第14讲 三步解决最值问题之胡不归(PA+k·PB)-2023年中考数学重点核心知识点专题讲+练(原卷版+解析版)

第14讲 三步解决最值问题之胡不归(PA+k·PB)
模型建立
数学解读:从A点出发,AC上的速度v2>AB和BC上的速度v1,问:当点C在什么位置上时,所用时间最短。
模型特征:点C在直线上运动(和阿氏圆对比)
解题思路:①化成BC+kAC(k<1)
②在动点C所在直线AC的另一侧构建角α,角的一边为AM,使得sinα=k,以AC为斜边,则CE=kAC
③BC+kAC转化为BC+CD,即过B作AM的垂线BD即为所求。
【例1】1.在平面直角坐标系中,二次函数解析式为,点E坐标为,
若点为轴上任意一点,求的最小值.
【分析】
1.确定类型:求的是类似于PM+kPN的值,且动点P在x轴上运动,所以是胡不归模型。
2.确定k的值:先把题中要求的算式变换成PM+kPN (k<1),如PM+2PN变换成,则k的值为。
本题求的最小值,则k=。
2.从图中找出特殊角α,使得sinα=k。本题中,sin∠EAO=。
3.构造角:在动点P所在直线的另一侧,即x轴的上方构造正弦值为的角,即作点E关于x轴的对称点F,∠FAO=。作PM⊥AF,即。
4.结论:=PE+PM,当EM⊥AF时,PE+PM最小。
5.求值:利用直角三角形EFM中∠F的正弦值求EM的长。
一、单选题
1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴交于A、C两点,与x轴交于点,若P是x轴上一动点,点D的坐标为,连接PD,则的最小值是( )
A.4 B. C. D.
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H,根据,求出的最小值即可解决问题.
【详解】解:连接BC,过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.
∵二次函数的图像与x轴交于点,
∴b=2,
∴二次函数的解析式为,令y=0,-x2+2x+3=0,
解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),
令x=0,y=3,
∴B(0,3),
∴OB=OC=3,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵D(0,-1),
∴OD=1,BD=4,
∵DH⊥BC,
∴∠DHB=90°,
设,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵PJ⊥CB,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴DP+PJ的最小值为,
∴的最小值为4.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,得到∠OBC=∠OCB=45°,是解题的关键.
2.如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E,易得2DE = CD,AD= A'D,从而得出AD+ DE = A'D+ DE,当A',D, E在同一直线上时,AD + DE的最小值等于A' E的长是3,进而求出2AD十CD的最小值.
【详解】如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90o,∠B = 60o,AB= 2
∴BH=1,AH=,AA'=2,∠C= 30o
∴DE =CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A',D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中:A' E= sin60o×AA'=×2= 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故选B
【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题,做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键.
3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B(0,﹣3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,则PD+PC的最小值是( )
A.4 B.2+2 C.2 D.
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.根据,求出的最小值即可解决问题.
【详解】解:过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.
∵二次函数y=x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B(0,﹣3),
∴c=﹣3,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3,令y=0,x2﹣2x﹣3=0,
解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(0,-3),
∴OB=OC=3,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵D(0,1),
∴OD=1,BD=4,
∵DH⊥BC,
∴∠DHB=90°,
设,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵PJ⊥CB,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴DP+PJ的最小值为,
∴的最小值为4.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
二、填空题
4.如图,中,,,于点,是线段上的一个动点,则的最小值是__________.
【答案】
【分析】过点D作于,过点C作于,首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度,然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出,然后通过锐角三角函数得出,进而可得出,最后利用即可求值.
【详解】解:如图,过点D作于,过点C作于.
∵,
∴,
∵,
设,,
∴,
∴,
∴或(舍弃),
∴,
∵,,,
