浙教版2023年八年级数学下册期末测试模拟卷
（满分：120分）
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2
2．中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1
4．已知两组数据：5、6、7和2、3、4那么这两组数据的（ ）
A．中位数不相等，方差不相等 B．平均数相等，方差不相等
C．中位数不相等，平均数相等 D．平均数不相等，方差相等
5．若n边形的内角和与外角和相加为1800°，则n的值为（ ）
A．7 B．8． C．9 D．10
6．若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，10）在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．y2＜y1＜y3 D．x3＜x2＜x1
7．如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
8．如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
9．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含45°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
A．48 B．24 C．48 D．24
10．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．已知＝﹣3﹣a，则a的取值范围是 ．
12．甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.63m2，S乙2＝0.61m2，S丙2＝0.57m2，S丁2＝0.56m2，则这四名同学成绩最稳定的是 ．
13．如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是 ．（化为一般形式）
14．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 ．
15．如图，矩形ACDO的面积为12，点B、C分别为反比例函数和图象上的点，若B是AC的中点，则k1﹣k2的值为 ．
16．如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的 ．（把正确结论的序号都填上）．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣16x﹣17＝0． （2）x2﹣2x﹣5＝0．
18．（6分）（1）计算：+﹣（﹣）；
（2）当x＝+2，y＝﹣2时，求代数式x2﹣y2+xy的值．
19．（6分）已知关于x的方程x2+2x+n＝0（n≠0）．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求n的取值范围；
（2）当x＝n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根．
20．（8分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，整理数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中众数m的值为 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手，若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
21．（8分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，点B的坐标为（2n，﹣n）．
（1）求n的值，并确定反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出不等式＞﹣x+2的解集．
22．（10分）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t秒，请解决下列问题：
（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？
（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为8cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
23．（10分）阅读材料，并回答问题．
定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．
（1）请你写出一个和谐四边形是 ；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝100°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，求证：BD是四边形ABCD的和谐线；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在平面内找一点D，使得以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，AB＝BD，请画出草图，并直接写出∠ABD的度数．
24．（12分）古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在第一象限内．
①在平面直角坐标系中，画出函数y＝（x＞0）的图象，图象与边OA交于点D；
②以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数y＝（x＞0）的图象于点E，如图所示；
③分别过点D，E作x轴和y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP．此时有∠POB＝∠AOB．
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，交OP于点F，连接DE，EF，且DE交OP于点C，设点D的坐标为（a，），点E的坐标为（b，），
根据以上作图，回答下列问题：
（1）点P的坐标为 ；（用含a，b的代数式表示）；
（2）直线OP的解析式为 ，则点F的坐标为 ；（用含a，b的代数式表示）
