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，得则故选B.
7、答案：D
解析：因为P 在AD 上, 故, 所以存在 唯一实数, 使得, 又,
故 D为BC 的中点，
所以, 所以; 同理存在, 使得
又
所以, 所以, 所以, 所以,
所以.
故选: D.
8、答案：C
解析：
9、答案：ABD
解析：
10、答案：AC
解析：
11、答案：ABD
解析：
12、答案：AB
解析：因为, 由余弦定理可得若，
则
（当且仅当取等号）
，
令
,
，
.
故选: AB.
13、答案：
解析：如图 是边 长为 2 的正三角形 ABC的直观图，
则 ， 为正 三角形ABC的高CD的一 半,
即
则高,
三角形 的面积为:
故答案为:.
14、答案：
解析：因为向量，,
所以 ，
所以 在 方向上的投影向量坐标为
故答案为:.
15、答案：
解析：正三棱锥中对边相互垂直, 所以, 而, 所以 平面PAB, 故, 所以三条侧棱互相垂直, 该三棱倠是一个正方体的一个角, 所以外接球与正方体相同, 所以, 表面积为.
16、答案：
解析：若D 为BC 中点, 令 ， 夹角为, 如下图示,
又且,
此时, 当 时 最小值为 -2 ;
由, 则;
此时, 当 时 最大值为 6 ;
综上, 的取值范围是.
故答案为:.
17、答案：
解析：由题意知该几何体是一个底面半径为3，高为的圆柱，
挖去一个同底，但高为3的圆锥，
，
.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）复数，，则；
（2），
复数z的虚部等于复数的实部，可设，
，，解得或，
复数z在复平面内对应的点位于第三象限，，即，
故.
19、答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：（1）证明：取AB中点D，连接DM，.
在中，因为M为AC中点，所以，.
在矩形中，因为N为中点，所以，.
所以，.
所以 四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面，
所以平面.
（2）线段上存在点Q，且Q为中点时，
有平面MNQ
证明如下：连接.
在正方形中易证.
又平面，所以，从而平面.
所以.
同理可得，所以平面MNQ.
故线段上存在点Q，使得平面MNQ
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意及正弦定理可得，
整理可得，
即，在三角形中，，
因为C为锐角，所以，可得，可得；
（2）由（1）可得，而，可得，①，
由余弦定理可得，可得，②，
因为，解得，，则为锐角，
由余弦定理可得，，
所以，，
所以，故的值为.
21、答案：(1) 米
(2) 平方米
解析：（1）在等腰中，因为，则，
在中，由题意可得米，，.
且，
由正弦定理可得，则米.
因为，，
所以，则米，
故米.
（2）设，其中，则，.
在中，由正弦定理可得，
则米.
在中，由正弦定理可得，
则米.
的面积.
因为
，则，
所以当，即时，，故面积的最小值是平方米.
22、答案：(1)1
(2)
(3)见解析
解析：（1）以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系。，，所以.
（2）设，则，.
，
由于，所以.
（3）；
.
设，，则这两个式子为，化简得
解得
所以，
设，
令，
所以由对勾函数的性质得，所以当时，即点P与D点重合时，取到最大值.
.
