第05讲二次函数利润问题的四种题型
题型一：“每每”的利润问题
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，
“每每”问题的做题步骤
①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；
②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；
③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；
④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；
⑤利润=每件利润×数量：
计算注意事项
①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；
②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；
③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。
【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
【答案】(1)，；
(2)
(3)每件商品降价35元时，商场日盈利最高．
【分析】（1）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 商场日销售量增加件，每件商品盈利元；
（2）根据（1）得，单件利润乘以销售量等于利润，即可得到y与x的函数关系式；
（3）由题意得：利润函数的表达式为，再化为顶点式得，得，当时，y有最大值．
【详解】（1）解：每天销售30件，每件盈利50元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价x元时，商场日销售量增加件，每件商品盈利为元，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：．
（3）解：，
当时，y有最大值，
答：每件商品降价35元时，商场日盈利最高．
【点睛】本题考查二次函数的销售问题，涉及到利润函数=单件利润乘以销售数量，利用二次函数的性质求最值，通常都是化为顶点式来解决问题．
1.（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值
【答案】(1)
(2)7元/件，最大利润为9万元
(3)
【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；
（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：由题意，当 时， ，
当 时， ，
，
，
解得 ，
综上，
（2）解：设该产品的月销售利润为 万元，
①当 时， ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ；
②当 时， ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为9，
因为 ，
所以当月销售单价是7元/件时，月销售利润最大，最大利润是9万元
（3）解： 捐款当月的月销售单价不高于7元/件，月销售最大利润是78万元（大于5万元），
，
设该产品捐款当月的月销售利润为 万元，
由题意得： ，
整理得： ，
，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
因此有 ，
解得
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
2．（2022·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
【答案】(1)，；
(2)
(3)每件商品降价35元时，商场日盈利最高．
【分析】（1）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 商场日销售量增加件，每件商品盈利元；
（2）根据（1）得，单件利润乘以销售量等于利润，即可得到y与x的函数关系式；
（3）由题意得：利润函数的表达式为，再化为顶点式得，得，当时，y有最大值．
【详解】（1）解：每天销售30件，每件盈利50元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价x元时，商场日销售量增加件，每件商品盈利为元，
故答案为：，；
（2）解：根据题意得：．
（3）解：，
当时，y有最大值，
答：每件商品降价35元时，商场日盈利最高．
【点睛】本题考查二次函数的销售问题，涉及到利润函数=单件利润乘以销售数量，利用二次函数的性质求最值，通常都是化为顶点式来解决问题．
3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题：
(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元．
(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？
【答案】(1)当这种优质水果售价为元时，每天可获得利润元
(2)当售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元
【分析】（1）先根据题意求得销量与售价的关系，然后根据销量乘以每千克的利润等于总利润，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设利润为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每天的销售量为千克，每千克的售价为元，根据题意得，
，
，
解得：，
∵为让利给顾客，
∴，
答：当这种优质水果售价为元时，每天可获得利润元；
（2）解：设利润为，则，
∴时，最大，最大利润是元，
答：当售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
4．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
【答案】(1)每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元
(2)1800元
【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．
（2）根据当时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．
（1）
设每盒猪肉粽的进价为元，每盒豆沙粽的进价为元，由题意得：
解得：
每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元．
（2）
．
当时，w最大值为1800元．
∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数关系式是解此题的关键．
5．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)且x为整数．
(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（1）
解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是
（2）
解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当，W随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
题型二：二次函数和一次函数综合的利润问题
当题中明确出现了“成一次函数关系”，或给了一次函数的图像，或给了一次函数表格时，先求出相关的一次函数解析式；然后根据利润的相关公式表示利润。
【例2】2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋） … 14 16 18 20 …
销售量y（万袋） … 5 4 3 2 …
