四川省重点中学2020级高三下期第三次阶段考试
理科数学
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知两个非零向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C． D．3
4．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚 王亚平 叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：） 火箭的质量（除燃料外）m（单位：）的关系是.为使火箭的最大速度达到8100，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据）（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．某函数在上的部分图象如图，则函数解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则可以是钝角三角形
7．已知数列的前n项和为，若，则不可能是（ ）
A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列
8．已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的得到，若是函数的一个极大值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A．圆关于轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则
D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为
10．定义在上的奇函数的图象关于对称；且当时，．则方程所有的根之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
11．已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．已知是虚数单位，复数满足，则___________.
14．某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则___________；
15．已知实数满足，，，则的最大值为___________.
16．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与y轴交于点A，B，则下列结论中正确的序号为______．
①两点的横坐标之积为定值；②直线的斜率为定值；
③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的取值范围为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．近年来，新能源汽车产业大规模发展，某品牌汽车投人市场以来，受到多位消费者欢迎，汽车厂家为扩大销售，对旗下两种车型电池续航进行满意度调查，制作了如下2×2列联表.
不满意 满意 合计
男 18
女 40
合计 100
已知从全部100人中随机抽取1人调查满意度为满意的概率为
0.15 0.10 0.05 0.10 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
附：，其中.
(1)完成上面的2×2列联表；
(2)根据（2）中的2×2列联表，判断是否有90%的把握认为满意度与消费者的性别有关
18．已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数.
19．已知的内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)给出以下三个条件:条件①:;条件②:,;条件③:.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:
（i）求的值;
（ii）求的角平分线的长.
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，.若的周长为6，面积为.
(1)求曲线的方程；
(2)设动直线过定点与曲线交于不同两点，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.
21．已知函数．
(1)若函数在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若存在三个极值点，，，且，求证．
选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
22．在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标中，若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求证：成等差数列．
23．已知函数（），若函数的最小值为5.
(1)求的值；
(2)若均为正实数，且，求的最小值.
理科数学参考答案
1．C2．A3．C4．B5．B6．D7．C8．C9．C10．A11．B12．D
13． 14．24 15． 16．①②③
不满意 满意 合计
男 18 30 48
女 12 40 52
合计 30 70 100
17（1）根据题意，满意的总人数为，
∴完成2×2列联表如图：
（2）∵，
∴没有90%的把握认满意度是否与消费者的性别有关.
18．（1）
，
，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）可得
，
即
∴
而随着的增大而增大
要使，即，则，
∴的最小值为140.
19．（1）解:由题意知
,
即
,,
故;
（2）由（1）得,
,故条件②不成立,即条件①③正确,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
对于条件①:,
与上式结合可得,
对于条件③:,
故,所以,
将代入可得: ,
（i）在中,由正弦定理可得:
,
即,
,
（ii）是的角平分线,
,
,
,,
在中,由余弦定理可得
,
故.
综上:条件①③正确, ,.
20．
（1）由题意可知，解得，
从而，椭圆的方程为：；
（2）设，，，设（，且），
所以，，
于是，，，，
从而①，②，
又点，在椭圆上，即，③，，④，
由并结合③④可得，即点总在定直线上.
21．（1）解：由可知，函数的定义域为，
则，且，
解得.
（2）解：，因为存在三个极值点，
所以方程有两个不相等的实数根，且都不是.
所以令，则，
当时，，所以单调递增，至多有一个实数根，
所以，令，得，令，得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以.
因为，，，
其中令，则，
所以在上单调递增，，所以，
因为，所以，即，所以
所以存在三个极值点，其中.
又因为，，则，，
即，
设代入上式得：，即，.
要证，即，
只需证，即证.
令，，
所以在上单调递增，
因为，所以，得证；
要证，即，只需证，
即证，则证，即，
只需证，
令，，
所以，
所以在上单调递减，因为，所以，得证.
综上所述，若存在三个极值点，，，且时，．
22．（1）由得，代入整理得，即，
∵，则，，
故曲线的普通方程为，
又∵，则，
整理得
曲线的极坐标方程为
（2）由题意可得：直线l的参数方程为（t为参数），
代入，整理得，
∴，，
则，
即，
∴成等差数列
23（1）因为，
所以，
即，
则在内单调递减，在内单调递增，
所以，
由题意，得，
解得.
（2）由（1）知，，
，
当且仅当、、时取等号，
所以的最小值为.
