2023年初中学业水平诊断性测试试题卷
数学
(时量:120分钟 总分:150分)
一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共10小题,每小题4分,共40分.)
1. 计算的结果是( )
A. -5 B. -3 C. 3 D. 5
2. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
3. 如图,直线,,则( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
4. 如图,在中,,点分别为的中点,则( )
A. B. C. 1 D. 2
5. 如图,在中,一定正确的是( )
A. B. C. D.
6. 在单词(数学)中任意选择一个字母,字母为元音字母的概率是( )
A. B. C. D.
7. 我国古代数学名著《九章算术》中记载:“今有共买琎,人出半,盈四;人出少半,不足三.问人数、琎价各几何?”意思是:一起去买琎(一种像玉的石头),每个人出两,则多4两;每个人出两,则不足3两.问人数、琎的价格分别是多少?如果设人数人,琎的价格为两,那么可列成的方程组为( )
A. B. C. D.
8. 已知直线与相交于点,则关于的方程的解是( )
A. B. C. D.
9. 如图,已知是的一条弦,,点在上,且,或,则的半径为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D.
10. 已知抛物线(是常数)与轴的交点为,点与点关于抛物线的对称轴对称,抛物线中的自变量与函数值的部分对应值如表:
… -1 0 1 3 4 …
… 6 -2 -2 …
下列结论正确的是( )
A. 抛物线的对称轴是直线 B. 当时,随的增大而增大
C. 将抛物线向上平移1个单位后经过原点 D. 点的坐标是,点的坐标是
二、填空题(本题共8小题,每小题4分,共32分)
11. 的系数是___________.
12. 化简的结果是___________.
13. 分解因式:___________.
14. 不等式的解集是________.
15. 为振兴乡村经济,在农产品网络销售中实行目标管理,根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励,某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:________.
10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8 3 5 10 8.这组数据的众数是________________.
16. 为了改善生态环境,防止水土流失,红旗村计划在荒坡上种树960棵,由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵数是原计划的2倍,结果提前4天完成任务,则原计划每天种树的棵数是________棵.
17. 如图,中,,以点为圆心,为半径作,当时,与的位置关系是_____________.
18. 如图,正方形的边长为12,是对角线上一点,且,则_____________,是中点,在上取点,使得,交于,则的长为_____________.
三、解答题(8个小题,合计78分)
19.(6分)计算:
20.(8分)先化简,再求值:,其中.
21.(8分)如图,点在同一直线上,点在异侧,,,.
(1)求证:;
(2)若,,求的度数.
22.(10分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东70°方向,且与航母相距40海里,再航行一段时间后到达处,测得小岛位于它的北偏东37°方向,如果航母继续航行至小岛的正南方向的处.
(1)求的度数;
(2)求航母最后一段航行的距离的长.(参考数据:,,,,,)
23.(10分)某中学积极落实国家“双减”教育政策,决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量,促进学生全面健康发展,为优化师资配备,学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程?”(要求必须选修一门且只能选修一门)的随机问卷调查,并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图:
请结合上述信息,解答下列问题:
(1)共有____________名学生参与了本次问卷调查:“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是________________度;
(2)补全调查结果条形统计图;
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门,请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率.
24.(10分)如图,平面直角坐标系中,的边在轴上,对角线交于点,函数的图象经过点和点.
(1)求的值和点的坐标;
(2)的周长.
25.(13分)如图,在中,,是上的一点,以为直径的与相切于点,连接.
(1)求证:平分;
(2)若,求的值;
(3)在(2)的条件下,且,求的面积.
26.(13分)已知:抛物线.
(1)当时,求该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)设该抛物线与轴交于,,与轴交于点,且满足,求这个抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,是否存在着直线与抛物线交于点,使轴平分的面积?若存在,求出应满足的条件;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题(共10小题,每题4分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C C B A B D
二、填空题(共8小题,每题4分,第18题每空2分,共32分)
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 -6 3 4 120 相切
三、解答题(8个小题,合计78分)
19、解:原式
20、解:化简,原式
当时,原式
21、(1)证明:∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴;
(2)解:∵,
∴,
∵,
∴
∵,
∴,
∴.
22、解:(1)
(2)在中,,,海里,(海里),在中,(海里).
答:还需航行的距离的长为10.2海里.
23、(1)120,99;
(2)
(3)解:把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为,画树状图如下:
共有25种等可能的结果,其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为.
24、(1)∵点在上,∴.
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴点的纵坐标为2.
∵点在上,
∴.
(2)∵,
∴,∴,
∴平行四边形的周长为.
25、(1)证明:连接,
∵是的切线,
∴,即,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即平分;
(2)解:∵是的直径,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,
∴
∴,
∴中
(注:可用锐角三角函数求解)
(3)解:∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵
∴中,
∴中,
∴.
26、(1)当时,得出
求出对称轴直线,顶点坐标为.
(2)∵,
∴,
又,∴,
∴.
∵ ,
∴,
即,
(可以直接代入字母得分式方程简化运算)
∵ ,
∴,
化简得,解得(舍去)
∴解析式为.
(3)存在着直线与抛物线交于点,使轴平分的面积.
理由如下:设点的横坐标为,点的横坐标为,直线与轴交于点.
∵ ,
∴,
∴,
∵ 轴平分的面积,
∴点在轴的异侧,即,
由得
,为两根,得,
∴
又∵直线与抛物线有两个交点,∴.即.
∴当,且时,直线与抛物线交于点,使轴平分的面积.