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
(1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
【答案】(1)该函数是一次函数，y与x之间的函数表达式为
(2)当销售价格定为18元袋时净得利润最大，最大值是12万元
【分析】（1）根据表格中每增加2，减少相同的值1，可判断该函数是一次函数；设y与x的函数表达式为：，待定系数法求函数表达式即可；
（2）由题意得， ，化成顶点式，然后根据函数的性质求最值即可．
(1)
解：根据表格中数据可得出：与是一次函数关系；
设y与x的函数表达式为：，
将、分别代入得，，
解得，
∴函数表达式为．
(2)
解：由题意得，
∵
∴当时，有最大值，值为12，
∴当销售价格定为18元袋时净得利润最大，最大值是12万元．
1.（2022·贵州遵义·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50
日销售量p(千克) 600 450 300 150 0
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
【答案】(1)
(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
(3)a的值为2．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【详解】（1）解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即，
∵-30<0，
∴当x=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）解：日获利=p（x-30-a）=（-30x+1500）（x-30-a），
即，
对称轴为，
①若a＞10，则当x=45时，有最大值，
即=2250-150a＜2430（不合题意）；
②若0＜a≤10，则当x=40+a时，有最大值，
将x=40+a代入，可得，
当=2430时，，
解得=2，=38（舍去），
综上所述，a的值为2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
2．（2021·四川德阳·二模）某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元；
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
(3)在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B为5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
【答案】(1)制作一件A获利15元，制作一件B获利120元；
(2)；
(3)最大利润为3198元，此时．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列一元一次方程即可求出，
（2）、的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产产品的人数是产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出与的函数关系式，
（3）由于工艺品每件盈利，随着的变化而变化，得出工艺品的每件盈利与的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出与的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定为何整数时，最大．
（1）
解：设制作一件获利元，则制作一件获利元，
由题意得：，
解得：，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元；
（2）
解：设每天安排人制作，人制作A，则人制作，
于是有：，
∴，
答：与之间的函数关系式为；
（3）
解：由题意得：，
又∵，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，y的值不是整数，不合题意，
∴不在顶点处取最值，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，，
∵a＝﹣2＜0，
∴当 25＜x＜65时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝26时，．
∴此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、一次函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，在利用二次函数的增减性时，有时还要根据实际情况，在对称轴的两侧取合适的值时，求出函数的最值，这是解答此题的关键．
3．（2022·辽宁大连·校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本价为元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于．经一段时间调查，发现每天销售量（个）与销售单价（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定为元，每天销售个；销售价定为元，每天销售个．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)如果该药店销售口罩每天获得元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？
(3)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)元
(3)元，元
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，用待定系数法可得与之间的函数关系式为，根据销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于80%，可得；
（2）根据题意得：，即可解得答案；
（3）由题意得：，整理计算，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）设与之间的函数关系式为，将销售价定为元，每天销售个；销售价定为元，每天销售个代入得：
，解得，
与的函数关系式为，
销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于，
，
解得，
；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：如果每天获得元的利润，销售单价应定为元；
（3）由题意得：
，
抛物线开口向下，有最大值，
时，最大值是，
答：销售单价定为元时，每天的利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数的应用，解题关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系是．
4．（2022·江苏泰州·统考一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋） … 14 16 18 20 …
销售量y（万袋） … 5 4 3 2 …
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
(1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
【答案】(1)该函数是一次函数，y与x之间的函数表达式为
(2)当销售价格定为18元袋时净得利润最大，最大值是12万元
【分析】（1）根据表格中每增加2，减少相同的值1，可判断该函数是一次函数；设y与x的函数表达式为：，待定系数法求函数表达式即可；
（2）由题意得， ，化成顶点式，然后根据函数的性质求最值即可．
(1)