∴(等腰三角形两腰上的高相等)
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查解直角三角形,等腰三角形的性质,勾股定理,垂线段最短等,学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键.
5.如图,四边形ABCD是菱形,AB=8,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+BM的最小值为_____.
【答案】4
【分析】如图,过点A作AT⊥BC于T,过点M作MH⊥BC于H,根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH=BM,于是可得AM+BM的最小值即为AT的长,再利用解直角三角形的知识求解即可.
【详解】解:如图,过点A作AT⊥BC于T,过点M作MH⊥BC于H.
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠DBC=∠ABC=30°,
∵MH⊥BC,∴∠BHM=90°,
∴MH=BM,
∴AM+BM=AM+MH,
∵AT⊥BC,∴∠ATB=90°,
∴AT=AB sin60°=4,
∵AM+MH≥AT,
∴AM+MH≥4,
∴AM+BM≥4,
∴AM+BM的最小值为4,
故答案为:4.
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识,属于常考题型,熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键.
6.如图,矩形ABCD中AB=3,BC,E为线段AB上一动点,连接CE,则AE+CE的最小值为___.
【答案】3
【详解】思路引领:在射线AB的下方作∠MAB=30°,过点E作ET⊥AM于T,过点C作CH⊥AM于H.易证ETAE,推出AE+EC=CE+ET≥CH,求出CH即可解决问题.
答案详解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴tan∠CAB,
∴∠CAB=30°,
∴AC=2BC=2,
在射线AB的下方作∠MAB=30°,过点E作ET⊥AM于T,过点C作CH⊥AM于H.
∵ET⊥AM,∠EAT=30°,
∴ETAE,
∵∠CAH=60°,∠CHA=90°,AC=2,
∴CH=AC sin6°=23,
∵AE+EC=CE+ET≥CH,
∴AE+EC≥3,
∴AE+EC的最小值为3,
故答案为3.
7.如图,直线y=x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点,点C(0,1)在y轴上,点P在x轴上运动,则PC+PB的最小值为___.
【答案】4
【详解】思路引领:过P作PD⊥AB于D,依据△AOB是等腰直角三角形,可得∠BAO=∠ABO=45°=∠BPD,进而得到△BDP是等腰直角三角形,故PDPB,当C,P,D在同一直线上时,CD⊥AB,PC+PD的最小值等于垂线段CD的长,求得CD的长,即可得出结论.
答案详解:如图所示,过P作PD⊥AB于D,
∵直线y=x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点,
令x=0,则y=﹣3;令y=0,则x=3,
∴A(0,﹣3),B(3,0),
∴AO=BO=3,
又∵∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
∴∠BAO=∠ABO=45°=∠BPD,
∴△BDP是等腰直角三角形,
∴PDPB,
∴PC+PB(PCPB)(PC+PD),
当C,P,D在同一直线上,即CD⊥AB时,PC+PD的值最小,最小值等于垂线段CD的长,
此时,△ACD是等腰直角三角形,
又∵点C(0,1)在y轴上,
∴AC=1+3=4,
∴CDAC=2,
即PC+PD的最小值为,
∴PC+PB的最小值为4,
故答案为:4.
8.如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x、y轴于B、C两点,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB=60°,点P是直线l上一动点,连接AP,则的最小值是______.
【答案】##
【分析】作∠OCE=120°,过点P作PG⊥CE于点G,利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC;当A、P、G在同一直线时,AP+PC= AP+PG= AG的值最小,再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解.
【详解】解:∵点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),
∴OA=3,OC=3,
作∠OCE=120°,
∵∠OCB=60°,
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°,
过点P作PG⊥CE于点G,如图:
在Rt△PCG中,∠PCG=60°,则∠CPG=30°,
∴CG=PC,由勾股定理得PG=PC,
∴AP+PC= AP+PG,
当A、P、G在同一直线时,AP+PG= AG的值最小,
延长AG交y轴于点F,
∵∠FCG=60°,∠CGF=90°,
∴∠CFG=30°,
∴CF=2CG,GF=CF,
在Rt△OAF中,∠AOF=90°,∠OFA=30°,
∴AF=2OA=6,OF=,
∴CF=OF-OC=,
∴GF=()=,
∴AG=AF-FG=,
即AP+PC的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了坐标与图形,含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理,作出合适的辅助线,得到当A、P、G在同一直线时,AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键.
9.如图,在中,,,半径为的经过点,是圆的切线,且圆的直径在线段上,设点是线段上任意一点不含端点,则的最小值为______.
【答案】
【分析】过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,可将转化为,此时就等于,当共线时,即为所要求的最小值.
【详解】解:如图所示,过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,
,,,