（3）根据点E，F的坐标可以判断线段EF与DP的位置关系为 ，由此结合题意可判断四边形DFEP的形状为 ；
（4）证明：∠POB＝∠AOB．
浙教版2023年八年级数学下册期末测试模拟卷
试题解析
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x≥﹣2 D．x＞﹣2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故选：C．
2．中华民族历史悠久，传统文化博大精深．下面选取了几幅传统文化图片，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≤1 B．a≤1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a≥1
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，即可得判别式Δ≥0且a≠0，继而可求得a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4 a×1＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1，
∵方程ax2﹣4x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的范围是：a≤1且a≠0．
故选：B．
4．已知两组数据：5、6、7和2、3、4那么这两组数据的（ ）
A．中位数不相等，方差不相等
B．平均数相等，方差不相等
C．中位数不相等，平均数相等
D．平均数不相等，方差相等
【分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．
【解答】解：2、3、4的平均数为：×（2+3+4）＝3，中位数是3，方差为：×[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]＝；
3、4、5的平均数为：×（3+4+5）＝4，中位数是4，方差为：×[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]＝；
故中位数不相等，方差相等．
故选：D．
5．若n边形的内角和与外角和相加为1800°，则n的值为（ ）
A．7 B．8． C．9 D．10
【分析】先求得多边形的内角和，然后根据条件列出方程，即可求得n的值．
【解答】解：由题意得，180°×（n﹣2）+360°＝1800°，
解得：n＝10，
故选：D．
6．若点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，10）在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．y2＜y1＜y3 D．x3＜x2＜x1
【分析】根据反比例函数的解析式可确定A点在第三象限，B，C在第一象限，再根据反比例函数的性质可得x1＜x3＜x2，即可选择．
【解答】解：反比例函数y＝中，k＝20＞0，
∴A点在第三象限，B，C在第一象限，
根据反比例函数增减性可得x1＜x3＜x2，
故选：B．
7．如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，AB＝4，则BC的长是（ ）
A． B． C．8 D．12
【分析】如图，连接OD，首先说明B，O，D共线，证明∠DBC＝30°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD．
∵O是矩形ABCD的对称中心，
∴B，O，D共线，
∵∠C＝90°，BD＝2OB＝2AB＝2CD＝8，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝BD cos30°＝4，
故选：B．
8．如图，已知ABCD为任意四边形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，添加下列哪个条件，不能判断四边形EFGH为菱形的是（ ）
A．EH＝HG B．EG⊥HF C．AC＝BD D．AC⊥BD
【分析】首先根据中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，进而根据菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形，可以得出答案．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC且EF＝AC，
同理可得：HG∥AC，HG＝AC，
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
A：若EH＝HG，则 EFGH为菱形，故A选项能判断四边形EFGH为菱形，
B：若EG⊥HF，则 EFGH为菱形，故B选项能判断四边形EFGH为菱形，
C：若AC＝BD，则有：EH＝，HG＝，
∴EH＝HG，
∴ EFGH为菱形，故C选项能判断四边形EFGH为菱形，
D：若AC⊥BD，则可得：EH⊥HG，则 EFGH为矩形，不一定是菱形，
∴D选项不能判断四边形EFGH为菱形．
故选：D．
9．如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含45°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
A．48 B．24 C．48 D．24
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，可求出⑤的面积，从而可求出菱形的面积，根据菱形的性质可求出边长，进而可求出①②③④四个平行四边形周长的总和．
【解答】解：作GM⊥EF于点M．
由题意得：S⑤＝S四边形ABCD﹣（S①+S②+S③+S④）＝11﹣14＝4cm2，
∴S菱形EFGH＝14+4＝18cm2，
又∵∠F＝45°，
设菱形的边长为x，则菱形的高为：GM＝GF＝x，
根据菱形的面积公式得：x ＝18，
解得：x＝6，
∴菱形的边长为6cm，
而①②③④四个平行四边形周长的总和＝2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE）＝2（EF+FG+GH+HE）＝48cm．
故选：A．
