2022年贵州省贵阳市息烽县中考数学二模试卷
一、选择题（本题共12小题，共36分）
1. 若与互为相反数，则的值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，，，，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
3. 年我国首次发射探测器对火星进行探测北京时间月日晚，“天问一号”探测器在距离地球约处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道用科学记数法将表示为的形式，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )
A. 越长
B. 越短
C. 一样长
D. 随时间变化而变化
5. 在不透明的袋子中装有黑、白两种球共个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在附近，则袋子中黑球的个数约为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 解方程较为合适的方法是( )
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 分解因式法
7. 如图，用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，那么第二步的作图痕迹的作法是( )
A. 以点为圆心，长为半径画弧 B. 以点为圆心，长为半径画弧
C. 以点为圆心，长为半径画弧 D. 以点为圆心，长为半径画弧
8. 将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差这四个统计量中，值保持不变的是( )
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
9. 如图，在中，，，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
10. 九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
11. 如图，、分别为的内接正方形、内接正三边形的边，是圆内接边形的一边，则等于( )
A.
B.
C.
D.
12. 如图，以扇形的顶点为原点，半径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，若抛物线为常数与扇形的边界总有两个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
一、选择题（本题共4小题，共16分）
13. 已知方程，则 ______ ．
14. 为了了解某地区初中学生的视力情况，随机抽取了该地区名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：
视力 以下 以上
人数
根据抽样调查结果，估计该地区名初中学生视力不低于的人数为______．
15. 如图，将放置在平面直角坐标系中，与原点重合，在轴上，若，点的坐标为，则点的坐标为____．
16. 在一次综合实践活动课上，小明探究“有一个角为的三角形的面积”问题．如图，在中，，小明过点作，垂足为，若，，则的面积为______．
三、解答题（本题共9小题，共98分）
17. 解答下列问题：
已知与是同类项，求的值；
已知，求代数式的值．
18. 贵州省于年全面启动高考综合改革，从级高一新生开始，实行“”的高考选考方案，“”是指语文、数学、外语三科必考；“”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考．
“”的选考方案共有多少种？请直接写出种可能的选法：选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法
高一学生小明和小军将参加新高考，他们酷爱物理和地理，两人约定必选物理和地理．他们还需要从政治、化学、生物三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．
19. 如图，菱形的对角线、交于点，过点作，且，连接、．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
20. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
名称 进价元张 售价元张 成套售价元套
餐桌
餐椅
已知用元购进的餐椅数量与用元购进的餐桌数量相同．
求表中的值；
该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的倍还多张，且餐桌和餐椅的总数量不超过张．若将一半的餐桌成套一张餐桌和四张餐椅配成一套销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，则怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
21. 图是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定角度，研究表明：如图，当眼睛与显示屏顶端在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个俯角即望向屏幕中心的视线与水平线的夹角时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得，，液晶显示屏的宽为．
求眼睛与显示屏顶端的水平距离；结果精确到
求显示屏项端与底座的距离结果精确到
参考数据：，，，
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点．
求，的值；
已知直线过点且平行于直线，点是直线上一动点，过点分别作轴、轴的平行线，交双曲线于点，，双曲线在点，之间的部分与线段，所围成的区域不含边界记为横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域内的整点个数不超过，结合图象，求的取值范围．
23. 如图，已知是的直径，点，在上，且，过点作，垂足为．
填空：______度；
求的长；
若的延长线交于点，求弦，和围成的图形阴影部分的面积．
24. 某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为米，现以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示
求这条抛物线的函数表达式；
如图所示，公园想在抛物线拱门距地面米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？
为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架“由四根木杆组成，使，两点在抛物线上．，两点在地面上如图所示，请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？
25. 问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接，易证≌则
______；线段、之间的数量关系是______．
拓展研究：
如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，求的长度．
探究发现：
如图，为等边内一点，且，且，，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为与互为相反数，
所以．
故选：．
只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．
本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．
2.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
，，
．
故选：．
直接利用平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，能够正确得出是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短，
故选：．
连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
此题主要考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．
5.【答案】
【解析】解：设袋子中有个黑球，
根据题意得，
解得：，
故选：．
根据黑球的频率稳定在附近得到黑球的概率约为，根据概率公式列出方程求解可得．
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在附近即为概率约为．
6.【答案】
【解析】解：，
，
则或，
解得，，
解方程较为合适的方法是分解因式法，
故选：．
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是作图基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的步骤是解答此题的关键．
根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．