解：根据表格中数据可得出：与是一次函数关系；
设y与x的函数表达式为：，
将、分别代入得，，
解得，
∴函数表达式为．
(2)
解：由题意得，
∵
∴当时，有最大值，值为12，
∴当销售价格定为18元袋时净得利润最大，最大值是12万元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值等知识．根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．
5．（2022·四川成都·校考三模）为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约6亿元的“成都520”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为30元/件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）之间的关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的80%．试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润．
【答案】(1)
(2)54元/件时，总利润最大，最大利润为2208元
【分析】（1）根据图形中数据用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，再根据x的取值范围和二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为，
则，
解得：，
∴销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系式是；
（2）商家销售该服装的利润为w元，
根据题意得：，
∵活动要求利润不得高于成本的80%．
∴，
解得：，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为2208，
∴商家售价定为54元/件时，总利润最大，最大利润为2208元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
6．（2022·云南·模拟预测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
【分析】（1）利用待定系数法可以求得一次函数的表达式；
（2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元；
【详解】（1）解：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
，
解得，k＝﹣1，b＝120，
即一次函数的表达式为；
（2）解：由题意可得，
，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，
，得，
∴当x＝87时，W取得最大值，此时，
答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答．
7．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求与的关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
【答案】(1)；
(2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润；
(3)将销售单价定为元时，可获得元的销售利润．
【分析】（1）根据利润＝（售价－成本）×销售量列关系式即可；
（2）用配方法将函数解析式化成顶点式即可得出答案；
（3）令，求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
与的关系式为：；
（2）解：∵，
当时，的值最大，
即当销售单价定为85元时，可获得最大利润；
（3）解：当时，可得方程，
解得：，（不合题意，舍去），
将销售单价定为元时，可获得元的销售利润．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
题型三：二次函数和分段函数综合的利润问题
①写分段函数解析式是要明确自变量的取值范围；
②要分段求利润的最值，再比较两段之间的最大值；
③注意自变量的范围和结果的取舍。
【例3】运行在某区段的高铁动车组对二等座实施浮动票价．二等座的基准票价为100元，按照基准票价售票时，上座率为60%．试运行阶段实施表明，票价在基准票价基础上每上浮10元，则上座率减少5个百分点；如果票价在基准票价基础上每下降10元，则上座率增加10个百分点．如：票价为110元时，上座率为55%；票价为90元时，上座率为70%．在实施浮动票价期间，保证上座率不低于30%．
(1)设该列车二等座上座率为，实际票价为x元，写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你用适当的函数解析式表示该列车二等座售票收入的变化规律；
(3)在不超载的情况下，请你帮助该列车的经营单位确定一个合理的价格，使得二等座售票收入最多．
【答案】(1)
(2)（w为收入，m为二等座个数）
(3)当票价为80元时，二等座的收入最多
【分析】（1）、分两种情况进行讨论：当，根据每上浮10元，则上座率减少5个百分点列出解析式，当，根据每下降10元，则上座率增加10个百分点列解析式，再根据 求自变量x的取值范围即可；
（2）、设收入为w，共有m个二等座，根据利润=票价×总共的座位数×上座率求出函数解析式即可；
（3）、由（2）得出的函数解析式，将其配成顶点式，再根据函数图像和性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
即 ，
解得： ，
，
当 时， ，
，
即： ，
解得： ，
，
；
（2）设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：
当时，
，
当时，
，
综上所述： ；
（3）设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：
当时，
∴当 时，w取最大值64m；
当时，
∴当时，w取最大值 ；
，
时，w取最大值，
综上所述，当票价为80元时，二等座的收入最多．
1．（2021·四川南充·统考中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）分两种情况：当x≤100时， 当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；
（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，
由题意得：，解得：x=10，
经检验：x=10是方程的解，且符合题意，
答：苹果的进价为10元/千克；
（2）当x≤100时，y=10x，
当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100时，w=zx-y==，
∴当x=100时，w最大=100，
若x＞100时，w=zx-y==，
∴当x=200时，w最大=200，
综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，
答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．
【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．
2．（辽宁鞍山·中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【分析】（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得，
解得：，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
3．（湖北随州·统考中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天 1 2 3 4 5