10．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA≌△ONC；③阴影部分面积是（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④
【分析】先判断出CE＝ON，AD＝OM，再判断出CE＝AD，即可判断出①正确；由于四边形OABC是平行四边形，所以OA不一定等于OC，即可得出②错误；先求出三角形COM的面积，再求出三角形AOM的面积求和即可判断出③错误，根据菱形的性质判断出OB⊥AC，OB与AC互相平分即可得出④正确．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于D，过点C作CE⊥y轴E，
∵AM⊥x轴，CM⊥x轴，OB⊥MN，
∴∠AMO＝∠DOM＝∠ADO＝∠CNO＝∠EON＝∠CEO＝90°，
∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形，
∴ON＝CE，OM＝AD，
∵OB是 OABC的对角线，
∴△BOC≌△OBA，
∴S△BOC＝S△OBA，
∵S△BOC＝OB×CE，S△BOA＝OB×AD，
∴CE＝AD，
∴ON＝OM，故①正确；
在Rt△CON和Rt△AOM中，ON＝OM，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA与OC不一定相等，
∴△CON与△AOM不一定全等，故②错误；
∵第二象限的点C在双曲线y＝上，
∴S△CON＝|k2|＝﹣k2，
∵第一象限的点A在双曲线y＝上，
S△AOM＝|k1|＝k1，
∴S阴影＝S△CON+S△AOM＝﹣k2+k1＝（k1﹣k2），
故③错误；
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AC与OB互相平分，
∴点A和点C的纵坐标相等，点A与点C的横坐标互为相反数，
∴点A与点C关于y轴对称，
∴k2＝﹣k1，即：四边形是菱形，则图中曲线关于y轴对称，故④正确，
∴正确的有①④，
故选：D．
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．已知＝﹣3﹣a，则a的取值范围是 a≤﹣3 ．
【分析】根据＝|a|化简即可得出答案．
【解答】解：∵＝|3+a|＝﹣3﹣a，
∴3+a≤0，
∴a≤﹣3．
故答案为：a≤﹣3．
12．甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是S甲2＝0.63m2，S乙2＝0.61m2，S丙2＝0.57m2，S丁2＝0.56m2，则这四名同学成绩最稳定的是 丁 ．
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.63m2，S乙2＝0.61m2，S丙2＝0.57m2，S丁2＝0.56m2，
∴S丁2＜S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴这四名同学成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
13．如图，在宽为25m，长为40m的长方形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干块，作为小麦试验田，假设试验田面积为912m2，求道路的宽为多少？设道路的宽为xm，可列出的方程是 x2﹣45x+44＝0 ．（化为一般形式）
【分析】设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，根据试验田面积为912m2，即可得出关于x的一元二次方程，化简后即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为xm，则种植小麦的部分可合成长为（40﹣2x）m，宽为（25﹣x）m的矩形，
依题意得：（40﹣2x）（25﹣x）＝912，
化简得：x2﹣45x+44＝0．
故答案为：x2﹣45x+44＝0．
14．如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A（0，3），B（﹣1，0），若直线y＝﹣2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是 （，3） ．
【分析】连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．
【解答】解：连接BD，设D（m，3），BD的中点为T．
∵B（﹣1，0），
∴T（，），
∵直线y＝﹣2x+4平分平行四边形ABCD的面积，
∴直线y＝﹣2x+4经过点T，
∴＝﹣2×+4，
∴m＝，
∴D（，3），
故答案为：（，3）．
15．如图，矩形ACDO的面积为12，点B、C分别为反比例函数和图象上的点，若B是AC的中点，则k1﹣k2的值为 ﹣6 ．
【分析】设AB＝a，则AC＝2a，CD＝b，利用反比例函数解析式表示出k1，k2，即可求解．
【解答】解：设AB＝a，CD＝b，
∵四边形ACDO是矩形，B是AC的中点，
∴AC＝2a，
∴B（a，b），C（2a，b），
∵点B、C分别为反比例函数y＝和y＝图象上的点，
∴k1＝ab，k2＝2ab，
∵矩形ACDO的面积为12，
∴2ab＝12，
∴k1＝6，k2＝12，
∴k1﹣k2＝﹣6，
故答案为：﹣6．
16．如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ＝CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN＝2；④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．其中正确的 ②③ ．（把正确结论的序号都填上）．
【分析】先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌Rt△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．
【解答】解：如图1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CM＝CM，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝＝＝4，
∴CQ＝AC＝2，
∴QN＝＝＝，
