2022-2023学年浙江省宁波重点中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与合并的是( )
A. B. C. D.
2. 如图是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾的标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 已知个正数，，，的平均数是，且，则数据，，，，的平均数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A. B. C. D.
7. 电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
8. 方程是关于的一元二次方程，则的值为( )
A. B. C. D. 或
9. 要确定方程的解，只需知道一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标由上面的信息可知，的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，矩形中，，，若在，上各取一点，，使的值最小，求这个最小值( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 当时，二次根式的值为______．
12. 若一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形有______条边．
13. 甲、乙两名队员参加次射击训练，他们的成绩的折线统计图如图，在这次射击中，成绩更稳定的是______填“甲”或“乙”
14. 若是方程的一个根，则代数式的值是______．
15. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点若，，则菱形的高为______．
16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于、两点，与轴交于点，过点作轴交反比例函的图象于点，连结，点为轴上一点，满足，且恰好平行于轴．若，则的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
．
18. 本小题分
解方程：；
．
19. 本小题分
某实验中学八年级甲、乙两班分别选名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图所示：
根据上图填写下表：
平均数 众数 中位数 方差
甲班 ______
乙班 ______
请你分别从平均数、众数、中位数和方差四个方面评价甲、乙两班的预赛成绩，并说明你的理由；
乙班小明说：“我的成绩是中等水平”，你知道他是几号选手？
20. 本小题分
某租凭公司拥有汽车辆，据统计，当每辆车的月租金为元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加元，未租出的车将增加辆，租出的车每辆每月的维护费为元，未租出的车每辆每月只需维护费元
当每辆车的月租金定为元时，能租出多少辆？
当每辆车的月租金定位多少元时，租凭公司的月收益租金收入扣除维护费可达到元？
21. 本小题分
如图，在正方形中，，点是的中点，以为边作正方形，连接、将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
如图，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；
如图，延长交直线于点．
求证：；
在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
如图，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，反比例函数为常数，图象经过、两点．
求的值；
如图，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图象于点，交反比例函数的图象于点，当时，求点坐标；
点在反比例函数图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，与不能合并，故C不符合题意；
D、，与能合并，故D符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4.【答案】
【解析】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为，，，，；
由于有奇数个数，取最中间的数，
其中位数为．
故选：．
直接利用平均数求法，总数数据个数平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，
所以，，，
而，
所以．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出，，，然后在的条件下比较它们的大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
6.【答案】
【解析】解：、四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形是矩形，故选项A符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，
选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；
故选：．
由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为，得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可知，
解得：．
故选：．
根据一元二次方程的定义可得出，解出的值即可．
本题考查一元二次方程的定义和解一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出关于的关系式是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解，
方程整理得，，
由题意可知，，
故选：．
一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解，整理后与方程比较即可求得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数与方程的关系，明确一次函数和反比例函数的图象交点的横坐标是方程的解是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于，连接，，过点作于，
，，，
，
当点，点，点共线且时，的最小值为，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
由对称性可得，，，可得，则当点，点，点共线且时，的最小值为，通过证明是等边三角形，可求，在中，利用勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，利用面积法求出是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当时，二次根式的值为：．
故答案为：．
直接把的值代入进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：一个多边形的每个外角都等于，
多边形的边数为．
即该多边形由条边．
故答案是：．
多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数．
本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是．
13.【答案】乙
【解析】解：由折线统计图得甲队员的成绩波动较大，
所以．
故答案为：乙．
利用折线统计图可判断甲队员的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
14.【答案】
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意可得，再由，即可求解．
本题考查一元二次方程的解与一元二次方程的关系，恰当的变形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
又菱形对角线交于点，
，，，
．
平行四边形是矩形，
，
，
，
设菱形的高为，
，
，
即菱形的高为，
故答案为：．
证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，则四边形是矩形，然后由勾股定理得，则，然后由菱形的面积公式解答即可．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴，交于点，垂足为，过点作轴，垂足为，
，
，
由于点、点在反比例函数的图象上，
可设点，即，，
，
点，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点的横坐标为，
又点在反比例函数的图象上，
点的纵坐标为，
即，
，即，
，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质可得，即点的横坐标是点横坐标的倍，可设点的坐标，进而得出点的坐标，由点、点的纵坐标得出，进而利用全等三角形得出点的横坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征得出点的纵坐标，再利用三角形的面积可得的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数与反比例函数的交点坐标，利用坐标表示线段的长是解决问题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据完全平方公式计算即可；
先化简，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19.【答案】
【解析】解：把甲班的成绩从小到大排列，最中间的数是，则中位数是；
由题意可知，乙班的众数是；
故答案为：；；
从平均数看，因两班平均数相同，则甲、乙班的成绩一样好；
从中位数看，甲的中位数高，所以甲班的成绩较好；
从众数看，乙班的分数高，所以乙班成绩较好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定；
因为乙班的成绩的中位数是，所以小明的成绩是分，则小明是号选手．
根据众数和中位数的定义及公式分别进行解答即可；
从平均数、中位数、众数、方差四个角度分别进行分析即可；
根据中位数的定义即可得出答案；
此题考查了方差、平均数、众数和中位数：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
20.【答案】解：辆，辆
当每辆车的月租金定为元时，能租出辆．
设租金定位是元租凭公司的月收益租金收入扣除维护费可达到元
或
答：当租金定为元或元的时候可以．
【解析】第一问思路很简单，可这样做辆，
第问设租金定位是元租凭公司的月收益租金收入扣除维护费可达到元，那么租出的车为，租金就为，租出的车每辆每月的维护费为，未租出的车每两每月需维护费根据月收益就可列方程了．
解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是用租金表示出租的车辆数．
21.【答案】解：≌；理由：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，
与的交点记作点，
由知，≌，
，
，
，
，
，
，
；
如图，连接，
四边形是正方形，
，，
在中，，
，
当最小时，的值最大，
当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合如图中，
由题意知，，
，
，
，
的最大值为．
【解析】先判断出，，，进而判断出，即可得出结论；
由知，≌，得出，即可得出结论；
判断出当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合，最后用勾股定理求解即可求出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：，，为中点，
，
设，
又，
，
将点，点分别代入，得：，，
，
，
；
由得，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
设点的坐标为，
轴，
，，
，
，
解得：或不合题意舍去，
点的坐标为；
由知，
反比例函数的解析式为，
点在上，点在轴上，
设，，
当为边时：
如图，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，
，解得，
；
如图，若为平行四边形，
则，
解得，
此时，
，解得，
；
如图，当为对角线时，
，且；
，
解得，
，
，解得
；
故点的坐标为或或．
【解析】设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；
待定系数法求得直线的解析式为，当时，，得到，设点的坐标为，得到，，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；
由知可知反比例函数的解析式为，再由点在上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线求出的值，故可得出、的坐标．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
第1页，共1页
