达州市渠县2022-2023学年高二下学期期中考试
理科数学试题
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．设命题p：，命题q：一元二次方程有实数解．则是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A． B． C．7 D．8
5． 方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A．3600种 B．1440种 C．4820种 D．4800种
8．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
9．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．直线MN与平面ABCD所成的角为60°
D．异面直线MN与所成的角为45°
11．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为，侧棱长为，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知函数，则________．
14．已知复数为虚数单位，则__________．
15．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识"竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有___________种．
16．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
三、解答题
17．已知两圆，
求（1）它们的公共弦所在直线的方程；
（2）公共弦长。
18．已知角所对的边分别为,的周长为,且.
(1)求边的长;
(2)若的面积为,求角的度数.
19．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
20．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．
(1)求证：PC∥平面BMD；
(2)求二面角M－BD－P的大小．
21．已知椭圆的长轴长为4，点在上.
（1）求椭圆的方程；
22．已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
参考答案：
1．B 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．B 12．B
13． 14． 15．45 16．
17．解：（1）①；②；
②①得：为公共弦所在直线的方程；
（2）弦长的一半为，公共弦长为。
18．（1）由题意得:，
在中,将正弦定理代入可得，
又,即，
所以；
（2）由(1)知,,所以，
因为，
所以,又有，
所以，
因为，
所以.
19．（1）当时，，则，，又，
在点处的切线方程为：，即.
（2）由题意得：定义域为，；
当时，，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
20．（1）连接AC交BD于N，连接
在正方形ABCD中，，
∴N是AC的中点.
又M是AP的中点，
∴MN是的中位线，，
∵面BMD，面BMD，
∴∥平面BMD，
（2）取AD的中点O，连接OP，
在中，，O是AD的中点，
∴，
又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，
∴平面
在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，
∴，
∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
，，，，
∴，，
设平面MBD的一个法向量，
则，即
取，得，
∴是平面MBD的一个法向量：
同理，是平面PBD的一个法向量，
∴，
设二面角的大小为，
由图可知，，，且为锐角，
∴，
故二面角的大小是
21．（1）解：由题意得 ，
又点在上，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得.
，所以
，，
，
∵，所以，则，
所以.
22．（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