∴MN＝2QN＝2．故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝×5×4＝5，
∴4≤S≤5，故④错误．
故答案为：②③．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．（6分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣16x﹣17＝0．
（2）x2﹣2x﹣5＝0．
【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x+1＝0或x﹣17＝0，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法得到x+1＝0或x﹣17＝0，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣16x﹣17＝0，
（x+1）（x﹣17）＝0，
x+1＝0或x﹣17＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝17；
（2）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
x+1＝0或x﹣17＝0，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
18．（6分）（1）计算：+﹣（﹣）；
（2）当x＝+2，y＝﹣2时，求代数式x2﹣y2+xy的值．
【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可；
（2）由题意得x+y＝2，x﹣y＝4，xy＝﹣1，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（1）+﹣（﹣）
＝2+2﹣3+
＝；
（2）∵x＝+2，y＝﹣2，
∴x+y＝+2+﹣2＝2，
x﹣y＝+2﹣（﹣2）＝4，
xy＝（+2）×（﹣2）＝﹣1，
∴x2﹣y2+xy
＝（x+y）（x﹣y）+xy
＝2×4+（﹣1）
＝8﹣1．
19．（6分）已知关于x的方程x2+2x+n＝0（n≠0）．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求n的取值范围；
（2）当x＝n是原方程的一个根时，求n的值与方程的根．
【分析】（1）根据题意，可得Δ＝4﹣4n＞0，解不等式即可；
（2）将x＝n代入方程，解出n的值，然后代入原方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4n＞0，
解得n＜1，
∴n的取值范围是n＜1；
（2）将x＝n代入方程，得n2+2n+n＝0，
解得n＝0或n＝﹣3，
∵n≠0，
∴n＝﹣3，
∴原方程化为：x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
20．（8分）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，整理数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表中众数m的值为 18 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 中位数 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手，若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以得到m的值；
（2）根据题意和中位数的定义，可以解答本题；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该部门生产能手的人数．
【解答】解：（1）由条形统计图中的数据可得，
众数m的值是18，
故答案为：18；
（2）如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为：中位数；
（3）300×＝100（名），
即该部门生产能手有100名．
21．（8分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，点B的坐标为（2n，﹣n）．
（1）求n的值，并确定反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出不等式＞﹣x+2的解集．
【分析】（1）把B的坐标代入y1＝﹣x+2求得n的值，得出B（4，﹣2），再代入入y2＝即可求得k的值；
（2）先根据方程﹣＝﹣x+2可得A，B两点的横坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点B的坐标为（2n，﹣n）且在一次函数y1＝﹣x+2的图象上，代入得﹣n＝﹣2n+2．
∴n＝2．
∴B点坐标为（4，﹣2），
把B（4，﹣2）代入y2＝得k＝4×（﹣2）＝﹣8，
∴反比例函数表达式为y2＝﹣；
（2）∵﹣＝﹣x+2，
∴x1＝4，x2＝﹣2，
由图象得：不等式＞﹣x+2的解集是x＞4或﹣2＜x＜0．
22．（10分）如图，已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝6cm，点P从点A出发，沿A→C→B的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以cm/s的速度向终点A运动．当点P运动到点B时，两点均停止运动．运动时间记为t秒，请解决下列问题：
（1）若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？
（2）是否存在这样的t值，使△APQ的面积为8cm2？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设经过t秒，△APQ是直角三角形，此时AP＝2t，AQ＝．分类讨论∠APQ＝90°或∠AQP＝90°．当∠APQ＝90°时，AQ＝AP；当∠AQP＝90°时，AP＝AQ，分别解方程即可；
（2）设经过t秒，△APQ的面积为为8cm2，连接PQ，作PH⊥AQ于H，分类讨论点P在AC边上和点P在BC边上，△APQ的面积＝AQ×PH÷2＝8，即可求解．
【解答】解：在等腰直角△ABC中，
∵AC＝BC＝6cm，
∴AB＝cm，
（1）设经过t秒，△APQ是直角三角形，此时AP＝2t，AQ＝．
