常考专题：解决问题（1-4单元）-小学数学六年级下册北师大版
1．一个圆锥形粮囤，从里面量底面周长为12.56米，高是9米。每立方米稻谷大约重500千克，这个粮囤大约可存多少千克稻谷？
2．用铁皮做一个无盖的圆柱形水槽，水槽的高是15dm，底面周长是18.84dm，做一个这样的水槽大约要用多少平方分米的铁皮？
3．一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是10厘米，此时水面高12厘米，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸没在水中后，水面上升到13厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？
4．一个装有水的圆柱形杯子，底面直径是10厘米，高是10厘米。乐乐把一块石头完全浸没在水中后，没有水溢出且水深是8.5厘米，将石头取出后，水深是6.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
5．（1）茶杯中部的一圈装饰带好看吧，那是小红怕烫伤爸爸的手特意贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头处忽略不计）
（2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？（玻璃厚度忽略不计）
6．在一个长60厘米，宽30厘米的长方体容器内浸没着一块圆锥体钢块，当取出钢块时，容器中的水面下降了5厘米。如果圆锥体的高是20厘米，则圆锥体的底面积是多少平方厘米？
7．一个圆柱形的有盖铁皮汽油桶，底面周长是12.56分米，高比底面直径多，做这个汽油桶至少要用多少平方分米的铁皮？
8．一个无盖的圆柱形铁皮水桶，水桶内存有一些水，水面高度正好是桶高的，淘气将一块体积为628立方厘米的铁块放入水中，完全浸没。这时水面上升了2厘米，水桶正好装满。
（1）这个水桶的高是多少厘米？
（2）做这个水桶需要铁皮多少平方厘米？（铁皮的厚度和接口处忽略不计）
9．如图是超市附近的一些建筑物。
（1）广场在超市（ ）偏（ ）40°方向800m处。
（2）公园在超市的（ ）方向（ ）m处。
（3）游乐场在超市南偏西60°方向600m处，请在图中标出游乐场的位置。
10．在一幅比例尺为1∶2000000的地图上，康康量得他家到某旅游景区的距离是7厘米。如果他爸爸开车带着全家去旅游景区旅游，汽车平均每时行驶70千米，几小时后他们可以到达景区？
11．在比例尺是1∶40000的地图上，量的幸福小区到中心公园的距离是12厘米，这段公路由甲、乙两队合修8天完成。甲乙两队工作效率的比是2∶3，求甲乙每天各修多少米？
12．酸梅汤是夏季防暑去火的上佳饮品。小明的妈妈经过多次尝试，发现用240毫升的酸梅原汁和560毫升的水配制酸梅汤，口感最佳，且恰好够一家三口饮用。周末家里来了几位客人，妈妈打算配制2500毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁和水各多少毫升？
13．按要求在方格纸上画图并完成填空。
（1）把图形①绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，旋转后点A的对应点的位置用数对表示是（ ）。
（2）图形①和旋转后的图形组合成了一个新的图形，画出这个组合图形的对称轴。
（3）图形②的圆心在点C的（ ）偏（ ）（ ）°方向上。
（4）把图形②按1∶2的比缩小，画出缩小后的图形。缩小后的图形面积是原来图形面积的。
14．笑笑调制了一杯蜂蜜水，蜂蜜与水的比是，其中水用了180克，调制这杯蜂蜜水用蜂蜜多少克？
15．下图是欢欢设计的冰激凌盒。如果按图中的比例尺制作成成品，成品的容积是多少？（材料厚度忽略不计）
16．画一画，填一填。
（1）图①绕点O（ ）时针旋转（ ）°得到图②。
（2）画出图①绕点O逆时针旋转90°得到的图④。
（3）画出图③绕点A顺时针旋转90°得到的图⑤。
17．按要求填一填，画一画。点A的数对是。
（1）点B的数对是（ ），点D的数对是（ ）。
（2）当图形①绕点E逆时针旋转90°得到图形③。
（3）将图形②先向左平移3格，再向下平移1格得到图形④。
（4）画出图形②关于直线L的轴对称图形⑤。
（5）将图形①按数对的第一个数不变，第二个数乘，得到图形⑥。
18．某工厂加工桌椅的时间和数量情况如下表。
时间/天 0 1 2 3 4 5 6 7 …
数量/套 0 30 60 90 120 …
（1）将上表补充完整。
（2）加工桌椅的时间和数量是不是成正比例？说明理由。
（3）把上表中时间和数量对应的点在方格纸上描出来，再顺次连接。
（4）该工厂9天可以加工（ ）套桌椅，（ ）天可以加工330套桌椅。
19．教学楼的实际高度为13.2米，它的实际高度与模型的高度比是40∶1，模型的高度是多少厘米？（用比例知识解答）
20．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如下表。
