2023年安徽省合肥市重点中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中，比小的数是( )
A. B. C. D.
2. 年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有万的卡塔尔投资亿美元修建各项设施数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 已知，如图，点是以为直径的半圆上一点，过点作的切线，于点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 合肥市某校九年级、班共有名女生和名男生分别被评为“智慧之星”，要从这位学生中随机抽取一男一女两位学生做获奖感言，女同学杨玲和男同学张军恰好来自同一班级，则他俩同时被抽中的概率为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，点和点分别是和上的点，已知，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知，，若，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，平分，交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 在等边中，、是中线，点是上点不与、重合，点是上一点，连接交于点，，以下结论错误的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. D. 点不可能是的中点
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 的立方根是______．
12. 因式分解：______．
13. 如图，点是双曲线是常数上一点，点，是双曲线是常数上一点，轴，轴，若四边形的面积为，则 ______ ．
14. 和的位置如图，，，连接，且，则：
若，则 ______ 用含的代数式来表示；
若，则的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
15. 随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径，目前，数字阅读已经成为当下更环保、更年轻的阅读方式，年中国数字阅读市场规模为亿元，年为亿元．
求到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率；
预计年中国数字阅读市场规模是否可以达到亿元？
四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
．
17. 本小题分
某人利用网络直播销售甲、乙两种商品，预计用替#换#一#换#替#元购进一批商品，其中乙种商品的个数是甲种商品的倍少个，甲、乙两种商品的单价分别为元个、元个求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少个？#
18. 本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
按照以上规律，解答下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示，并证明．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，．
以原点为位似中心，相似比为，作的位似图形，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；
若将绕原点逆时针旋转，得到，请在图中作出点，，分别为点，，的对应点；旋转过程中，点经过的路径长为______ ．
20. 本小题分
如图，内接于，为直径，射线于点，交于点，过点作的切线交射线于点．
当时，求的度数；
当，时，求的长．
21. 本小题分
教育部办公厅在关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知中明确要求保障学生每天校内、校外各小时体育活动时间，某校为了解本校九年级学生每天参加体育活动的情况，随机抽取了名学生，对某一天的体育活动时间进行了调查，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
调查结果的频数分布表
组别 时间分钟 频数
根据上述信息，解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ，扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为______ 度；
被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在哪一组直接写出组别即可；
若该校九年级共有名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于分钟的学生人数．
22. 本小题分
某公园要在小广场建造一个喷泉景观在小广场中央处垂直于地面安装一个高为米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为米时达到最大高度，此时离地面米．
以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式不要求写出自变量的取值范围；
张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
为了美观，在离花形柱子米处的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
23. 本小题分
如图，在中，，点为延长线上一点，．
求证：；
作，，垂足分别为点，，交于点．
如图，当平分时，求的值；
如图，连接交于点，当，时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
比小的数是，
故选：．
根据实数的大小比较法则：正数大于，负数小于，正数总大于负数，负数绝对值大的反而小即可得答案．
本题考查了实数的大小比较法则，熟记比较法则是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
利用合并同类项法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，如图，
是的切线，
，
．
，
，
，
．
故选：．
连接，利用圆的半径相等和切线的性质解答即可．
本题主要考查了圆周角定理，圆的有关性质，切线的性质定理，连接过切点的半径是常添加的辅助线．
6.【答案】
【解析】解：列表图如下：
杨玲 女 男 男 张军
杨玲 杨玲、女 杨玲、男 杨玲、张军
女 女、杨玲 女、男 女、张军
男 男、杨玲 男、女 男、男 男、张军
男 男 男、女 男、男 男、张军
张军 张军、杨玲 张军、女 张军、男 张军、男
由表可知：共有种等可能的结果，其中女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的结果有种，
故女同学杨玲和男同学张军恰好同时被抽中的概率为：，
故选：．
首先列出表格，再根据表格的情况，利用概率公式即可求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，
，即，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得．
故选：．
先在中根据正弦的定义和勾股定理可得、，进而得到，最后根据运用正弦的定义即可解答．
本题主要考查了正弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用正弦的定义成为解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
，，
、相当于是关于的一元二次方程的两个实数根，
．
故选：．
先推出，，进而得到、相当于是关于的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握在一元二次方程中，若，是该方程的两个实数根，则，是关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