销售价格（元/只） 2 3 4 5 6
销量（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
【答案】（1），且x为整数，，且x为整数；（2），第5天时利润最大；（3）．
【分析】（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，
；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
4．（2022·湖北黄冈·统考模拟预测）水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为两周时间（14天），销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤14）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤14）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
（天） 1 2 3 …
（kg） 20 24 28 …
(1)请分别写出销售单价（元/kg）与（天）之间及销售量（kg）是（天）的之间的函数关系式；
(2)求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
(3)请求出试销的两周时间（14天）中，当天的销售利润不低于1680元的天数．
【答案】(1)y=(x为整数)；m=4x+16（1≤x≤14且x为整数）；
(2)在销售的第14天时，当天的利润最大，最大利润是1872元；
(3)试销的两周时间中，当天的销售利润不低于1680元的有7天．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）设当天的总利润为w，分1≤x≤7和8≤x≤14两种情况，根据“总利润=每千克利润×日销售量”列出函数解析式，再依据一次函数和二次函数的性质分别求解可得；
（3）在两种情况下，分别求出w≥1680时对应的x的范围，从而得出答案．
【详解】（1）解：当1≤x≤7时，y=60；
当8≤x≤14时，设y=kx+b，将（8，50）、（12，46）代入得：
，解得，
∴y=-x+58；
综上， y=(x为整数)；
设m=ax+c，将（1，20）、（2，24）代入得：
，解得，
∴m=4x+16（1≤x≤14且x为整数）；
（2）解：设当天的总利润为w元，
①当1≤x≤7时，w=（60-18）（4x+16）=168x+672，
∵168＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x=7时，w取得最大值，最大值为1848元；
②当8≤x≤14时，w=（-x+58-18）（4x+16）=-4x2+144x+640，
∵-4＜0，
∴开口向下，且对称轴为直线x=18，
∵8≤x≤14在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
∴当x=14时，w取得最大值，最大利润为1872元；
综上，在销售的第14天时，当天的利润最大，最大利润是1872元；
（3）解：当1≤x≤7时，由168x+672≥1680解得x≥6，
∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；
当8≤x≤14时，由-4x2+144x+640=1680解得x1=10，x2=26，
由图象可知：当10≤x≤26时w≥1680，
又∵x≤14，
∴10≤x≤14，
∴此时满足条件的天数有5天．
综上，试销的两周时间中，当天的销售利润不低于1680元的有7天．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质的运用．
5．（2022·湖北荆门·统考一模）六月，正值杨梅成熟上市．某杨梅基地的销售员记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系是：，日销量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：
时间第x天 1 3 5 7 10 11 12 15
日销量p（千克） 320 360 400 440 500 400 300 0
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)在这15天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？
(3)该杨梅基地决定在销售的前5天，每销售1千克杨梅就捐赠n（n＞0）元给“公益项目”，且希望每天的销售额不低于2800元，求n的最大值．
【答案】(1)；
(2)第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元；
(3)2；
【分析】（1）由表中数据画出函数图象判断函数关系，再由待定系数法求函数解析式即可；
（2）设销售额为元，分情况讨论：①0＜x≤5且x为整数时，②5＜x≤10且x为整数时，③10＜x≤15且x为整数时；根据销售额=每千克价钱×每天销售量列出函数关系并计算求值即可；
（3）设除去捐赠后的销售额为元，根据（2）得出函数关系；利用二次函数的交点式求得对称轴，再根据二次函数的性质计算最值即可.
【详解】（1）解：由表中数据画函数图象如下：
由图象可得p与x成一次函数关系，
当0＜x≤10时，设，（1，320）、（3，360）代入可得
，解得： ，
∴（0＜x≤10且x为整数），
当10＜x≤15时，设，（11，400）、（15，0）代入可得
，解得： ，
∴（10＜x≤15且x为整数），
∴p与x的函数关系式为：；
（2）解：设销售额为元，
①当0＜x≤5且x为整数时，
，
∵x是整数，∴当x=1时，有最大值为4160元；
②当5＜x≤10且x为整数时，
，
∵180＞0，
∴随x的增大而增大，
∴当x=10时，有最大值为4500元；
③当10＜x≤15且x为整数时，
，
∵﹣900＜0，
∴随x的增大而减小，
∴x=11时，有最大值为3600元；
综上所述，在这15天中，第10天销售额达到最大，最大销售额是4500元；
（3）解：当0＜x≤5时，设除去捐赠后的销售额为元，则
，
对称轴是，
∵﹣20＜0，函数开口向下，
∴当0＜x≤5时，w随x的增大而减小，
∴w在x=5时取得最小值，
∴，解得：，
∴n的最大值为2；
【点睛】本题考查了一次函数解析式及性质，二次函数的解析式及性质，根据自变量的取值范围分情况讨论是解题关键．
6.（2022·河北石家庄·校考模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为___________；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________.（销售额=销售量×销售价格）
【答案】
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
根据题意和中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
则，
解得，
即当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
则，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得，与的函数关系式为，
故答案为：；
（2）设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
由上可得，当时，取得最大值，此时，
故答案为：
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．
7．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售量株与第天为整数满足关系式：，销售单价元株与之间的函数关系为．
(1)计算第几天该果苗单价为元株？
(2)求该基地销售这种果苗天里单日所获利润元关于天的函数关系式；