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40
（1）将上表补充完整。
（2）每本用纸张数和装订本数是不是成反比例？说明理由。
（3）如果用这些纸装订成50本练习本（每本用纸张数相同），每本用纸多少张？
21．学校食堂运回一批大米，每天吃的量和可以吃的天数如下表。
每天吃的量/kg 200 300 400 500
可以吃的天数/天 30 20 15 12
（1）判断每天吃的量和可以吃的天数是否成反比例，并说明理由。
（2）如果学校食堂每天吃750kg的大米，那么这批大米可以吃几天？
22．某环保节能造纸厂造纸总量与所用时间如下表。
时间/天 0 1 2 3 4 5 …
生产总量/吨 0 12 24 36 48 60 …
（1）生产总量和时间成正比例关系吗？说明理由。
（2）在下图中描出时间与生产总量对应的点，再顺次连接。
（3）8天可以生产（ ）吨纸，生产90吨纸需要（ ）天。
参考答案：
1．18840千克
【分析】要求这个粮囤能装稻谷的重量，先求得粮囤的体积，粮囤的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积公式：求得体积，再进一步求得稻谷的重量。问题得解。
【详解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
2×2×3.14××9×500
＝12.56×3×500
＝37.68×500
＝18840（千克）
答：这个粮囤大约可存18840千克稻谷。
【点睛】此题主要考查学生对圆锥的体积计算公式掌握与运用情况。
2．310.86平方分米
【分析】根据题意，用底面周长18.84÷3.14÷2＝3分米，得圆柱形水槽的底面半径。因圆柱形水槽无盖，利用公式即可求得这个水槽的表面积。据此解答。
【详解】18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（分米）
3×3×3.14＋18.84×15
＝28.26＋282.6
＝310.86（平方分米）
答：做一个这样的水槽大约要用310.86平方分米的铁皮。
【点睛】本题考查了圆柱表面积计算公式的灵活应用。本题计算时要注意，因无盖，所以底面积不要乘2。
3．厘米
【分析】由于圆锥的底面直径比圆柱底面直径少，则圆锥的底面直径相当于圆柱的：1－，单位“1”已知，用乘法，即10×（1－）＝6（厘米）。由于物体完全浸没在水中，水面上升到13厘米，根据公式：容器的底面积×水面变化的高度＝物体的体积，即用圆柱的底面积×（13－12），求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入公式即可求出圆锥形钢材的高。
【详解】10×（1－）
＝10×
＝6（厘米）
6÷2＝3（厘米）
10÷2＝5（厘米）
3.14×5×5×（13－12）
＝78.5×1
＝78.5（立方厘米）
78.5×3÷（3.14×3×3）
＝78.5×3÷3.14÷3÷3
＝78.5÷3.14÷3
＝25÷3
＝（厘米）
答：圆锥形钢材的高是厘米。
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。
4．157立方厘米
【分析】根据题意，取出石头后，下降的水的体积就是该石头的体积，该体积正好是圆柱体，先求出该圆柱杯子的底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝r2h，代入底面半径和水面下降的厘米数，即为石头体积即可。
【详解】由分析可得：
圆柱杯子底面的半径为：10÷2＝5（厘米）
石头体积为：
3.14×52×（8.5－6.5）
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157（立方厘米）
答：这块石头的体积是157立方厘米。
【点睛】本题主要考查了把求看起来不规则的物体体积转化到规则物体的体积上来，解题的关键是熟记圆柱体积公式，并且明确水面下降的体积就是石头的体积。
5．（1）18.84厘米
（2）423.9毫升
【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
（2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）3.14×6＝18.84（厘米）
答：长至少是18.84厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×15
＝3.14×9×15
＝28.26×15
＝423.9（立方厘米）
423.9立方厘米＝423.9毫升
答：这个茶杯的容积大约是423.9毫升。
【点睛】熟记圆的周长公式和圆柱的体积公式是解答本题的关键，关键是熟记公式。
6．1350平方厘米
