2023年中考第二次模拟试卷
数 学
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。）1. 下列说法中，正确的是( )
A. 与互为倒数 B. 与互为相反数 C. 的相反数是 D. 的绝对值是
2. “数”说二十大：二十大报告中，一组组亮眼的数字，吸引无数目光，折射出新时代十年的非凡成就全国八百三十二个贫困县全部摘帽，近一亿农村贫困人口实现脱贫，九百六十多万贫困人口实现易地搬迁，其中一亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 星期天，小颖从家去体育馆运动，运动结束后按原路返回，如图表示小颖离家距离和时间的关系，下列说法正确的是( )
A. 小颖家离体育馆 千米 B. 小颖在体育馆运动了小时
C. 小颖到家的时间点钟 D. 小颖去时的速度大于回家的速度
6. 如图，在矩形中，对角线、交于点，，矩形的面积是，那么这个矩形的周长是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在半径为的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为，则的值是( )
A. B.
C. D.
8. 不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“”，“”，除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为的概率是( )
A. B. C. D.
9. 若将一次函数图象所在的平面直角坐标系先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则此时函数图象对应解析式为( )
A. B. C. D.
10. 如图是美妆小镇某品牌的香水瓶从正面看上去它可以近似看作割去两个弓形后余下的部分与矩形组合而成的图形点、在上，其中；已知的半径为，，，，则香水瓶的高度是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 如果点在第一象限，则点在第______ 象限．
12. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在函数的图象上，顶点在轴正半轴上，边，分别交函数，的图象于点，连接，若轴，则的面积为______ ．
14. 如图，在正方形中，，是上的一点，且，，是，上的动点，且，，连接，，当的值最小时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 分计算：．
16. 分如图，的三个顶点的坐标分别为、、．
将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
平移，若对应点的坐标为，画出平移后对应的；
若将绕某一点旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为
______ ．
17. 分第届冬季奥运会于年月日至年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买个小套装比购买个大套装少用元；购买个小套装和个大套装，共需元．
求这两种套装的单价分别为多少元？
某校计划用元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共个作为奖品，则该校最多可以购买大套装多少个？
18. 分先化简，再求值：，其中．
19. 分如图，中，，以为直径作，与边交于点，过点的的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
20. 分如图，我边防雷达站处的工作人员测得在北偏东方向的点处有一艘可疑船只，该船正在以每小时海里的速度向正东方向航行，点到点的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点的正东方向海里的点处．
求点到点之间的距离结果保留根号；
当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点处成功拦截？参考数据：，，，
21. 分劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取名学生，对他们的每日平均家务劳动时长单位：进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述下面是其中的部分信息：
名学生每日平均家务劳动时长频数分布表
分组 合计
频数
根据以上信息，回答下列问题：
频数分布表中的组距是 ， ；
求出频数分布表中的值并补全频数分布直方图；
学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有名学生，请估计获奖的学生人数．
22. 分如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，作的角平分线交的延长线于点，交于点．
求证：；
若，时，求的长；
若时，求的值．
23. 分已知抛物线：经过点，与轴交于、两点．
求抛物线的解析式；
如图，已知，以、、、为顶点作平行四边形，若、两点都在抛物线上，求、两点的坐标；
如图，将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于、两点，过、的直线、与抛物线都只有唯一公共点，求证：点在定直线上运动．
参考答案
1~5:CBADA 6~10:CDADB
11.【答案】四
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：原式
．
16.【答案】解：如图所示，
如图所示；
如图，旋转中心为；
17.【答案】解：设小套装的单价为元，大套装的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：小套装的单价为元，大套装的单价为元．
设该校购买大套装个，则购买小套装个，
依题意得：，
解得．
又为正整数，
的最大值为．
答：该校最多可以购买大套装个．
18.【答案】解：
，
当时，原式．
19.【答案】证明：连接，如图，
，，
，平分，
，
为直径，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
，，
．
20.【答案】解：过作于，
由题意，海里，海里，，
海里，则海里，
海里，
海里，
即点到点之间的距离为海里；
如图，过作于，过作于，则海里，四边形是矩形，
海里，
在中，，，
解得海里，海里，
我方军舰到达的时间为小时；
在中，海里，
则海里，
可疑船只到达点的时间为小时，
，
我方军舰能在可疑船只的正前方的点处成功拦截．
21.【答案】解：频数分布表中的组距是，
的频数，
故答案为：，．
，
名，
答：估计获奖的学生有名．
22.【答案】证明：平分，
，
在矩形中，，
由翻折可知，
点在的延长线上，
，
，
，
，
又，
，
；
解：，
由翻折可知，
，
在中，，
，
设，
则，
由可知，，
∽，
，
，解得：，即；
解：如图，过点作，垂足为，
设，，则，
，
平分，
，
，，
∽，
，
即，故AB，，
又，即，
，．
23.【答案】解：将点和点代入抛物线，得，
解得，
故解析式为；
若为平行四边形的边，设，，
将点代入抛物线得，
解得，
，；
若为平行四边形的对角线，设，
由平移得，
将点代入抛物线得，
解得，或，
，或，；
综上所述，，或，；
的顶点坐标为，
将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线，
，
设抛物线上任意两点，所在直线解析式为，
与抛物线联立得：，
，，得，，；
设、两点横坐标为、，
取，，
则解析析为；
过，
，即；
取，，则解析析为；
取，，则解析析为；
解，得，
点在定直线上运动．
