2023年初中学业水平诊断性测试试题卷
数学
（时量：120分钟 总分：150分）
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分.）
1. 计算的结果是（ ）
A. -5 B. -3 C. 3 D. 5
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，，则（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4. 如图，在中，，点分别为的中点，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
5. 如图，在中，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在单词（数学）中任意选择一个字母，字母为元音字母的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两.问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数人，琎的价格为两，那么可列成的方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知是的一条弦，，点在上，且，或，则的半径为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D.
10. 已知抛物线（是常数）与轴的交点为，点与点关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量与函数值的部分对应值如表：
… -1 0 1 3 4 …
… 6 -2 -2 …
下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的对称轴是直线 B. 当时，随的增大而增大
C. 将抛物线向上平移1个单位后经过原点 D. 点的坐标是，点的坐标是
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11. 的系数是___________.
12. 化简的结果是___________.
13. 分解因式：___________.
14. 不等式的解集是________.
15. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：________.
10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8.这组数据的众数是________________.
16. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________棵.
17. 如图，中，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是_____________.
18. 如图，正方形的边长为12，是对角线上一点，且，则_____________，是中点，在上取点，使得，交于，则的长为_____________.
三、解答题（8个小题，合计78分）
19.（6分）计算：
20.（8分）先化简，再求值：，其中.
21.（8分）如图，点在同一直线上，点在异侧，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数.
22.（10分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东70°方向，且与航母相距40海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛的正南方向的处.
（1）求的度数；
（2）求航母最后一段航行的距离的长.（参考数据：，，，，，）
23.（10分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？”（要求必须选修一门且只能选修一门）的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有____________名学生参与了本次问卷调查：“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是________________度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率.
24.（10分）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点.
（1）求的值和点的坐标；
（2）的周长.
25.（13分）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，且，求的面积.
26.（13分）已知：抛物线.
（1）当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）设该抛物线与轴交于，，与轴交于点，且满足，求这个抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，是否存在着直线与抛物线交于点，使轴平分的面积？若存在，求出应满足的条件；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C C B A B D
二、填空题（共8小题，每题4分，第18题每空2分,共32分）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 -6 3 4 120 相切
三、解答题（8个小题，合计78分）
19、解：原式
20、解：化简，原式
当时，原式
21、（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
22、解：（1）
（2）在中，，，海里，（海里），在中，（海里）．
答：还需航行的距离的长为10.2海里.
23、（1）120，99；
（2）
（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为，画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
24、（1）∵点在上，∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点的纵坐标为2．
∵点在上，
∴．
（2）∵，
∴，∴，
∴平行四边形的周长为.
25、（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴中
（注：可用锐角三角函数求解）
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴中，
∴中，
∴.
26、（1）当时，得出
求出对称轴直线，顶点坐标为.
（2）∵，
∴，
又，∴，
∴.
∵ ，
∴，
即，
（可以直接代入字母得分式方程简化运算）
∵ ，
∴，
化简得，解得（舍去）
∴解析式为.
（3）存在着直线与抛物线交于点，使轴平分的面积.
理由如下：设点的横坐标为，点的横坐标为,直线与轴交于点.
∵ ，
∴，
∴,
∵ 轴平分的面积，
∴点在轴的异侧，即，
由得
，为两根，得，
∴
又∵直线与抛物线有两个交点，∴.即.
∴当，且时，直线与抛物线交于点，使轴平分的面积.
