2023年浙江省杭州市文澜中学九年级竞赛数学试卷
一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分）
1．已知∠α为锐角，且，则∠α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
5．如图，BD是△ABC外接圆的直径，BE⊥AC于点E，连结CD，若∠ABE＝40°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．下列命题为假命题的是（ ）
A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019
B．
C．若a＞b，则a2＞ab
D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c
7．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路，返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．有甲、乙两个不同的水箱，容量分别为a升和b升，且已各装了一些水，若将甲中的水全倒入乙箱之后，乙箱还可以继续装20升水才会满；若将乙箱中的水倒入甲箱，装满甲箱后，乙箱里还剩10升水，则a，b之间的数量关系是（ ）
A．b＝a+15 B．b＝a+20 C．b＝a+30 D．b＝a+40
12．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，延长AE交CG于点F，连接DE，下列结论：①AF⊥CG；②四边形BEFG是正方形；③若DA＝DE，则CF＝FG，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
13．如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC，则（ ）
A．①正确；②不正确 B．①正确；②正确
C．①不正确；②正确
14．已知点P（m，n）在直线y＝﹣x+4上，且2m﹣5n≥0，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
15．在平面直角坐标系中，已知点A（m2﹣1，n），B（m2，n﹣1），下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过点A和点B的是（ ）
A．y＝2x+b B．y＝a（x﹣1）（a≠0）
C．y＝﹣ D．y＝2x2+4x+c
二、填空题（本大题有15个小题，每小题4分，共60分）
16．因式分解：x3﹣4x＝ ．
17．分式方程的解是 ．
18．两组数据：3，a，8，5与a，6，b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组，则这组新数据的中位数为 ．
19．若x，y满足，则x+2y的值为 ．
20．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
21．一个圆锥的底面半径为8cm，其侧面展开图的圆心角为240°，则此圆锥的侧面积为 ．
22．已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 ．
23．已知在直角坐标平面内，以点P（1，2）为圆心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点，那么r的值是 ．
24．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么把这个三角形叫做半高三角形，已知Rt△ABC是一个半高三角形，斜边AB＝10，则它的周长是 ．
25．如图，一张直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AB＝24，，将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为 ．
26．如图，在平面坐标系中，B（12，4），C（8，0），四边形OABC是平行四边形，过点A作反比例函数y＝（x＞0），图象交BC于点D，连结OD，则△OCD的面积是 ．
27．在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为 ．
28．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B，则满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围是 ．
29．如图，正方形ABCD，AB＝2，点E为AD上一动点，将三角形ABE沿BE折叠，点A落在点F处，连接DF并延长，与边AB交于点G，若点G为AB中点，则AE＝ ．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G，若BE＝，sinB＝，则DG的长为 ．
三、解答题（本大题有1个小题，共15分）
31．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0．
（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．
（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限，二次函数y＝mx2+nx+1经过点 （a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．
（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．
