2022-2023学年江苏省镇江市丹徒区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列合并同类项中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列图形可以作为一个正方体的展开图的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
4. 算法统宗是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在算法统宗中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多尺，若将绳四折测之，绳多尺，绳长井深各几何？”
译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳尺．问绳长、井深各是多少尺？”设井深为尺，根据题意列方程，正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 已知：关于的方程的解是，其中且，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
6. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的长方形内，两个正方形的周长和为，则这两个正方形的重叠部分图中阴影部分所示的周长可用代数式表示为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 的相反数是______．
8. 单项式的系数是______ ．
9. 马拉松国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离英里码，折合约为米，用科学记数法表示为______．
10. 比较大小：______．
11. 已知与是同类项，则的值是______．
12. ______ 度
13. 一个角的余角比这个角小，则这个角的度数为______．
14. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体的名称是______．
15. 已知，，则代数式 ______ ．
16. 如图，，于点，点、、在一条直线上，则 ______
17. ，平分，，垂足为，则 ______
18. 如图是由图这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，记正方形的面积为，记正方形的面积为，记正方形的面积为，若，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算与化简：
；
；
先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
解方程：
；
．
21. 本小题分
如图，所有小正方形的边长都为个单位，、、均在格点上．
过点画线段的平行线；
过点画线段的垂线，垂足为；
过点画线段的垂线，交线段的延长线于点：
线段、、的大小关系是______ 用“”连接
22. 本小题分
由大小相同的小立方块搭成的几何体如左图，请在右图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．
如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加个小立方块．
23. 本小题分
某商场用元购进甲、乙两种商品共件，这两种商品的进价、标价如表所示：
价格类型 甲 乙
进价元件
标价元件
这两种商品各购进多少件？
若甲种商品按标价的折出售，乙种商品按标价的折出售，且在运输过程中有件甲种、件乙种商品不慎损坏，不能进行销售，请问这批商品全部售出后，该商场共获利多少元？
24. 本小题分
如图，直线和相交于点，，平分．
若，求的度数；
若比小，求的度数．
25. 本小题分
已知关于的方程的解也是关于的方程的解．
求、的值；
如图，数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为．
若点为线段的中点，点为线段的中点，求线段的长度；
若点从点出发以个单位秒的速度沿数轴正方向运动，点从点出发以个单位秒的速度沿数轴负方向运动，经过______ 秒，、两点相距个单位．
26. 本小题分
如图，内部有一射线，，与的度数比为：射线从出发，以度秒的速度绕点顺时针旋转，同时射线从出发以度秒的速度绕点顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转即在与之间来回摆动，当与重合时，与都停止旋转旋转过程中设旋转的时间为秒．
时， ______ ；
当为何值时，恰好是的平分线；
在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的的取值范围；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：选项A折叠后缺少一个侧面，上面重合，缺少一个底面，侧面重合，选项D缺少一个侧面，可以是一个正方体的平面展开图的是．
故选：．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
此题主要考查了正方体展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据数轴上点的位置得：，，
，，，，
，
选项符合题意．
故选：．
根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．
此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，不变的是绳长，用代数式表示绳长是此题的关键．
用代数式表示绳长即可得方程．此题中的等量关系有：将绳三折测之，绳多四尺；绳四折测之，绳多一尺．
【解答】
解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：，根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：，
故．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：把代入方程得：
，
，
，
，
，
，
故选：．
把代入方程得出，求出，求出，再代入求出答案即可．
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于、的方程是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、，
两个正方形的周长和为，
，
，
，，
长方形的周长为，
，
，
，
，
，
阴影部分的周长为，
故选：．
设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案．
本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故答案为：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
8.【答案】
【解析】解：单项式的系数．
故答案为：．
根据单项式系数的定义解答即可．
本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