【分析】根据题意可知，把圆锥从长方体容器内取出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积。根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝3V÷h，把数据代入公式解答。
【详解】60×30×5×3÷20
＝1800×5×3÷20
＝9000×3÷20
＝27000÷20
＝1350（平方厘米）
答：圆锥的底面积是1350平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．87.92平方分米
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，求出圆柱底面直径；高比底面直径多，把底面直径看作单位“1”，高是它的（1＋），用底面直径×（1＋），求出圆柱的高；求做这个汽油桶至少要用多少平方分米的铁皮，就是求个圆柱形汽油桶的表面积，根据表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。
【详解】直径：12.56÷3.14＝4（分米）
高：4×（1＋）
＝4×
＝5（分米）
表面积：3.14×（4÷2）2×2＋12.56×5
＝3.14×4×2＋62.8
＝12.56×2＋62.8
＝25.12＋62.8
＝87.92（平方分米）
答：做这个汽油桶至少要用87.92平方分米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式以及圆柱的表面积公式是解答本题的关键。
8．（1）20厘米
（2）1570平方厘米
【分析】（1）把水桶的高看成单位“1”，由题意可知，2厘米相当于水桶高的（1 ），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
（2）根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，据此可以求出水桶的底面积，进而求出水桶的底面半径，再根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【详解】（1）2÷（1 ）
＝2÷
＝20（厘米）
答：这个水桶的高是20厘米。
（2）水桶的底面积：628÷2＝314（平方厘米）
314÷3.14＝100（平方厘米）
因为10的平方是100，所以水桶的底面半径是10厘米
2×3.14×10×20＋314
＝62.8×20＋314
＝1256＋314
＝1570（平方厘米）
答：做这个水桶需要铁皮1570平方厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．（1）北；东；
（2）西北；400；
（3）见详解
【分析】（1）根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以超市的位置为观测点，即可确定广场位置的方向。
（2）根据地图上的方向，上北下南，左西右东。以超市的位置为观测点，即可确定公园位置的方向，根据图中所标注的线段比例尺，即可求出公园的位置及距离超市的距离。
（3）以超市的位置为观测点即可确定游乐场的方向，根据超市与游乐场的实际距离及比例尺求出图上距离，然后即可在图上标出它的位置。
【详解】（1）根据图片信息可知广场在超市北偏东40°的方向800m处。
（2）2×200＝400（m）
公园在超市的西北方向400m处。
（3）画图如下：
【点睛】本题考查了根据距离和方向确定物体的位置。
10．2小时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出康康家到某旅游景区的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，代入数据，求出康康家到景区需要的时间，即可解答。
【详解】7÷
＝7×2000000
＝14000000（厘米）
14000000厘米＝140千米
140÷70＝2（小时）
答：2小时后它们可以到达景区。
【点睛】本题考查实际距离和图上距离的换算，以及利用速度、时间和路程三者关系进行解答。
11．甲每天修240米；乙每天修360米
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这条路的长度；再根据“工作量÷工作时间＝工作效率”就可以求出二者的工作效率之和，又因“甲乙两队的工作效率比是2∶3”，利用按比例分配的方法，即可求出甲乙每天各修多少米。
【详解】12÷＝480000（厘米）
480000厘米＝4800米
4800÷8＝600（米）
600×
＝600×
＝240（米）
600－240＝360（米）
答：甲每天修240米，乙每天修360米。
【点睛】解答本题应熟练掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系以及工程问题中的基本数量间的关系：工作量÷工作时间＝工作效率。
12．酸梅原汁750毫升；水1750毫升
