2023年北京市丰台区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面几何体中，主视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2. 二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位其中万亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列度数的角，只借助一副三角尺不能拼出的是( )
A. B. C. D.
5. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
7. 小文掷一枚质地均匀的骰子，前两次抛掷向上一面的点数都是，那么第三次抛掷向上一面的点数是的概率是( )
A. B. C. D.
8. 下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是( )
圆的周长是半径的函数；
表达式中，是的函数；
如表中，是的函数；
如图中，曲线表示是的函数．
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．
10. 分解因式：______．
11. 方程的解为______．
12. 如图，在中，为弦，于点，交于点，，连接，，则图中存在的相等关系有______ 写出两组即可．
13. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则 ______ 填“”或“”．
14. 如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若点到的距离为，则 ______ ．
15. 为了解北京市年月气温的变化情况，小云收集了该月每日的最高气温，并绘制成如图的统计图若记该月上旬日至日的最高气温的方差为，中旬日至日的最高气温的方差为，下旬日至日的最高气温的方差为，则，，的大小关系为______ 用“”号连接．
16. 临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共袋每袋均为同一品种的粽子，其中小枣粽每袋个，豆沙粽每袋个，肉粽每袋个为了促销，超市计划将所购粽子组合包装，全部制成，两种套装销售套装为每袋小枣粽个，豆沙粽个；套装为每袋小枣粽个，肉粽个．
设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋，则购进的肉粽的个数为______ 用含，的代数式表示；
若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进______ 袋
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
已知，求代数式的值．
20. 本小题分
在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．
等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”
已知：如图，在中，求证：．
甲的方法：
证明：作的平分线交于点．
乙的方法：
证明：作于点．
丙的方法：
证明：取中点，连接．
21. 本小题分
如图，在 中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
求证：四边形是矩形；
连接，若，，求的长．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
求这个函数的表达式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立小华对截止到年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄单位：岁数据进行了收集、整理和分析下面是部分信息．
“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图数据分成组：，，，，；
“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在这一组的是：
“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
，
根据以上信息，回答下列问题：
截止到第十六届共有______ 人获得“华罗庚数学奖”；
补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄______ 填“小”或“大”，理由是______ ；
根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况．
24. 本小题分
如图，是的直径，，是的两条弦，，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
25. 本小题分
赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动某地计划进行一场划龙舟比赛，图是比赛途中经过的一座拱桥，图是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度单位：与到点的水平距离单位：近似满足函数关系据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．
水面的宽度 ______ ；
要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
当时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出和的大小关系；
抛物线经过点
当时，若，则的值为______ ；
若对于任意的都满足，求的取值范围．
27. 本小题分
在正方形中，点为对角线的中点，点在对角线上，连接，点在直线上点与点不重合，且．
如图，当点在线段上不与端点重合时，
求证：；
用等式表示线段，，的数量关系并证明；
如图，当点在线段上不与端点重合时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系．
28. 本小题分
对于点和图形，若在图形上存在不重合的点和点，使得点关于线段中点的对称点在图形上，则称点是图形的“中称点”在平面直角坐标系中，已知点，，．
在点，，，中，______ 是正方形的“中称点”；
的圆心在轴上，半径为．
当圆心与原点重合时，若直线上存在的“中称点”，求的取值范围；
若正方形的“中称点”都是的“中称点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，四棱锥的主视图是三角形，球的主视图是圆，
故选：．
根据主视图是从物体正面看所得到的图形，即可选出答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2.【答案】
【解析】解：万亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
4.【答案】
【解析】解：、它可以用一副三角尺拼出；
B、，它可以用一副三角尺拼出；
C、，它可以用一副三角尺拼出；
D、，无法用一副三角尺拼出．
故选：．
一副三角尺有以下几个角度：，，，；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出．
本题考查了角的和差，正确记忆一副三角尺的角的度数是的倍数解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故选：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，
，
，
不正确．
B、与原点的距离大于与原点的距离，
，
B正确．
C、，且，，
，
不正确．
D、，，
，
不正确．
故选：．
根据有理数的运算法则和绝对值的性质逐个判断即可．
本题考查了有理数运算法则的应用和绝对值的性质，判断符号是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：根据概率公式向上一面点数是．
故选：．
弄清骰子六个面上分别刻的点数，再根据概率公式解答就可求出点数为的概率．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：圆的周长是半径的函数，正确；
表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，正确；
是的函数，正确；
如图中，对于的每一个取值，不唯一确定的值与之对应，不是的函数．
故选：．
根据函数的定义分别判断即可．
本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
．
先提公因式，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．
本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
11.【答案】
【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即方程的解为，
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12.【答案】，答案不唯一
【解析】解：如图，
，
，，，
，，．
故答案为：，答案不唯一．