,,


当,,三点共线,即在图中在位置,在位置的时候有最小,
当,,三点共线时,有最小值,
此时,
的最小值为,
故答案为.
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题,解题的关键是在于将进行转换.
10.如图, ABCD中,∠DAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则2PB+ PD的最小值等于______.
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形,得到 AB∥CD,推出PE=PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值,此时P、B、E三点在同一条直线上,利用∠DAB=30°,∠AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3,得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EDC=∠DAB=30°,
∴PE=PD,
∵2PB+ PD=2(PB+PD)=2(PB+PE),
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值,此时P、B、E三点在同一条直线上,
∵∠DAB=30°,∠AEP=90°,AB=6,
∴PB+PE的最小值=AB=3,
∴2PB+ PD的最小值等于6,
故答案为:6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质,直角三角形含30°角的问题,动点问题,将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
11.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则ODCD的最小值为 _____.
【答案】
【分析】作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,易证四边形AOCF是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC,从而有CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题.
【详解】解:作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图所示,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠COB=60°,
则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°-60°)=60°.
∵OA=OF=OC,
∴△AOF、△COF是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,
∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO.
过点D作DH⊥OC于H,则DH =DC,
∴CD+OD=DH+FD.
根据两点之间线段最短可得,
当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,
∵OF=OA=5,
∴,

即CD+OD的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质,等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键.
12.如图, 中,,,为边上一点,则的最小值为______.
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H,由直角三角形的性质可得HP=DP,因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB),当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值,即PD十2PB有最小值,即可求解.
【详解】如图,过点作,交的延长线于,

四边形是平行四边形,


∵PH丄AD

∴,,

当点,点,点三点共线时,HP+PB有最小值,即有最小值,
此时 ,,,
∴ ,
则最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了胡不归问题,平行四边形的性质,直角三角形的性质,垂线段最短等知识.构造直角三角形是解题的关键.
13.如图,在平面直角坐标系中,一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点,则2BC+AC的最小值为__________.
【答案】6
【分析】先求出点A,点B坐标,由勾股定理可求AB的长,作点B关于OA的对称点,可证是等边三角形,由直角三角形的性质可得CH=AC,则,即当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,由直角三角形的性质可求解.
【详解】解:∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,
∴点A(3,0),点,
∴AO=3,,
∴,
作点B关于OA的对称点,连接 ,,过点C作CH⊥AB于H,如图所示:
∴,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∵,
∴,
∵CH⊥AB,
∴,
∴,
∴当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,
此时,,是等边三角形,
∴,,
∴,
∴2BC+AC的最小值为6.
故答案为:6.
【点睛】本题是胡不归问题,考查了一次函数的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,确定点C的位置是解题的关键.
14.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为 _____.
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,此时PA+2PB=2==2BF,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.
【详解】解:如图,
在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,
此时PA+2PB最小,
∴∠AFB=90°
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD=,
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°,
∴PF=,
∴PA+2PB=2==2BF,
在Rt△ABF中,AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°,
∴BF=AB sin45°=4,
∴(PA+2PB)最大=2BF=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解直角直角三角形,解题的关键是作辅助线.
三、解答题
15.∠AOB=30°,OM=2,D为OB上动点,求MDOD的最小值.
【答案】
【详解】思路引领:(胡不归经典)作∠BON=∠AOB=30°,过点M作MC⊥ON于点C,交OB于点D′,当MC⊥ON时,(此时点D′即为点D)MDOD=MD+CD的值最小,最小值是CM的长,
答案详解:如图,
作∠BON=∠AOB=30°,过点M作MC⊥ON于点C,交OB于点D′,
∴CD′OD′
所以当MC⊥ON时,(此时点D′即为点D)
MDOD=MD+CD的值最小,最小值是CM的长,
∴在Rt△OCM中,∠OMC=30°,OM=2
∴OC=1,
∴CM.
答:MDOD的最小值为.
16.抛物线分别交x轴于点,,交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点,点N为线段AC上的动点,且.
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段MN,NC在数量上有何关系,请写出你的理由;
(3)在M,N移动的过程中,DM+MC是否有最小值,如果有,请写出理由.
【答案】(1)
(2),见解析
(3)有,最小值为
【分析】(1)利用待定系数法即可求解;
(2)在中,,,根据,有,即可得,问题得解;
(3)先求出,即,即有,则的最小值是的最小值,即点D到AC的垂线段DN的长,问题随之得解.
【详解】(1)把点,代入抛物线中得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2),
理由是:如图1,
令,则,即,
∵,,
∴,,,
在中,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)在M,N移动的过程中,有最小值是,理由如下:
由(2)知:,
∴,即,
∴,
∴的最小值是的最小值,即D、M、N三点共线时,点D到AC的垂线段DN的长,如图2,
抛物线解析式为:;
∴对称轴是:,即,
∴,
在中,,
∴,
即,
∴在M,N移动的过程中,有最小值是.
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式,二次函数的性质,解直角三角形以及垂线段最短等知识.题目难度不大,细心作答即可.掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
17.如图,矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上,点的坐标为,一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、,,并且满足,点是线段上的一个动点.
(1)求的值;
(2)连接,若的面积与四边形的面积之比为,求点的坐标;
(3)求的最小值.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】(1)利用矩形的性质,用表示点的坐标,再利用待定系数法即可求解;
(2)首先求出四边形的面积,再根据条件求出的面积,即可解决问题;
(3)过点作轴交于点,则,即可转化为求的最小值,作点关于一次函数的对称点,过点作轴的垂线交轴于点,交一次函数于点,即的最小值为,算出长度即可.
【详解】(1)在中,令,则,
点的坐标为,
,,