设，
，，
，
平分交于点，
，
，
，，
∽，
：：，
即，
，，
，
，
点是线段的黄金分割点，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，设，证∽，得：：，再证，然后证点是线段的黄金分割点，求出，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明点为线段的黄金分割点是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、如图中，
是等边三角形，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，故选项A正确，不符合题意．
B、如图中，
，
，
，
，
，
，
，故选项B正确，不符合题意；
C、如图中，过点作于点．
在中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，故选项C错误，本选项符合题意．
D、正确，若点是的中点，
，
四边形是平行四边形，显然不可能，故选项D正确，不符合题意．
故选：．
A、正确，证明是等边三角形，可得结论；
B、正确．证明，可得结论；
C、错误，如图中，过点作于点证明，可以推出；
D、正确．利用反证法证明即可．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答．
【解答】
解：，
，
，
，
的立方根是．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：
--提取公因式
．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，延长交轴于点，延长交轴于，
点是双曲线是常数上一点，设，
图象在第四象限，
，．
点，是双曲线是常数上一点，轴，轴，
，，则，，，
点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则，
四边形的面积为，
，
，
．
故答案为：．
根据题意，延长交轴于点，延长交轴于点，设，点的纵坐标为，则，点的横坐标为，则，根据面积计算公式即可求解．
本题主要考查反比例函数与几何图形的面积，掌握反比例函数图象的性质，几何图形面积的计算公式，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：；
，
在和中，
，
≌，
，，
是等腰三角形，
，
，即，
，
，，
设，，
在中，利用勾股定理得，
即，
解得，
．
故答案为：．
由，证明∽，得到，再根据是等腰直角三角形可得，即可得出结果；
证明≌，可得，，从而证明是等腰三角形，得出，利用，，求出，，设，，在中利用勾股定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质证明三角形相似或全等是解题的关键．
15.【答案】解：设到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为．
根据题意可得．
解得，舍．
所以．
答：到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为．
由题意得：亿元．
，
年中国数字阅读市场规模不可以达到亿元．
答：年中国数字阅读市场规模不可以达到亿元．
【解析】设到年中国数字阅读市场规模的年平均增长率为根据题意列出一元二次方程并求解即可．
根据题意求出年中国数字阅读市场规模，再进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】解：
．
【解析】直接利用二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂、绝对值的性质、负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：设甲种商品有个，则乙种商品有个，
根据题意得：，
解得，
则，
答：这批商品中甲种商品有个，乙种商品有个．
【解析】设甲种商品有个，则乙种商品有个，根据“总价值为元”列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
18.【答案】
【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式为：，
证明：左边右边，
故猜想成立．
故答案为：．
根据所给的等式进行求解即可；
分析所给的等式不难得出：，再把等式左边进行整理即可求证．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
旋转过程中，点经过的路径长为．
故答案为：．
根据位似的性质作图即可．
根据旋转的性质作图即可；由勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可．
本题考查作图位似变换、旋转变换、勾股定理、弧长公式，熟练掌握位似和旋转的性质、勾股定理、弧长公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：连接，如图，
为直径，
．
，
为的切线，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
；
，
设，则，
．
，
．
，
为的中位线，
，
，
．
，．
，，
∽，
，
，
．
．
【解析】连接，利用圆周角定理得到，利用圆的切线的性质定理得到，再利用直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，则；
设，则，，利用垂径定理和三角形的中位线定理得到，求得值；再利用相似三角形的判定与性质求得，则．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为，
故答案为：，；
由题意可知，被抽取的名学生这一天的体育活动时间数据的中位数在组；
名，
答：估计该校九年级学生平均每天体育活动时间不低于分钟的有名学生．
根据组的频数和百分比求出抽取总数，用总数乘以组所占比例可得求出的值，求出组所占百分比，乘以即可求解；
根据中位数的定义即可求解；
用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是求出样本容量，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，，
设第一象限内的抛物线解析式为，
将点代入物线解析式，
，
解得，
第一象限内的抛物线解析式为；
根据题意，令，
即，
解得，，
，抛物线开口向下，
当时，，
的取值范围为；
作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示，
，
设直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
即，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，
，
，
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【解析】根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可；
先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离．
本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
23.【答案】证明：如图中，，
，
，，
又，
，
；
解：平分，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，
负值已经舍去，
，
，，
，
；
连接，，设交于点．
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
解得，
，
．
【解析】欲证明，只要证明即可；
设，，证明∽，推出，可知，即，可得负值已经舍去，即可解决问题；
连接，，设交于点证明是等腰直角三角形，再证明，设，则，，利用相似三角形的性质求出，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
第1页，共1页