根据垂径定理得到，，，则根据圆周角定理得到，，根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后写出两组相等的关系即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
13.【答案】
【解析】解：点，在反比例函数的图象上，且，
点在第二象限，在第四象限，
，
故答案为：．
根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性即可确定的取值范围．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
14.【答案】
【解析】解：过作于，
由作图得：平分，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
先根据角平分线的性质得出，再根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理及角平分线的性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据折线图可以看出，日日气温在至徘徊；日至日气温在至徘徊；日至日气温在至徘徊，
所以日日气温气温波动最大，日至日气温波动最小，日至日气温波动在上旬和中旬之间，
所以．
故答案为：．
根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小．
本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键．
16.【答案】
【解析】解：由已知得，购进的肉粽袋，肉粽每袋个，
购进的肉粽个；
故答案为：；
设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋，则购进的肉粽袋，
小枣粽每袋个，豆沙粽每袋个，肉粽每袋个，
购进的小枣粽个，豆沙粽个，购进的肉粽个，
套装为每袋小枣粽个，豆沙粽个，
套装包装了套，套装需个小枣粽，
套装为每袋小枣粽个，肉粽个，
套装包装了套，套装需个小枣粽，
，
变形整理得：，
肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，
，
，
解得，
豆沙粽最多购进袋，
故答案为：．
由已知购进的肉粽袋，故购进的肉粽为个；
设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋，则购进的肉粽袋，则购进的小枣粽个，豆沙粽个，购进的肉粽个，根据套装为每袋小枣粽个，豆沙粽个，套装为每袋小枣粽个，肉粽个，可得，即，又肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，即得，解不等式可得答案．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式解决问题．
17.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：
，
，
，
则原式．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，把已知等式变形，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：能用甲、乙同学添加辅助线的方法完成证明，
甲的方法，证明如下：
如图，作的平分线交于点，
则，
在和中，
，
≌，
；
乙的方法，证明如下
如图，过作于点，
则，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证≌或≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
解：四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
【解析】由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形；
由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键．
22.【答案】解：函数的图象经过点，．
，
解得，
这个函数的表达式为；
的值大于，
，
解得，
，
，
，
的取值范围为．
【解析】把，代入，根据待定系数法求得即可；
根据已知条件得到不等式，解不等式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式与一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23.【答案】 小 徐宗本院士的获奖年龄比“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的中位数小
【解析】解：人，
即截止到第十六届共有人获得“华罗庚数学奖”；
故答案为：；
年龄在”“的人数为：人，
补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：
把个人的年龄从小到大排列，排在第和第个数分别是、，故中位数，
因为，
所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小．
故答案为：小；徐宗本院士的获奖年龄比“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的中位数小；
答案不唯一，如：“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄集中在岁至岁．
用““的频数除以可得答案；
用总数分别减去其它四组的人数可得年龄在”“的人数，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
根据中位数的定义，中位数等于第，的年龄的平均数，再比较中位数与可得答案；
答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
又，
，
，
是的切线，
，
；
解：过点作于，
，
，
又是的直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
．
【解析】连接，证出，由平行线的判定得出，由切线的性质得出，则可得出结论；
过点作于，证出，得出，求出，由勾股定理求出的长，证出四边形为矩形，得出，则可得出答案．
本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：令，则，
解得，，
，
故答案为：；
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为条．
令，解方程求出的值即可；
令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以得出可设计赛道的条数．
本题考查二次函数的应用，关键是当的值一定时解一元二次方程．
26.【答案】
【解析】解：当时，，
抛物线的顶点坐标为，
时，，
时，，
；
当时，，
，
，
故答案为：；
对于任意的都满足，
点，，存在如下情况：
情况，如图，当时，，
，
解得；
情况，如图，当时，，
，
，解得，
综上所述，或．
由配方法可求出顶点坐标，时，，时，，则可得出答案；
由题意得出方程，求出的值即可；
分两种情况，当时，当时，由二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
27.【答案】证明：如图，过点作于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，，，
，
又，
≌，
，，
，
，
；
解：，理由如下：
，
；
解：，理由如下：
如图，过点作于，交于，
四边形是正方形，
，，，
，
四边形是矩形，是等腰直角三角形，
，，，，
，
又，
≌，
，
，
．
【解析】由“”可证≌，可得，由平行线的性质可得结论；
由线段的和差关系可求解；
由“”可证≌，可得，由线段的和差关系可求解．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28.【答案】，
【解析】解：任意一点的“中称点”的轨迹是一个边长为的正方形，如图，
，在边长为的正方形边上及内部，
，是正方形的“中称点”，
故答案为：，；
圆的“中称点”轨迹是以原点为圆心，为半径的圆上及内部，如图，
当直线与圆相切时，能分别取到最大值和最小值，
当时，，
当时，直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，
，
；
当时，同理可得，
；
圆的“中称点”轨迹是以为圆心，为半径的圆上及内部，正方形的“中称点”轨迹是边长为的正方形，
如图，当时，，，
，
；
如图，当时，，，
，
；
综上所述：．
任意一点的“中称点”的轨迹是一个边长为的正方形，画出图形，再结合所给的点进行判断即可；
圆的“中称点”轨迹是以原点为圆心，为半径的圆上及内部，当直线与圆相切时，能分别取到最大值和最小值，由此求的取值即可；
圆的“中称点”轨迹是以为圆心，为半径的圆上及内部，正方形的“中称点”轨迹是边长为的正方形，结合图形，分和两种情况讨论即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆与直线的位置关系，正方形的性质，理解定义，能够根据定义确定正方形和圆的“中称点”轨迹是解题的关键．
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