【分析】根据题意，240毫升的酸梅原汁和560毫升的水配制酸梅汤，口感最佳“可知，酸梅与水的比是一定的，设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（2500－x）毫升，根据酸梅∶水的比一定列出比例即可。
【详解】解：设需要酸梅原汁x毫升，那么水就有（2500－x）毫升。
＝
560x＝240×（2500－x）
800x÷800＝240×2500÷800
x＝750
2500－750＝1750（毫升）
答：需要酸梅原汁750毫升，水1750毫升。
【点睛】解答此题关键找出酸梅的浓度不变，根据此列比例解方程即可。
13．（1）图见详解；（1，2）
（2）图见详解
（3）东；北；45
（4）图见详解；
【分析】（1）根据旋转的特征，图形①三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，点B的位置不动，其余各点均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；再根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，把旋转后的点A的对应点的位置用数对表示出来；
（2）根据轴对称图形的特征：在一个平面内，一个图形沿某直线对折，对折后的两部分能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，从而画出它的对称轴；
（3）根据地图上方向的规定：上北下南，左西右东，以点C为观测点，说出图形②的圆心的位置；
（4）根据放大与缩小的意义，把图形②的半径按照1∶2缩小，即把圆的半径缩小到原来的，图形②的半径是2，缩小后的半径是2×＝1，画出缩小后的圆；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出原来圆的面积和缩小后圆的面积，再用缩小后圆的面积÷原来圆的面积，即可解答。
【详解】（1）旋转后的图形见下图；旋转后A的位置数对表示是（1，2）；
（2）见下图
（3）图形②的圆心在点C的东偏北45°方向上；
（4）2×＝1，图形见下图；
3.14×12÷（3.14×22）
＝3.14÷（3.14×4）
＝3.14÷12.56
＝
【点睛】本题考查图形的选择，图形的放大与缩小，根据方向、角度和距离确定物体位置；画对称轴；以及求一个数是另一个数的几分之几。
14．24克
【分析】已知蜂蜜与水的比是，其中水用了180克，可设调制这杯蜂蜜水用蜂蜜x克，根据比的意义列式为：＝x∶180，解决问题。
【详解】解：设调制这杯蜂蜜水用蜂蜜x克。
＝x∶180
15x＝180×2
15x＝360
x＝24
答：调制这杯蜂蜜水用蜂蜜24克。
【点睛】本题主要考查比例的实际应用能力。
15．84.78立方厘米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，取出冰激凌的底面直径和高的实际长度，再根据圆锥体的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】冰激凌的底面直径：
1÷
＝1×6
＝6（厘米）
冰激凌的高：
1.5÷
＝1.5×6
＝9（厘米）
3.14×（6÷2）2×9×
＝3.14×9×9×
＝28.26×9×
＝254.34×
＝84.78（立方厘米）
答：成品的容积是84.78立方厘米。
【点睛】利用实际距离和图上距离之间的换算，以及圆锥的体积公式进行解答。
16．（1）顺；180；
（2）见详解
（3）见详解
【分析】（1）根据旋转的特征，图①绕点O顺时针旋转180°，就得到图形②；
（2）根据旋转的特征，将图形①绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形④；
（3）根据旋转的特征，将图形③绕点A顺时针旋转90°，点A的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形⑤。
【详解】（1）图①绕点O顺时针旋转180°得到图形②；
（2）见下图
（3）见下图
【点睛】旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，要把整个图案的每一个顶点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转。
17．（1）（4，10）；（4，8）；
（2）（3）（4）（5）见详解
【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答；
（2）根据旋转的特征，图形①绕点E逆时针旋转90°，点E的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
（3）根据平移的特征，把图形②各顶点先分别向左平移3格，再向下平移1格，依次连结即可得到图形④；