把代入中得:,
解得:;
(2)由(1)得一次函数为,,,
,,,

的面积与四边形的面积之比为,
的面积与四边形的面积之比为,

设点的横坐标为,则,
解得:,
把代入中得:,

(3)
如图所示,过点作轴交于点,



作点关于一次函数的对称点,且OO’与直线DF交于Q点,过点作轴的垂线交轴于点,


当、、在同一直线时最小,
即的最小值为,

,,,
在中,,

在中.,
的最小值为.
【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题,包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积,解直角三角形以及胡不归问题,属于中考压轴题.
18.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+和直线l2:y=﹣x+b相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C.
(1)求△ABC的面积;
(2)点E坐标为(5,0),点F为直线l1上一个动点,点P为y轴上一个动点,求当EF+CF最小时,点F的坐标,并求出此时PF+OP的最小值.
【答案】(1)S△ABC=;(2)点F坐标为(1,);PF+OP的最小值为.
【分析】(1)根据l1的解析式可得A、B坐标,把点B坐标代入y=﹣x+b可求出b值,进而可得出点C坐标,即可求出AC、OB的长,利用三角形面积公式即可得答案;
(2)如图,作点C关于直线l1的对称点C′,连接C′E,交l1于F,根据A、B、C坐标可得△ABC是直角三角形,可得点C′在直线l2上,根据两点间距离公式可得出C′坐标,可得C′E为EF+CF的最小值,利用待定系数法可得出直线C′E的解析式,联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标;作二、四象限对角线l3,过点F作FG⊥l3于G,交y轴于P,可得∠GOP=45°,可得PG=,可得FG为PF+OP的最小值,过点F作FQ⊥x轴,交l3于Q,可得△FGQ为等腰直角三角形,可得FG=FQ,由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标,进而可得FQ的长,即可得FG的长,可得答案.
【详解】(1)∵l1:y=x+,
∴当x=0时,y=,当y=0时,x=-3,
∴A(-3,0),B(0,),
∵点B直线l2:y=﹣x+b上,
∴b=,
∴直线l2的解析式为y=﹣x+,
∴当y=0时,x=1,
∴C(1,0),
∴AC=4,OB=,
∴S△ABC===.
(2)如图,作点C关于直线l1的对称点C′,连接C′E,交l1于F,
∵A(-3,0),B(0,),C(1,0),
∴AB2=(-3)2+()2=12,BC2=12+()2=4,AC2=42=16,
∵AC2=AB2+BC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴点C′在直线l2上,
∵点C与点C′关于直线l1的对称,
∴CC′=2BC=4,
设点C′(m,﹣m+,)
∴(m-1)2+(﹣m+)2=42,
解得:m1=-1,m2=3,
∵点C′在第二象限,
∴m=-1,
∴﹣m+=,
∵FC=FC′,
∴EF+CF=EF+FC′,
∴当C′、F、E三点共线时EF+CF的值最小,
设直线C′E的解析式为y=kx+b,
∴,
解得:,
∴直线C′E的解析式为,
联立直线C′E与l1解析式得,
解得:,
∴F(1,).
如图,作二、四象限对角线l3,过点F作FG⊥l3于G,交y轴于P,过点F作FQ⊥x轴,交l3于Q,
∴直线l3的解析式为y=-x,∠GOP=45°,
∴△GOP是等腰直角三角形,
∴PG=OP,
∴G、P、F三点共线时,PF+OP的值最小,最小值为FG的长,
∵∠GOP=45°,∠POE=90°,
∴∠EOQ=45°,
∴∠FQO=45°,
∴△FGQ是等腰直角三角形,
∴FG=FQ,
∵F(1,),直线l3的解析式为y=-x,
∴Q(1,-1),
∴FQ=-(-1)=+1,
∴FG=FQ=×(+1)=,
∴PF+OP的最小值为.
【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质,正确添加辅助线,熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键.
19.如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x,y轴交于点A,B,抛物线恰好经过这两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点C的坐标是,将绕着点C逆时针旋转90°得到,点A的对应点是点E.
①写出点E的坐标,并判断点E是否在此抛物线上;
②若点P是y轴上的任一点,求取最小值时,点P的坐标.
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上;②P(0, )
【分析】(1)先求出A、B坐标,然后根据待定系数法求解即可;
(2)①根据旋转的性质求出EF=AO=3,CF=CO=6,从而可求E的坐标,然后把E的坐标代入(1)的函数解析式中,从而判断出点E是否在抛物线上;
②过点E作EH⊥AB,交y轴于P,垂足为H,,则,得,可知HP+PE的最小值为EH的长,从而解决问题.
【详解】(1)解:当x=0时,y=-4,
