2022-2023学年山东省济南市历城区八年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 习近平主席在年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知，则下列不等式中不正确的是( )
A. B. C. D.
4. 把多项式分解因式，应提的公因式是( )
A. B. C. D.
5. 如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值是( )
A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 缩小倍
6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，将线段平移到线段，若点的对应点的坐标为，则的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，将绕着点按顺时针方向旋转，点落在位置，点落在位置，连接，若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在中，将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，连接，与交于点，连接，，，，下列结论：；；平分；其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：______．
12. 若分式的值为则______．
13. 已知，则的值是______．
14. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______ ．
15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点，则 ______ ．
16. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点若，面积为，则长度的最小值等于______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
分解因式：
；
．
18. 本小题分
解不等式组：
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
解不等式组，并写出它的所有整数解．
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
先化简，再求值：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
21. 本小题分
已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，与相交于点，且求证：．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的；
把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
观察图形可知，与关于点______，______中心对称．
23. 本小题分
某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书调查发现，两种书柜的购买信息如表：
甲书柜个 乙书柜个 总费用元
甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
若该校计划购进这两种规格的书柜共个，学校至多能够提供资金元，请写出所有购买方案供这个学校选择两种规格的书柜都必须购买．
24. 本小题分
阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法；
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
回答下列问题：
该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______ ．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
根据材料，请你模仿以上方法尝试计算：
25. 本小题分
如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点出发，沿方向运动，速度为每秒；点从点出发，沿方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒．
斜边上的高为______ ；
当时，的长为______ ；
当点在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？
当点在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的的值．
26. 本小题分
综合与实践
八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动：
如图，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则 ______ 若是的中点，连接，则与的数量关系是______ ．
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
拓展应用：
如图，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接在旋转过程中，当时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】解：、该等式的右边不是几个整式积的形式，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故A不合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故B不合题意；
C、，把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C符合题意；
D、，等式的右边不是几个整式积的形式，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故D不合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，可得答案．
【解答】
解：两边都乘，不等号的方向不变，故A正确；
B.两边都减，不等号的方向不变，故B正确；
C.两边都乘，不等号的方向改变，故C错误；
D.两边都除以，不等号的方向不变，故D正确．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：．
找多项式的公因式时，系数找各项系数的最大公约数，相同字母找最低次幂，根据以上内容得出答案即可．
本题考查了因式分解提取公因式法，能掌握找多项式公因式的规律是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
如果把分式中的和都扩大倍，那么原分式的值是扩大倍，
故选：．
利用分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
7.【答案】
【解析】解：，两点的坐标分别为，，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
，
点向左平移个单位，向上平移个单位得到点，
，
故选：．
利用平移变换的规律解决问题．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
8.【答案】
【解析】解：根据图象可得：不等式的解集为：，
故选：．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
9.【答案】
【解析】解：由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
故选：．
由旋转的性质得，，由等腰三角形的性质得，易得到，由平行线的性质得，设，则，根据三角形内角和定理列出方程求解即可．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，灵活运用相关知识是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：过作于，于，设交于，如图：
将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，
，，，
，
≌，
，故正确；
，
，
，
，故正确；
≌，，，
，
平分，故正确；
，
，，
，故正确；
正确的有，共个，
故选：．
过作于，于，设交于，根据将边，分别绕点逆时针旋转得到线段，，可证≌，得，判断正确；且有，而，即得，，判断正确；由≌，，，可得，故AF平分，判断正确；，根据勾股定理可判断正确．
本题考查三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与旋转，解题的关键是证明≌．
11.【答案】
【解析】解：原式
故答案为：
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：分式的值为，
，
解得．
故答案为：．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出的值是多少即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
由可得，进而得出．
本题考查了分式的加减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．由角平分线的性质可知，根据解答即可．
【解答】
解：平分，，，
，
，
，
．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，，
将绕点逆时针方向旋转得到，
≌，，
，，
．
故答案为：．
先在含锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到，，即可解答．
本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
16.【答案】
【解析】解：连接，，如图，
，为的中点，
，
的面积为，
，解得，
由作法得垂直平分，
，
，
而当且仅当、、共线，即点为与的交点时取等号，
的最小值为，
的最小值是．
故答案为：．
连接，，如图，先利用等腰三角形的性质得到，则可根据三角形面积公式求出，利用基本作图得到垂直平分，则，所以当且仅当、、共线，即点为与的交点时取等号，从而得到的最小值．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：，
，
，
，
则，
将解集表示在数轴上如下：
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先把除法转化为乘法，然后约分即可；
先通分，然后将分子分母分解因式，再约分即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：
，
或时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再从，，中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】根据可证≌，根据全等三角形的性质可得，进一步可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
由图可得，与关于点中心对称．
故答案为：，．
依据平移的方向和距离，即可得到平移后的；
依据绕原点旋转，即可画出旋转后的；
依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
23.【答案】解：设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得：
，
解之得：，
答：甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元．
解：设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个；
由题意得：．
解之得：，
因为取整数，所以可以取值为：，．
即：学校的购买方案有以下二种：
方案一：甲种书柜个，乙种书柜个，
方案二：甲种书柜个，乙种书柜个．
【解析】设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，根据：购买甲种书柜个、乙种书柜个，共需资金元；若购买甲种书柜个，乙种书柜个，共需资金元列出方程组求解即可；
设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个．根据：购买的乙种书柜的数量甲种书柜数量且所需资金列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案．
本题主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
24.【答案】
【解析】解：从第二步到第三步运用的是完全平方公式，故只有选项C符合题意，
故选：；
设，
原式
；
设，
原式
．
根据题中可得出是运用了完全平方公式；
根据例题可设，即可进行因式分解；
根据题意可设，代入即可得出原式，再进行运算即可得出答案．
本题主要考查了因式分解的应用，解题关键：一是设，二是．
25.【答案】
【解析】解：在中，由勾股定理可得，
斜边上的高为；
当时，则，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即的长为，
故答案为：；；
由题意可知，，
，
，
当为等腰三角形时，则有，即，
解得，
出发秒后能形成等腰三角形；
在中，，
当点在上时，，，
为等腰三角形，
有、和三种情况，
当时，如图，过作于，
则，
由知，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得或舍去；
当时，则，解得；
当时，则，
，
，
，
，即，解得；
综上可知当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
利用勾股定理可求解的长，利用面积法进而可求解斜边上的高；
可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．熟练掌握这些知识点是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：为等边三角形，将绕点旋转，得到，
，
，，
，
；
是的中点，是的中点，
，
故答案为：；；
由旋转的性质，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，
；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在下方时，
根据题意，得为等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中点，
，
；
如图，当点在上方时，
同理，可得，．
综上所述，的长为或．
由等边三角形和旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理和三角形中位线定理即可解决问题；
由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而可以解决问题；
分以下两种情况进行讨论：如图当点在下方时，如图，当点在上方时，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，利用分类讨论思想是解本题的关键．
第1页，共1页