10.【答案】
【解析】解：
即：
故答案为“”．
先比较与的大小，再根据不等式的基本性质进行变形，再进一步比较即可．
本题考查的是两个实数的大小比较，利用不等式的性质进行变形，得出要比较的式子，是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由与是同类项，可知．
故答案为：．
根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得的值．
本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易错点，因此成了中考的常考点．
12.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
先计算，即可得出答案．
本题考查角的度分秒的换算，正确换算是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设这个角为，则余角为，
由题意得，，
解得：，
故答案为：．
设这个角为，表示出余角，然后列方程求解即可．
本题考查了余角的和补角的知识，注意掌握互余两角之和为，互补两角之和为．
14.【答案】三棱柱
【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故答案为：三棱柱．
由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
15.【答案】
【解析】解：，，
，，得．
故答案为：．
将通过拆分，写成的形式，可得结论．
本题考查整式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平角定义先求出的度数，再根据垂直定义求出，从而求出的度数．
本题考查了垂线，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：，
，
，平分，
，
当在内时，
，
当在外时，
．
故答案为：或．
分两种情况，一种为在内，一种为在外，再由垂直定义可得，根据角平分线定义可得，然后再计算出的度数即可．
此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，关键是考虑全面，进行分情况讨论．
18.【答案】
【解析】解：图是由图这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，
由图形可知，，
，
又，
，
，
故答案为：．
由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果．
本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键．
19.【答案】解：
；
；
，
当，时，
原式
．
【解析】利用乘法分配律进行运算即可；
先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可；
先去括号，再合并同类项，最后代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的加减，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
【解析】方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21.【答案】
【解析】解：直线即为所求；
直线即为所求；
直线即为所求；
，
，
，
，
，
故答案为：．
利用网格的特点直接作出平行线及垂线即可；
利用垂线段最短比较两条线段的大小即可．
本题考查了垂线段最短和点到直线的距离，理解有关垂线段的性质及能进行简单的基本作图是解题的关键．
22.【答案】解：如图所示：
；
可以在和的位置上各添加一个小正方体，这个几何体的俯视图和左视图都不变，
最多添加个．
【解析】俯视图有列，每列小正方形数目分别为，，，左视图有列，每列小正方形数目分别为，据此可画出图形；
保持这个几何体的俯视图和左视图不变的情况下添加小正方体即可．
此题主要考查了画三视图，关键是在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
23.【答案】解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，
由题意可得：，
解得，
，
答：甲种商品购进件，乙种商品购进件；
由题意可得，
元，
答：这批商品全部售出后，该商场共获利元．
【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意和中的结果，可以计算出这批商品全部售出后，该商场共获利多少元．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
24.【答案】解：，
．
，
．
平分，
．
．
设，
平分，
．
比小，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
【解析】根据垂直的定义得，根据对顶角和角平分线定义求出，即可求解．
设，则，，根据角关系，建立等量关系，即可求解．
本题考查了垂直定义，角平分线的定义，角之间的和差关系，数形结合是解答本题的关键．
25.【答案】或
【解析】解：解方程得，，
方程的解为，
，
解得，
、的值分别为，；
点对应的数为，点对应的数为，点为线段的中点，点为线段的中点，
，，
；
设经过秒、两点相距个单位，
根据题意得：或，
解得或，
故经过秒或秒，、两点相距个单位．
故答案为：或．
解方程求出的值，再把代入方程即可得出的值；
根据线段中点的定义求出和的长度即可得出答案；
设运动时间为秒，列方程解答即可．
本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题的关键是到达题意，用含字母的式子表示，所表示的数．
26.【答案】
【解析】解：当时，，，
，
；
故答案为：；
，与的度数比为：，
，，
从旋转到或从旋转到需要秒，从旋转到需要秒，
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得；
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得舍去；
当时，，，
恰好是的平分线，
，
解得；
综上所述，当为或时，恰好是的平分线；
存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下：
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数保持不变，；
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数随的改变而改变；
当时，，，
平分，
，
，
时，的度数保持不变，；
综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，．
当时，，，故，即得；
，与的度数比为：，知，，故从旋转到或从旋转到需要秒，从旋转到需要秒，当时，；当时，；当时，，解方程可得答案；
当时，；当时，；时；当时，，即可得到答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．
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