2023年中考数学二轮复习----二次函数的最值问题
1．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，若．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线对称轴上有一动点，当最小时，求出点的坐标，
（3）如图2所示，连接，是线段上（不与、重合）的一个动点．过点作直线，交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？最大面积为多少？
2．如图1，抛物线与y轴交于B点，与x轴交于A，C两点，直线BC的解析式为．
(1)求m与b的值；
(2)P是直线BC上方抛物线上一动点（不与点B，C重合），连接AP交BC于点E，交OB于点F．
①是否存在最大值？若存在，求出的最大值．并直接写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．
②当△BEF为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
3．（Ⅰ）如图1，在菱形中，已知，，抛物线（）经过，，三点．
（1）点的坐标为__________，点的坐标为__________；
（2）求抛物线的解析式．
（Ⅱ）如图2，点是的中点，点是的中点，直线垂直于点，点在直线上．
（3）当的值最小时，则点的坐标为____________；
（4）在（3）的条件下，连接、、得，问在抛物线上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，求线段PG的最大值；
(3)连接CD、CB，当∠PCB＝∠DCB时，求点P的坐标；
(4)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．
5．已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.
1.填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、高BE的长是 ；
2.探究下列问题：
①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；
②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值
6．如图，在中，，，．点从点出发，以每秒1个单位长度沿的方向运动；点从点出发，以每秒2个单位沿的方向运动，到达点后立即原速返回，若、两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为秒．
（1）当点与点相遇时，求的值．
（2）在点从点到点的运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？
（3）在点从点返回点的运动过程中，设的面积为平方单位．
①求与之间的函数关系式．
②当最大时，过点作直线交于点，将中沿直线折叠，使点落在直线上，求折叠后的与重叠部分的面积．
7．某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件元，月销量为件，月销售利润为元．
（1）写出与的函数解析式和与的函数解析式；
（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元；
（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
8．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与x轴的交点分别为H，K（点H在点K的左侧）．点F在线段上运动（不与点A、B重合），过点F作直线轴于点P，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，是否存在点F，使是直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点C作于点E，当的周长最大时，过点F作任意直线l，把沿直线l翻折，翻折后点C的对应点记为点Q，求出当的周长最大时，点F的坐标，并直接写出翻折过程中线段的最大值和最小值．
9．二次函数的图像交y轴于C点，交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根．
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．
（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．
10．二次函数（是常数，）的图象与轴交于点和点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．
（1）用含的代数式表示点和点的坐标；
（2）垂直于轴的直线在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点，设点的横坐标为，线段的长为．
①当时，求的值；
②若，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．
11．在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当时，的最大值与最小值的差；
（3）一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围．
12．已知：二次函数
(1)为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；
(2) 为何值时，这两个交点在原点的左右两边；
(3) 为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；
(4) 为何值时，这个二次函数有最大值．
13．某实验田计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植亩的总成本（万元）由三部分组成，分别是农机成本，管理成本，其他成本，其中农机成本固定不变为10万元，管理成本（万元）与成正比例，其他成本（万元）与的平方成正比例，在生产过程中，获得如下数据：
（单位：亩） 1 3
（单位：万元） 16 34
(1)求与之间的函数关系式：
(2)已知每亩的平均成本为12万元，求种植新型农作物的亩数是多少？
(3)若每亩的收益为15万元，当为何值时，实验田总利润最大，并求出最大利润．【注：总利润=总收益－总成本】
14．抛物线过点，点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）如图1，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是线段上（与点，不重合）的动点，连接，作，边交轴于点，设点的横坐标为，求的取值范围．
15．问题背景
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为： ，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数的最大（小）值.
（1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数的图象：
x ··· 1 2 3 4 ···
y
（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x= 时，函数有最 值（填
“大”或“小”），是 .
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数的最大值，请你尝试通过配方求函数的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当时，〕
16．如图1，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、点E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在点C的运动过程中，△DOE中是否存在长度保持不变的边或度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其长度或度数（只求一种即可）；如果不存在，请说明理由；
（3）作DF⊥OE于点F（如图2），当DF 2+EF取得最大值时，求sin∠BOD的值．
17．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点．
（1）求出抛物线解析式的一般式；
（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
参考答案：
1．（1）y=x2-3x+2；（2）（，）；（3）当t=1时，S△BCN的最大值为1．
2．(1)，；
(2)①存在最大值，的最大值为，此时E点的坐标为（1，）；②P点坐标为（，）或（2，3）或（，）
3．（Ⅰ）（1）， ；（Ⅰ）（2）；（Ⅱ）（3）；（Ⅱ）（4），存在，M点的坐标为、、
4．(1)
(2)
(3)
(4)存在，M点的坐标为或或或
5．1.5,24,；2. ①6，②或或.
6．（1）；（2）或；（3）①；②
7．（1）y=1000-10x；W=-10x2+1400x-40000；（2）销售价应定为每件80元；（3）销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．
8．（1）；（2）存在或；（3）
最大值为，最小值为
9．（1）A（－2，0），B（6，0），；（2）；（3）n=1±或-1±．
10．（1），；（2）①3；②当时，取得最大值，最大值为．
11．（1）；（2）；（3）．
12．(1)
(2)
(3)
(4)不存在
13．(1)与之间的函数关系式为
(2)每亩的平均成本为12万元时，种植新型农作物的亩数是亩或亩
(3)当时，总利润最大，最大利润为万元
14．（1），；（2）；（3）
15．解：（1）填表如下：
x ··· 1 2 3 4 ···
y ··· 5 4 5 ···
（2）1，小，4．
（3）证明：∵，
∴当时，y的最小值是4，即x =1时，y的最小值是4．
16．（1）；（2）存在，DE的长度是不变的；（3）
17．（1）；（2）当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为；（3）的最小值是3．