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
【答案】(1)第天或第天该果苗单价为元株
(2)
(3)基地负责人向“精准扶贫”捐了元
【分析】（1）令，分当时和当时两种情况，代入求解即可；
（2）根据销售量乘以每株果苗的利润即可得到，分①当时和②当时两种情况讨论，即可求解；
（3）根据（2）中所得的函数关系，结合二次函数的性质以及反比例函数的性质即可求解．
（1）
当时，令，
得：，
解得，，
当时，令，
则，
解得，，
经检验是原分式方程的解，
答：第天或第天该果苗单价为元株；
（2）
分两种情况，
①当时，，
②当时，，
综上，；
即所求函数关系式为：；
（3）
①当时，，
∵，
∴当时，，
②当时，由知，随的增大而减小，
∴当时，，
∵，
∴基地负责人向“精准扶贫”捐了612.5元．
答：基地负责人向“精准扶贫”捐了612.5元．
【点睛】本题考查了二次函数和分比例函数的应用，明确题意列出函数关系式是解答本题的关键．
8．（2022·江苏盐城·校考二模）运行在某区段的高铁动车组对二等座实施浮动票价．二等座的基准票价为100元，按照基准票价售票时，上座率为60%．试运行阶段实施表明，票价在基准票价基础上每上浮10元，则上座率减少5个百分点；如果票价在基准票价基础上每下降10元，则上座率增加10个百分点．如：票价为110元时，上座率为55%；票价为90元时，上座率为70%．在实施浮动票价期间，保证上座率不低于30%．
(1)设该列车二等座上座率为，实际票价为x元，写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你用适当的函数解析式表示该列车二等座售票收入的变化规律；
(3)在不超载的情况下，请你帮助该列车的经营单位确定一个合理的价格，使得二等座售票收入最多．
【答案】(1)
(2)（w为收入，m为二等座个数）
(3)当票价为80元时，二等座的收入最多
【分析】（1）、分两种情况进行讨论：当，根据每上浮10元，则上座率减少5个百分点列出解析式，当，根据每下降10元，则上座率增加10个百分点列解析式，再根据 求自变量x的取值范围即可；
（2）、设收入为w，共有m个二等座，根据利润=票价×总共的座位数×上座率求出函数解析式即可；
（3）、由（2）得出的函数解析式，将其配成顶点式，再根据函数图像和性质即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
，
即 ，
解得： ，
，
当 时， ，
，
即： ，
解得： ，
，
；
（2）设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：
当时，
，
当时，
，
综上所述： ；
（3）设二等座售票收入w，二等座由m个，则可得：
当时，
∴当 时，w取最大值64m；
当时，
∴当时，w取最大值 ；
，
时，w取最大值，
综上所述，当票价为80元时，二等座的收入最多．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数最值的求解，根据题意找出等量关键，写出解析式是解题关键，
9．（2022·湖北黄冈·统考二模）某超市计划在端午节前30天销售某品牌粽子，进价为每盒90元，设第x天（x为整数）的销售价格为每盒y元，销售量为m盒．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①当1≤x≤10时，y＝200；当11≤x≤30时，y与x满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝145；当x＝24时，y＝130；
②m与x的关系为m＝5x+20．
(1)当11≤x≤30时，求y与x的函数关系式；
(2)x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少．
(3)超市要在当天销售价格的基础上涨a元/盒，结果发现第11到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则a的取值范围为 ．
【答案】(1)y＝﹣5x+250
(2)x＝14时，当天的销售利润最大，最大利润为8100元
(3)
【分析】（1）利用待定系数法可得一次函数关系式；
（2）分1≤x≤10、11≤x≤30，分别计算利润的最大值，进而求解；
（3）W＝（y+a﹣90） m＝（250﹣5x﹣90+a）（5x+20）＝﹣25x2+（700+5a）x+3200+20a，利用对称轴即可求解．
(1)
设y与x的关系式是y＝kx+b，
把（21，145）和（24，130）代入得，
解得k＝﹣5，b＝250，
∴当11≤x≤30时，y与x的关系式是y＝﹣5x+250；
(2)
当1≤x≤10时，y＝200，
则W＝（200﹣90）×（5x+20）＝550x+2200，
∵W随x的增大而增大，
∴x＝10时，W最大值为7700；
当11≤x≤30时，
则W＝（﹣5x+250﹣90）（5x+20）＝﹣25（x﹣14）2+8100，
∵函数的对称轴为x＝14，
∴当x＝14时，W取得最大值为8100，
∵8100＞7700，
故x＝14时，当天的销售利润最大，最大利润为8100元；
(3)
依题意得，W＝（y+a﹣90） m＝（250﹣5x﹣90+a）（5x+20）＝﹣25x2+（700+5a）x+3200+20a，
∵第11天到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，
∴对称轴x＝﹣≥14.5，得a≥5，
故a的取值范围是a≥5．
故答案为：a≥5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
题型四：含参数的利润问题
含参数问题难度较大，要根据提议，判断出参数的作用，根据函数的性质列出方程或不等式求值。
【例4】某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)30；40
(2)35元/件
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，列出一元一次方程，即可求解；
（2）根据题意求得的取值范围，进而求得的表达式，根据该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积，可得，进而根据二次函数的性质求得最值；
（3）分当时与时，求得的表达式，根据，即可求解．
(1)
解：，
当时，
解得
当，
平衡价格为30元，平衡需求量为40万件；
(2)
∵
∴，当时，，
解得；
当时，，
解得，
∴
∴当时，，
∵，开口向上，对称轴为，
又∵，
∴越大，越大，
∴当时，；
当时，，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，
∴当市场价格为35元/件时，市场销售额最大；
(3)
当时，；
当时，，
由已知得
∴
1.（2021·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）
【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式，即可求出a的范围．
【详解】解：（1）=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲=，
y乙=，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y甲-y乙=
=，
当x==18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y乙-y甲=
=，
∵对称轴为直线x==18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为=，
对称轴为直线x=，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
2．（2020·湖北黄冈·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)30；40
(2)35元/件
(3)
