2022-2023学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＞﹣2y C．x﹣y＜0 D．
3．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
4．若等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．8或10
5．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．AB＝BC C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
7．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（m，1），当kx+b＞x时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜1 D．x＞1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若点A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称，则m＝ ．
10．如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A点，共走了800m，则山的高度AC是 m．
11．若不等式组的解集为，其解为x＞n，则n的取值范围是 ．
12．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝45°，∠BOD＝60°，则∠BOC＝ ．
13．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是 ．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解不等式：．
15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
16．解不等式组，并求出符合条件的所有正整数解．
17．如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABC，使点C在小正方形的顶点上，且∠BAC＝90°．
18．某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价70元，楼梯宽2米，楼梯侧面及相关数据如图所示，求买地毯至少需要多少元？
19．一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
20．若实数a使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求实数a的取值范围．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．
求证：CD+AB＝AD．
24．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
25．为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
26．在边长为10的等边△ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，
（Ⅰ）求证：PD＝QD；
（Ⅱ）求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形；故B不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．若x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＞﹣2y C．x﹣y＜0 D．
【分析】根据不等式的性质3对A选项进行判断；根据不等式的性质1对B选项、C选项进行判断；根据不等式的性质2对D选项进行判断．
解：A．因为x＞y，则﹣2x＜﹣2y，所以A选项不符合题意；
B．因为x＞y，则x﹣6＞y﹣6，所以B选项不符合题意；
C．因为x＞y，则x﹣y＞0，所以C选项不符合题意；
D．因为x＞y，则＞，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．
3．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】利用勾股定理的逆定理进行计算即可求解．
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4．若等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．8或10
【分析】由非负数的性质先求得a，b，再根据三角形三边之间的关系确定出那个是腰，进而求得周长的值．
解：∵+（b﹣4）2＝0，
∴，
解得a＝2，b＝4，
∵2a＝4，
∴底边的长不能为4，只能为2，
∴腰长为4，
∴周长＝4×2+2＝10，
故此等腰三角形的周长为10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程式正确解答本题的关键．
5．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．
解：如图：
当PQ⊥OA时，PQ有最小值，
∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，
∴PH＝PQ＝3，
∴PQ长的最小值为3，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD⊥BC B．AB＝BC C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
【分析】由AB＝AC知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
故选项A、D、C正确，AB＝BC不一定成立，
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】先求出CD的长，根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，即可求出BD的长．
解：∵AD＝3cm，AC＝9cm，
∴CD＝AC﹣AD＝6cm，
∵MN垂直平分BC，
∴BD＝CD＝6cm，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（m，1），当kx+b＞x时，x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜1 D．x＞1
【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＞x时，x的取值范围．
解：把点A（m，1）代入y＝x，得
1＝m，
解得m＝3．
即A（3，1）．
由图象可得，
当kx+b＞x时，x的取值范围是x＜3．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．若点A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称，则m＝ 3 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案．
解：∵A（2，﹣3）与点B（﹣2，m）关于原点对称，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
10．如图，小明沿倾斜角∠ABC＝30°的山坡从山脚B点步行到山顶A点，共走了800m，则山的高度AC是 400 m．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵∠ABC＝30°，AB＝800m，
∴sin30°＝，
∴山的高度AC是：AC＝AB＝400m．
故答案为：400．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
11．若不等式组的解集为，其解为x＞n，则n的取值范围是 n≥3 ．
【分析】根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
解：∵不等式组的解集为x＞n，
∴n≥3，
故答案为：n≥3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，若∠AOB＝45°，∠BOD＝60°，则∠BOC＝ 15° ．
【分析】求出∠DOC＝45°，再利用角的和差定义求解．
解：由旋转的性质可知，∠AOB＝∠COD＝45°，
∵∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
13．一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是 17 ．
【分析】先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可．
解：如图所示，∵六个内角都是120°，
∴三角形的每个内角都是60°，即△CDE，△BFG，△AHI，△ABC都为等边三角形，
∴CE＝2，BF＝3，
∴BC＝2+4+3＝9，
∴AH＝AB﹣GH﹣BG＝9﹣1﹣3＝5，
∴DI＝AC﹣AI﹣CD＝9﹣5﹣2＝2，HI＝AH＝5，
∴该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5＝17．
故答案为17．
【点评】主要考查了正多边形的相关性质．边相等，角相等．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解不等式：．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：∵，
∴x﹣1﹣2（2x+1）≥4，
x﹣1﹣4x﹣2≥4，
x﹣4x≥4+1+2，
﹣3x≥7，
则x≤﹣．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
15．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
解：，
由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，
整理得：5x＞﹣5，
解得：x＞﹣1，…（1分）
由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，
移项得：3x﹣x≤5+3，
合并得：2x≤8，
解得：x≤4，…