当y=0时,,
∴x=-3,
∴A(-3,0),B(0,-4),
把A、B代入抛物线,
得,
∴,
∴抛物线解析式为.
(2)解:①∵A(-3,0),C(0,6),
∴AO=3,CO=6,
由旋转知:EF=AO=3,CF=CO=6,∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3,
∴点E的坐标为(6,3),
当x=3时,,
∴点E在抛物线上;
②过点E作EH⊥AB,交y轴于P,垂足为H,
∵A( 3,0),B(0, 4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB=5,
∵,
∴,
∴,
∴HP+PE的最小值为EH的长,
作EG⊥y轴于G,
∵∠GEP=∠ABO,
∴tan∠GEP=tan∠ABO,
∴,
∴,
∴,
∴OP= 3=,
∴P(0, ).
【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,旋转的性质,三角函数,两点之间、线段最短等知识,利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键.
20.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)点P为线段AB上的动点,求AP+2PC的最小值;
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线表达式为:;
(2)AP+2PC的最小值是;
(3)存在或或或,使得以点A、M、N为顶点的三角形与相似.
【分析】(1)先求的直线与x轴,y轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;设抛物线的解析式为,然后将点C的坐标代入即可求得a的值,从而得抛物线的表达式;
(2)如图1,作,交y轴于E,过点P作于H,当C,P,H三点共线时,AP+2PC的值最小,根据直角三角形含30度角的性质可得CH的长,从而可得结论;
(3)首先可证明△ABC是直角三角形,且有AC=2BC,然后分三种情况讨论即可:①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC; ③当点M在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系.
【详解】(1)中,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,
∴C(0,2),A(-4,0),
由抛物线的对称性可知:点A与点B关于对称,
∴点B的坐标为(1,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),
可设抛物线表达式为y=a(x+4)(x-1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=-4a,
∴,
∴抛物线表达式为:;
(2)如图1,作∠OAE=30°,交y轴于E,过点P作PH⊥AE于H,
,
,
∴当C,P,H三点共线时,AP+2PC的值最小,
∵∠APH=∠OPC,∠COP=∠AHP=90°,
∴∠OCP=∠OAE=30°,
Rt△AOE中,AO=4,
,
Rt△CHE中,,
∴AP+2PC的最小值是;
(3)∵A(-4,0),B(1,0),C(0,2),
,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,AC=2BC,
点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似存在以下3种情况:
①如图2,当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;
②如图3,根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;
③如图4,当M在第四象限时,设,则N(n,0),
,
当时,AN=2MN,即,
整理得:n2+2n-8=0,
解得:n1=-4(舍),n2=2,
∴M(2,-3);
当时,MN=2AN,即 ,
整理得:n2-n-20=0,
解得:n1=-4(舍),n2=5,
∴M(5,-18).
综上所述:存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,还考查了轴对称-最短路径问题,难度较大,解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.第14讲 三步解决最值问题之胡不归(PA+k·PB)
模型建立
数学解读:从A点出发,AC上的速度v2>AB和BC上的速度v1,问:当点C在什么位置上时,所用时间最短。
模型特征:点C在直线上运动(和阿氏圆对比)
解题思路:①化成BC+kAC(k<1)
②在动点C所在直线AC的另一侧构建角α,角的一边为AM,使得sinα=k,以AC为斜边,则CE=kAC
③BC+kAC转化为BC+CD,即过B作AM的垂线BD即为所求。
【例1】1.在平面直角坐标系中,二次函数解析式为,点E坐标为,
若点为轴上任意一点,求的最小值.
【分析】
1.确定类型:求的是类似于PM+kPN的值,且动点P在x轴上运动,所以是胡不归模型。
2.确定k的值:先把题中要求的算式变换成PM+kPN (k<1),如PM+2PN变换成,则k的值为。