①当∠APQ＝90°时，AQ＝AP，如下图所示：
∴＝，
解得t＝2．
②当∠AQP＝90°时，AP＝AQ，如下图所示：
∴2t＝（ ），
解得t＝3．
∴若P在AC边上，当t＝2或t＝3时△APQ是直角三角形．
（2）①当P在AC边上，连接PQ，过点P作PH⊥AB于H，如下图所示：
设经过t秒，△APQ的面积为为8cm2，
此时AP＝2t，AQ＝．
∴PH＝，
∴÷2＝8，
解得t＝2或t＝4（舍去），
②当点P在BC边上时，连接AP，PQ，作PH⊥AQ于H，如下图所示：
设经过t秒，△APQ的面积为为8cm2，
此时PB＝12﹣2t，AQ＝．
∴PH＝，
∴＝＝8，
解得t＝，或t＝（舍去），
∴当t＝2或t＝时，△APQ的面积为为8cm2．
23．（10分）阅读材料，并回答问题．
定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．
（1）请你写出一个和谐四边形是 菱形（或正方形） ；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝100°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，求证：BD是四边形ABCD的和谐线；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在平面内找一点D，使得以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，AB＝BD，请画出草图，并直接写出∠ABD的度数．
【分析】（1）根据所学的特殊四边形的性质可直接得出结论；
（2）先根据平行线的性质得出∠ABC的度数，再根据家平分线的性质和三角形内角和求出∠ADB的度数，进而可以判断△ABD是等腰三角形，同理利用三角形内角和可求出∠BDC的度数，由此可判断△BDC是等腰三角形．
（3）需要分三种情况，当AD＝AC时，当AC＝CD时，当AD＝CD时，画出图形，再分别求解即可．
【解答】（1）解：根据定义可直接得出，菱形和正方形都是和谐四边形．
故答案为：菱形（或正方形）；
（2）证明：如图1，
∵AD∥BC，∠A＝100°，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABC＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB＝40°，
∴AB＝AD，即△ABD是等腰三角形；
∵∠C＝70°，∠DBC＝40°，
∴∠BDC＝70°，
∴∠C＝∠BDC，
∴BD＝BC，即△BDC是等腰三角形，
∴BD把四边形ABCD分成两个等腰三角形，即BD是四边形ABCD的和谐线．
（3）解：需要分三种情况，
①当AD＝AC时，如图2，
∵AB＝AC，AB＝BD，
∴AB＝BD＝AD，即△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°；
②当AC＝CD时，如图2，
此时AB＝BD＝AD＝CD，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形，
∴∠ABD＝90°；
③当AD＝CD时，如图4，过点D作DM⊥AC于点M，过点D作DN⊥AB交AB的延长线于点N，
则四边形ANDM是长方形，
∴DN＝AM＝CM＝AC，
∵AB＝BD＝AC，
∴DN＝BD，
∴∠DBN＝30°，
∴∠ABD＝150°．
综上，若以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，则∠ABD的度数为60°，90°或150°．
24．（12分）古希腊数学家帕普斯在研究“三等分任意锐角”时，发现了如下的方法：如图，建立平面直角坐标系，将∠AOB的顶点O与原点重合，边OB与x轴的正半轴重合，OA在第一象限内．
①在平面直角坐标系中，画出函数y＝（x＞0）的图象，图象与边OA交于点D；
②以D为圆心、以2OD长为半径作弧，交函数y＝（x＞0）的图象于点E，如图所示；
③分别过点D，E作x轴和y轴的平行线，两线相交于点P，连接OP．此时有∠POB＝∠AOB．
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，交OP于点F，连接DE，EF，且DE交OP于点C，设点D的坐标为（a，），点E的坐标为（b，），
根据以上作图，回答下列问题：
（1）点P的坐标为 （b，） ；（用含a，b的代数式表示）；
（2）直线OP的解析式为 y＝ ，则点F的坐标为 （a，） ；（用含a，b的代数式表示）
（3）根据点E，F的坐标可以判断线段EF与DP的位置关系为 EF∥DP ，由此结合题意可判断四边形DFEP的形状为 矩形 ；
（4）证明：∠POB＝∠AOB．
【分析】（1）根据P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同写出P点坐标即可；
（2）设出OP的解析式用待定系数法求解析式即可，然后根据解析式求出F点的坐标；
（3）根据坐标可判断EF平行于x轴，DP也平行于x轴，即可判定EF平行于DP，先判定四边形DFEP是平行四边形，进而证明四边形DFEP是矩形即可；
（4）先证∠OCD＝2∠CPD，再证∠DOP＝∠OCD，然后证∠POB＝∠CPD，即可得证∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB．
【解答】解：（1）由题知，P点的横坐标与E点相同，纵坐标与D点相同，
∴P（b，），
故答案为：（b，）；
（2）设直线OP的解析式为y＝kx，
由（1）知，P（b，），
即bk＝，
∴k＝，
∴直线OP的解析式为y＝，
∵F点的横坐标为a，且点F在直线OP上，
∴F点的纵坐标为，
即F（a，），
故答案为：y＝，（a，）；
（3）∵E（b，），F（a，），
∴EF∥x轴，
又∵DP∥x轴，
∴EF∥DP，
∵DF∥PE，
∴四边形DFEP是平行四边形，
又∵DG⊥x轴，
∴DG⊥EF，
∴平行四边形DFEP是矩形，
故答案为：EF∥DP，矩形；
（4）∵四边形DFEP是矩形，
∴CD＝CP，DE＝2CD，
∴∠CDP＝∠CPD，
∴∠OCD＝∠CDP+∠CPD＝2∠CPD，
由题知，DE＝2OD，
∴OD＝DC，
即∠DOP＝∠OCD，
∵DP∥x轴，
∴∠POB＝∠CPD，
即∠DOP＝2∠POB，
∴∠AOB＝∠DOP+∠POB＝3∠POB，
即∠POB＝∠AOB．