（4）依据画轴对称图形的画法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形；
（5）图形①中数对的第二个数分别乘，求出各个点用数对表示的位置，之后再描点，连线即可。
【详解】（1）点B的数对是：（4，10），点D的数对是：（4，8）
（2）（3）（4）（5）如下图所示：
【点睛】本题考查的知识点比较多，要熟练掌握图形的旋转，平移的画法以及轴对称图形的画法和用数对表示位置的方法并灵活运用。
18．（1）见详解
（2）加工桌椅的时间和数量成正比例；理由见详解
（3）见详解
（4）270；11
【分析】（1）1天加工30套桌椅，5天加工（30×5）套桌椅；6天加工（30×6）套桌椅；7天加工（30×7）套桌椅，计算出结果，填写表格；
（2）判断两个先关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
（3）根据统计表提供的数字，绘制统计图；
（4）1天加工30套，9天加工多少套桌椅，用30×9；330除以30，即可求出多少天加工330套桌椅。
【详解】（1）30×5＝150（套）
30×6＝180（套）
30×7＝210（套）
时间/天 0 1 2 3 4 5 6 7 …
数量/套 0 30 60 90 120 150 180 210 …
（2）30∶1＝60∶2＝90∶3＝120∶4＝30（一定），加工桌椅的时间与数量成正比例；
（3）
（4）30×9＝270（套）
330÷30＝11（天）
【点睛】根据正比例意义和辨识，反比例意义和辨识，绘制正比例图形以及正比例的应用进行解答。
19．33厘米
【分析】根据教学楼的实际高度与模型高度的比值是一定，即两种量成正比例；13.2米＝1320厘米；设模型的高度是x厘米，列比例：40∶1＝1320∶x，解比例，即可解答。
【详解】13.2米＝1320厘米
解：设模型的高度是x厘米。
40∶1＝1320∶x
40x＝1×1320
x＝1320÷40
x＝33
答：模型的高度是33厘米。
【点睛】本题主要考查对正比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的相对应的比值一定，这两种量成正比例；注意单位名数的统一。
20．（1）30；25
（2）成反比例；理由见详解
（3）12张
【分析】（1）8×75＝10×60＝15×40＝600；根据积都是600，用600除以20和24即可；
（2）判断练习本每本的页数和装订的本数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是乘积一定；如果是比值一定，成正比例；如果是乘积一定，就成反比例；据此解答；
（3）用600除以50即可求出每本用纸多少张。
【详解】（1）8×75÷20
＝600÷20
＝30（本）
8×75÷24
＝600÷24
＝25（本）
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40 30 25
（2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝600（一定）
乘积一定，所以每本用纸张数与装订本数成反比例。
（3）8×75÷50
＝600÷50
＝12（张）
答：每本用纸12张。
【点睛】利用正比例意义和辨识，反比例意义和辨识以及反比例的应用进行解答。
21．（1）每天吃的量和可以吃的天数成反比例，理由见详解
（2）8天
【分析】（1）两个相关联的量如果乘积一定，则成反比例关系，由于每天吃的量×可以吃的天数＝一批大米（一定），则两个相关联的量乘积一定，则成反比例关系；
（2）由于总量一定，用总量÷每天吃的量＝可以吃多少天，把数代入公式即可求解。
【详解】（1）由于6000（千克），即每天吃的量×可以吃的天数＝6000（一定），所以每天吃的量和可以吃的天数成反比例关系。
（2）200×30÷750
＝6000÷750
＝8（天）
答：这批大米可以吃8天。
【点睛】本题主要考查反比例的辨认方法以及反比例的应用，熟练掌握反比例的辨认方法并灵活运用。
22．（1）成正比例关系；理由见详解
（2）见详解
（3）96；7.5
【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例；据此解答。
（2）首先根据统计表中的数据在图中描出各点，然后顺次连接各点即可。
（3）每天的生产效率×生产的天数＝生产总量即可解答。
【详解】（1）生产总量和时间成正比例关系；因为12∶1＝24∶2＝36∶3＝48∶4＝60∶5＝定值。所以生产总量和时间成正比例关系。
（2）作图如下：
（3）8×12＝96（吨）
90÷12＝7.5（天）
答：8天可以生产96吨纸，生产90吨纸需要7.5天。
【点睛】此题考查的意义是理解掌握正比例的意义及应用。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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