【分析】（1）根据题意，当时，列出一元一次方程，即可求解；
（2）根据题意求得的取值范围，进而求得的表达式，根据该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积，可得，进而根据二次函数的性质求得最值；
（3）分当时与时，求得的表达式，根据，即可求解．
(1)
解：，
当时，
解得
当，
平衡价格为30元，平衡需求量为40万件；
(2)
∵
∴，当时，，
解得；
当时，，
解得，
∴
∴当时，，
∵，开口向上，对称轴为，
又∵，
∴越大，越大，
∴当时，；
当时，，
∵，开口向下，对称轴为，
∴当时，
∴当市场价格为35元/件时，市场销售额最大；
(3)
当时，；
当时，，
由已知得
∴
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握二次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
4．（2022·江苏南京·统考二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
【答案】(1)500
(2)30亩；4500元
(3)
【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得到关系式，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
(1)
若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
（元）
故答案为：500；
(2)
设出租亩土地，则方式一的每亩年租金为：，
∴方式一的年总租金为：
方式二的年租金为
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，
∵
∴当时，y有最大值为4500
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
(3)
设出租亩土地，方式一的年收入为：方式二的年收入为：；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，
所以，对称轴为直线
∵
∴对称轴直线
∵
∴当时，w取得最小值
租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则
即：
解得，，
∵
∴a的取值范围为：
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式．
5．（2020·新疆乌鲁木齐·校考二模）某时令水果上市的时候，一果农以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了200箱该种水果．已知“线上”销售的每箱利润为50元．“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）之间的函数关系如图中线段AB．
(1)若“线上”与“线下”销售量相同，求果农售完这200箱水果获得的总利润．
(2)当“线下”的销售利润为4500元时，求“线下”的销售量．
(3)实际 “线下”销售时，每箱还要支出其它相关费用m元，若“线上”与“线下”售完这200箱该水果所获得的最大总利润为11225元，求m的值．
【答案】(1)11500元；
(2)60箱；
(3)5．
【分析】（1）先结合图形求出“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）之间的函数关系式，再根据本小题条件得到“线上”与“线下”销售量，然后依据公式：总利润=销售量×每箱利润，分别算出“线上”与“线下”销售总利润，最后把两者相加即可；
（2）由利润计算公式得，再将第(1)小问求得的函数解析式代入，消去y，得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；
（3）设总利润为元，则＝“线上”总利润＋“线下”总利润．其中，“线下”总利润＝“线下”销售量×(每箱利润y－m)，从而建立关于x的函数（含参数m）．此时函数开口向下有最大值．因此，令顶点纵坐标等于11225，得到关于m的方程，在m的允许取值范围内求出m的值即可．
【详解】（1）解：设线段AB的函数解析式为 ，
把点和点分别代入所设函数解析式，得方程组：
，解得．
∴线段AB的函数解析式为．
由题意可得，“线上”与“线下”销售量均为100箱，
∴把代入，可得“线下”销售每箱利润（元），
∴总利润为：（元）．
（2）由题意得：，
将函数代入上式消去y，得：，
解得：（舍），．
∴“线下”的销售量为60箱．
（3）设总利润为（元），则，
整理得：，
由于抛物线开口向下，有最大值，即：，
∴ ，化简方程得，
解得，．
但，故不符题意，舍去．
∴．
【点睛】本题是一次函数、二次函数、一元二次方程与利润问题的综合运用题．重点考查了学生利用一次函数、二次函数和一元二次方程知识来解决实际问题的能力，同时还考查到了对于利润的理解．利用二次函数的最值（函数的最大或最小值）来解决“最大总利润”问题是解决第(3)小问的关键．其中，这里的顶点纵坐标可通过公式法或配方法求得．
6．（2022·福建泉州·一模）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如表所示．
份量 小份装 大份装
成本（元份） 40 60
售价（元份） 60 100
从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．
(1)求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．
(2)店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元为整数）．每售出一份小份装可获利 元，此时大份装每天可售出 份．
(3)当取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？
【答案】(1)2600元
(2)，
(3)当元时，每天获利最多，最大利润为2768元
【分析】（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；
（3）根据总利润=小份装利润+大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．
【详解】（1）设该店每天大份菜品卖份，小份菜品卖份，
由题意得：，
解得：，
则，
该店总利润为（元，
该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；
（2）①小份菜售价提高元之后，售价为元，
利润为元
小份菜售价增加元后，销量减少了份，
则目前每天销售小份菜份，
因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了份，则大份菜会增加份，
则大份菜销量为份．
每售出一份小份菜可获利元，大份菜可售出份，
故答案为：，；
（3）由（2）可知，大份装多售出份，
大份装降价元，
假设利润为，则
，
该二次函数开口向下，对称轴为，
是整数，
当时，有最大值，最大值为（元，
当元时，每天获利最多，最大利润为2768元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式．第05讲二次函数利润问题的四种题型
题型一：“每每”的利润问题
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，
“每每”问题的做题步骤
①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；
②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；
③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；
④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；
⑤利润=每件利润×数量：