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．…
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…
【点评】此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法（同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解）来找出不等式组的解集．
16．解不等式组，并求出符合条件的所有正整数解．
【分析】先求出各个不等式的解，然后确定不等式组的解集，即可得出整数解．
解：
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
∴正整数解有1，2，3，4．
【点评】题目主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．
17．如图，下列网格是由边长为1的小正方形组成，在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABC，使点C在小正方形的顶点上，且∠BAC＝90°．
【分析】利用等腰直角三角形的定义画出图形即可．
解：如图，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．某宾馆重新装修后，准备在大厅的楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价70元，楼梯宽2米，楼梯侧面及相关数据如图所示，求买地毯至少需要多少元？
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米，
∴地毯的长度为：6+4＝10（米），地毯的面积为：10×2＝20（平方米），
∴买地毯至少需要：20×70＝1400（元）．
答：买地毯至少需要1400元．
【点评】本题主要考查了生活中的平移现象，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
19．一次数学竞赛中，共有20道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分；80分以上（含80分）可以获奖，问若要获奖，至少要答对几道题？
【分析】根据题意，设答对x题，则答对获得的分数为6x，而答错损失的分数为2（20﹣x），由这次竞赛获奖必须达到80分，列出不等式求解即可．
解：设答对x题，那么答错或者不答的有20﹣x题
6x﹣2（20﹣x）≥80
解得：x≥15
答：至少要答对15题．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键．
20．若实数a使得关于x的不等式组有且仅有4个整数解，求实数a的取值范围．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组至少有4个整数解，确定出a的范围．
解：由得x＜4，
由6x﹣5≥a得x
∵不等式组至少有4个整数解，即至少有0，1，2，3，4个整数解，
∴≤0．
∴a≤﹣5．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
21．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，求出区域的面积，即可求出答案．
解：连接AC，如图所示：
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
由勾股定理得：AC＝＝5（m），
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴铺满草坪的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝24（m2）．
答：这块空地铺满草坪的面积是24m2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积，勾股定理的逆定理等知识，解此题的关键是求出铺满草坪的面积．
22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质可得△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质可得△A2B2C2．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．
求证：CD+AB＝AD．
【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得BE＝EF，再证Rt△EFA和≌Rt△EBA，求出AF＝AB，由E是BC的中点，得出BE＝CE＝EF，证Rt△EFD和≌Rt△ECD，得出DF＝CD，即CD+AB＝DF+AF＝AD，则CD+AB＝AD．
【解答】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，
∴BE＝EF，
在Rt△EFA和Rt△EBA中，
，
∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．
∴AF＝AB，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝EF，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．
∴DF＝CD，
∴CD+AB＝DF+AF＝AD，
∴CD+AB＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
24．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA＝P′A，旋转角∠P′AP＝∠BAC＝60°，所以△APP′为等边三角形，即可求得PP′；
（2）由△APP′为等边三角形，得∠APP′＝60°，在△PP′B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P′PB＝90°，可求∠APB的度数．
解：（1）连接PP′
由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP，
∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°，
所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形，
所以PP′＝BP＝BP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°，
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解题关键．
25．为了庆祝建党102周年，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．
（1）求A，B两种奖品的单价．
（2）学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．
【分析】（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需200元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购买A种奖品m个，B种奖品（60﹣m）个，由题意：B奖品的数量不少于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可．
解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
由题意得：，
解得：．
答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；
（2）设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（40﹣m）个，
由题意得：，
解得：43≤m≤45，
∵m为整数，
∴m可取43或44或45，
∴60﹣m＝17或16或15，
∴学校有三种购买方案：
方案一、购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；
方案二、购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；
方案三、购买A种奖品45个，购买B种奖品15个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式组．
26．在边长为10的等边△ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，
（Ⅰ）求证：PD＝QD；
（Ⅱ）求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，试确定BE、CD的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）（I）如图①，过点P作PF∥AC交BC于点E．只要证明△PFD≌△QCF即可；（II）由△PFD≌△QCD，推出DF＝DC＝CF＝即可；
（2）分两种情形①如图②，当点P在线段BA上时，BE+CD＝BC＝5；②如图②﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝BC＝5；
解：（1）如图①，过点P作PF∥AC交BC于点E．
∴∠FPD＝∠Q，∠PFB＝∠ACB＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝PF，
∵P、Q的运动速度相同，
∴PB＝QC，
∴PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCF，
∴PD＝QD．
（II）∵P是AB中点，
∴BP＝BF＝＝5，
∴CF＝10﹣BF＝5，
∵△PFD≌△QCD，
∴DF＝DC＝CF＝．
（2）①如图②，当点P在线段BA上时，BE+CD＝BC＝5，
理由：作PF∥AC交BC于F．
由（1）可知：△PFD≌△QCD，
∴DF＝DC，
∵PE⊥BF，
∴BE＝EF，
∴BF+CF＝BC，
∴2BE+2CD＝BC，
∴BE+CD＝BC＝5．
②如图②﹣1中，当点P在线段BA的延长线上时，BE﹣CD＝BC＝5．
理由：作PG∥AC交BC的延长线于G．
同理可证：△PGD≌△QCD，BE＝EG，
∴DC＝DG，
∴BG﹣CG＝BC，
∴2BE﹣2CD＝BC，
即BE﹣CD＝BC＝5．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