本题求的最小值,则k=。
2.从图中找出特殊角α,使得sinα=k。本题中,sin∠EAO=。
3.构造角:在动点P所在直线的另一侧,即x轴的上方构造正弦值为的角,即作点E关于x轴的对称点F,∠FAO=。作PM⊥AF,即。
4.结论:=PE+PM,当EM⊥AF时,PE+PM最小。
5.求值:利用直角三角形EFM中∠F的正弦值求EM的长。
一、单选题
1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴交于A、C两点,与x轴交于点,若P是x轴上一动点,点D的坐标为,连接PD,则的最小值是( )
A.4 B. C. D.
2.如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值( )
A. B. C. D.
3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B(0,﹣3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,则PD+PC的最小值是( )
A.4 B.2+2 C.2 D.
二、填空题
4.如图,中,,,于点,是线段上的一个动点,则的最小值是__________.
5.如图,四边形ABCD是菱形,AB=8,且∠ABC=60°,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,则AM+BM的最小值为_____.
6.如图,矩形ABCD中AB=3,BC,E为线段AB上一动点,连接CE,则AE+CE的最小值为___.
7.如图,直线y=x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点,点C(0,1)在y轴上,点P在x轴上运动,则PC+PB的最小值为___.
8.如图,在平面直角坐标系中,直线l分别交x、y轴于B、C两点,点A、C的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3),且∠OCB=60°,点P是直线l上一动点,连接AP,则的最小值是______.
9.如图,在中,,,半径为的经过点,是圆的切线,且圆的直径在线段上,设点是线段上任意一点不含端点,则的最小值为______.
10.如图, ABCD中,∠DAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则2PB+ PD的最小值等于______.
11.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则ODCD的最小值为 _____.
12.如图, 中,,,为边上一点,则的最小值为______.
13.如图,在平面直角坐标系中,一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点,则2BC+AC的最小值为__________.
14.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为 _____.
三、解答题
15.∠AOB=30°,OM=2,D为OB上动点,求MDOD的最小值.
16.抛物线分别交x轴于点,,交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点,点N为线段AC上的动点,且.
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段MN,NC在数量上有何关系,请写出你的理由;
(3)在M,N移动的过程中,DM+MC是否有最小值,如果有,请写出理由.
17.如图,矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上,点的坐标为,一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、,,并且满足,点是线段上的一个动点.
(1)求的值;
(2)连接,若的面积与四边形的面积之比为,求点的坐标;
(3)求的最小值.
18.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+和直线l2:y=﹣x+b相交于y轴上的点B,且分别交x轴于点A和点C.
(1)求△ABC的面积;
(2)点E坐标为(5,0),点F为直线l1上一个动点,点P为y轴上一个动点,求当EF+CF最小时,点F的坐标,并求出此时PF+OP的最小值.
19.如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x,y轴交于点A,B,抛物线恰好经过这两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点C的坐标是,将绕着点C逆时针旋转90°得到,点A的对应点是点E.
①写出点E的坐标,并判断点E是否在此抛物线上;
②若点P是y轴上的任一点,求取最小值时,点P的坐标.
20.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)点P为线段AB上的动点,求AP+2PC的最小值;
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

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