计算注意事项
①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；
②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；
③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。
【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
1.（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值
2．（2022·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题：
(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元．
(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？
4．（2022·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．
(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；
(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．
5．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
6．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
题型二：二次函数和一次函数综合的利润问题
当题中明确出现了“成一次函数关系”，或给了一次函数的图像，或给了一次函数表格时，先求出相关的一次函数解析式；然后根据利润的相关公式表示利润。
【例2】2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋） … 14 16 18 20 …
销售量y（万袋） … 5 4 3 2 …
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
(1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
1.（2022·贵州遵义·校考一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x(元/千克) 30 35 40 45 50
日销售量p(千克) 600 450 300 150 0
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
2．（2021·四川德阳·二模）某工厂制作A、B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同．
(1)制作一件A和一件B分别获利多少元；
(2)工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式；
(3)在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B为5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值．
3．（2022·辽宁大连·校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本价为元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于．经一段时间调查，发现每天销售量（个）与销售单价（元/个）之间存在一次函数关系，且有两天数据为：销售价定为元，每天销售个；销售价定为元，每天销售个．
(1)直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)如果该药店销售口罩每天获得元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？
(3)设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？
4．（2022·江苏泰州·统考一模）2022年春，新冠肺炎有所蔓延，市场对口罩的需求量仍然较大．某公司销售一种进价为12元/袋的口罩，其销售量y （万袋）与销售价格x （元/袋）的变化如表：
价格x（元/袋） … 14 16 18 20 …
销售量y（万袋） … 5 4 3 2 …
另外，销售过程中的其他开支（不含进价）总计6万元．
(1)根据表中数据变化规律及学过的“一次函数、二次函数、反比例函数”知识，请判断销售量y （万袋）与价格x （元/袋）满足什么函数？并求出y与x之间的函数表达式；
(2)设该公司销售这种口罩的净利润为w （万元），当销售价格定为多少元时净利润最大，最大值是多少？
5．（2022·四川成都·校考三模）为了稳增长，成都市政府开展了促线下消费活动，共发放约6亿元的“成都520”消费券．某商家参与了本次活动，售卖一款成本为30元/件的服装．经市场调研发现，这款服装的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）之间的关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)为让利顾客，活动要求利润不得高于成本的80%．试问：商家售价定为多少时，总利润最大？并求出此时的最大利润．
6．（2022·云南·模拟预测）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
7．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求与的关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
题型三：二次函数和分段函数综合的利润问题
①写分段函数解析式是要明确自变量的取值范围；
②要分段求利润的最值，再比较两段之间的最大值；
③注意自变量的范围和结果的取舍。
【例3】运行在某区段的高铁动车组对二等座实施浮动票价．二等座的基准票价为100元，按照基准票价售票时，上座率为60%．试运行阶段实施表明，票价在基准票价基础上每上浮10元，则上座率减少5个百分点；如果票价在基准票价基础上每下降10元，则上座率增加10个百分点．如：票价为110元时，上座率为55%；票价为90元时，上座率为70%．在实施浮动票价期间，保证上座率不低于30%．
(1)设该列车二等座上座率为，实际票价为x元，写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你用适当的函数解析式表示该列车二等座售票收入的变化规律；
(3)在不超载的情况下，请你帮助该列车的经营单位确定一个合理的价格，使得二等座售票收入最多．
1．（2021·四川南充·统考中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
（1）求苹果的进价．
（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．
（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入购进支出）
2．（辽宁鞍山·中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
3．（湖北随州·统考中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天 1 2 3 4 5
销售价格（元/只） 2 3 4 5 6
销量（只） 70 75 80 85 90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