【解答】
解：用尺规作图作的第一步是以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点、，
第二步的作图痕迹的作法是以点为圆心，以的长为半径画弧．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么这组数据的波动幅度保持不变，即方差不变，而平均数和众数、中位数均改变．
故选：．
根据方差的意义及平均数、众数、中位数的定义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握方差的意义与平均数、众数和中位数的定义．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是勾股定理、三角形的外角的性质，直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
11.【答案】
【解析】解：连接，，．
、分别为的内接正方形、内接正三边形的一边，
，，
，
，
故选：．
根据正方形以及正三边形的性质得出，，进而得出，即可得出的值．
此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：，
所在直线为，
令，整理得，
当时，抛物线与线段只有个交点，
解得，
当时，抛物线向下移动，
当抛物线经过时，，
解得，
．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线随的值变化而上下移动，分别求出抛物线与线段相切及抛物线经过点时的值．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
直接移项、系数化为即可．
本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由表格可得，
人，
即估计该地区名初中学生视力不低于的人数为，
故答案为：．
根据表格中的数据，可以计算出该地区名初中学生视力不低于的人数．
本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的数据．
15.【答案】
【解析】解：作于，如图所示：
点的坐标为，
，
，，
，
的面积，
，
，
；
故答案为：
作于，由勾股定理求出，由的面积求出，再由勾股定理求出即可．
本题主要考查了坐标与图形性质，直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，将绕着点逆时针旋转得，延长、交于点，连接，
由旋转可得≌，
，，，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
则，，
在中，，
，
解得，舍去，
，
的面积，
故答案为：．
将绕着点逆时针旋转得，延长，交于点，连接，判定≌，得到，再设，在中，运用勾股定理列出关于的方程，求得的值，最后根据的面积，进行计算即可．
本题主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的判定．
17.【答案】解：与是同类项，
，，
解得：，，
则原式；
原式
，
当时，
原式
．
【解析】利用同类项定义求出与的值，代入原式计算即可求出值；
原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果；
如物、政、化；物、政、生；历、政、化等；
画树状图如下：
由树状图知，共有种等可能结果，其中他们恰好都选中生物的只有种结果，
所以他们恰好都选中生物的概率为．
【解析】利用树状图可得所有等可能结果；
画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
19.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由得：四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：．
【解析】由菱形的性质得，，推出，即可得出四边形是平行四边形，又由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，易证是等边三角形，得出，由勾股定理求出，则，由矩形的性质得出，，再由勾股定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
；
由可知，，
设购进的餐桌为张，则餐椅为张，
根据题意，得：，
解得：，
设利润为元，
根据题意，得：，
是关于的一次函数，且，
随的增大而增大，
当时，有最大值，
此时，
答：购进餐桌张，餐椅张时获得最大利润，最大利润为元．
【解析】根据“用元购进的餐椅数量与用元购进的餐桌数量相同”列出分式方程，求解即可；
设购进的餐桌为张，则餐椅为张，根据“餐桌和餐椅的总数量不超过张”列一元一次不等式，求出取值范围，再设利润为元，表示出与的一次函数，然后根据函数增减性即可求出最大利润．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：由已知得，
在中，
，
，
答：眼睛与显示屏顶端的水平距离约为；
如图，过点作于点，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
．
答：显示屏顶端与底座的距离约为．
【解析】由已知得，根据锐角三角函数即可求出眼睛与显示屏顶端的水平距离；
如图，过点作于点，根据锐角三角函数求出和的长，进而求出显示屏顶端与底座的距离．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
22.【答案】解：点在双曲线上，
，
点的坐标为，
将代入，得：，
．
直线过点且平行于直线，
直线的解析式为．
当时，即，此时线段和上有个整点；
当时，即，此时线段上有整点．
观察图形，可知：若区域内的整点个数不超过个，的取值范围为．
【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标，根据点的坐标，利用待定系数法可求出值；
找出：当时，线段和上有个整点；当时，线段上有整点．结合函数图象，即可求出当区域内的整点个数不超过个时的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、数形结合，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出值；依照题意画出图形，利用数形结合找出结论．
23.【答案】
【解析】解：是的直径，
，
，
圆周角定理，
，
故答案为：；
，，，
，
，
，
又点是中点，
是的中位线，
；
连接，
，
，
，
，
≌，
故阴影部分的面积扇形的面积，
即可得阴影部分的面积为
根据圆周角定理求得，，即可求得；
由求出，判断出是的中位线，就可得出的长；
连接，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．
本题考查了扇形的面积计算、含角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形．
24.【答案】解：由题意知抛物线的顶点坐标为，则
设抛物线的解析式为：，
抛物线上有一点，
，
，
抛物线的解析式为，
即；
当时，，
解得，，，
该横幅的宽度为：米，
答：该横幅的宽度为米；
设
四边形是矩形，
，
根据抛物线的轴对称性，可得：，
，即，
矩形“支架“的周长
．
当，矩形“支架“的周长的最大值为，
、、、的长度之和最大值为米，
答：最多需要准备米该种木杆．
【解析】把抛物线的解析式设成顶点式，再代入，求得结果；
令，求出的解，再求其横坐标之差的绝对值便可；
设，用表示矩形的周长，根据周长关于的函数解析式求出其最大值便可．
本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，二次函数的最值的应用，第三小题关键是建立正确的函数关系式，运用函数的最大值的求法解决问题．
25.【答案】；；
和均为等腰直角三角形，
，，．
．
在和中，，
≌．
，，
为等腰直角三角形
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
；
把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示：
则≌，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
即、、在同一条直线上，
，
在中，，
即的长为．
【解析】
解：和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，，
≌．
．
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
故答案为：．
由得：≌，
；
故答案为：．
见答案；
见答案．
【分析】
由条件易证≌，从而得到：，由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数．
同证出≌，得出，，求出，得出由勾股定理求出即可；
把绕点逆时针旋转得，连接，则≌，得出，，，，证出是等边三角形，得出，，求出，证明、、在同一条直线上，得出，再由勾股定理求出即可．
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
第3页，共24页