4．（2022·湖北黄冈·统考模拟预测）水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为两周时间（14天），销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤14）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤14）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：
（天） 1 2 3 …
（kg） 20 24 28 …
(1)请分别写出销售单价（元/kg）与（天）之间及销售量（kg）是（天）的之间的函数关系式；
(2)求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？
(3)请求出试销的两周时间（14天）中，当天的销售利润不低于1680元的天数．
5．（2022·湖北荆门·统考一模）六月，正值杨梅成熟上市．某杨梅基地的销售员记录了15天的销售数量和销售单价，其中销售单价y（元/千克）与时间第x天（x为整数）的数量关系是：，日销量p（千克）与时间第x天（x为整数）的部分对应值如表所示：
时间第x天 1 3 5 7 10 11 12 15
日销量p（千克） 320 360 400 440 500 400 300 0
(1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画p随x的变化规律，请直接写出p与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)在这15天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？
(3)该杨梅基地决定在销售的前5天，每销售1千克杨梅就捐赠n（n＞0）元给“公益项目”，且希望每天的销售额不低于2800元，求n的最大值．
6．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元千克）关于的函数关系式为销售量y（千克）与之间的关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式为___________；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________.（销售额=销售量×销售价格）
7．（2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考二模）我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用天时间销售一种成本为元株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售量株与第天为整数满足关系式：，销售单价元株与之间的函数关系为．
(1)计算第几天该果苗单价为元株？
(2)求该基地销售这种果苗天里单日所获利润元关于天的函数关系式；
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将这天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”试问：基地负责人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱？
8．（2022·江苏盐城·校考二模）运行在某区段的高铁动车组对二等座实施浮动票价．二等座的基准票价为100元，按照基准票价售票时，上座率为60%．试运行阶段实施表明，票价在基准票价基础上每上浮10元，则上座率减少5个百分点；如果票价在基准票价基础上每下降10元，则上座率增加10个百分点．如：票价为110元时，上座率为55%；票价为90元时，上座率为70%．在实施浮动票价期间，保证上座率不低于30%．
(1)设该列车二等座上座率为，实际票价为x元，写出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你用适当的函数解析式表示该列车二等座售票收入的变化规律；
(3)在不超载的情况下，请你帮助该列车的经营单位确定一个合理的价格，使得二等座售票收入最多．
9．（2022·湖北黄冈·统考二模）某超市计划在端午节前30天销售某品牌粽子，进价为每盒90元，设第x天（x为整数）的销售价格为每盒y元，销售量为m盒．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①当1≤x≤10时，y＝200；当11≤x≤30时，y与x满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝145；当x＝24时，y＝130；
②m与x的关系为m＝5x+20．
(1)当11≤x≤30时，求y与x的函数关系式；
(2)x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少．
(3)超市要在当天销售价格的基础上涨a元/盒，结果发现第11到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则a的取值范围为 ．
题型四：含参数的利润问题
含参数问题难度较大，要根据提议，判断出参数的作用，根据函数的性质列出方程或不等式求值。
【例4】某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
1.（2021·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
2．（2020·湖北黄冈·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
3．（2022·湖北武汉·模拟预测）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
(1)直接写出平衡价格为______元/件，平衡需求量为______万件；
(2)若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值？
(3)该商品的每件成本为元，若当时，随着的增大，该商品的销售利润（万元）经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出的取值范围．
4．（2022·江苏南京·统考二模）某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元给慈善机构；若选择方式二，农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
5．（2020·新疆乌鲁木齐·校考二模）某时令水果上市的时候，一果农以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了200箱该种水果．已知“线上”销售的每箱利润为50元．“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）之间的函数关系如图中线段AB．
(1)若“线上”与“线下”销售量相同，求果农售完这200箱水果获得的总利润．
(2)当“线下”的销售利润为4500元时，求“线下”的销售量．
(3)实际 “线下”销售时，每箱还要支出其它相关费用m元，若“线上”与“线下”售完这200箱该水果所获得的最大总利润为11225元，求m的值．
6．（2022·福建泉州·一模）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如表所示．
份量 小份装 大份装
成本（元份） 40 60
售价（元份） 60 100
从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．
(1)求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．
(2)店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了元为整数）．每售出一份小份装可获利 元，此时大份装每天可售出 份．
(3)当取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？
