2023九年级数学中考复习 圆的综合（四）
1．如图，弦与相交于内一点，．
（1）试说明：；
（2）设，，，求、的长．
2．如图，的直径的长为2，点在圆周上，．点是圆上一动点，交的延长线于点，连接，交于点．
（1）如图1，当与相切时，求的度数；
（2）如图2，当点是的中点时，求的面积．
3．已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接，若，，求的半径和的长．
4．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
5．如图，是的直径，点在上，过点作射线且满足．
（1）判断与的位置关系，并证明；
（2）延长到，使，连接与交于点，若的半径为3，，求的外接圆的半径． ．
6．如图，是的直径，弦于点，点在上，且，弦与交于点
（1）求证：；
（2）若，，求的直径．
7．如图是的外接圆，，延长于，连接，使得，交于．
（1）求证：与相切；
（2）若，．求的半径和的长度．
8．如图，在中，．以为直径的与相切于，交于点，的延长线交于点，过点作弦，垂足为点．
（1）求证：①，②；
（2）若，求的长．
9．如图，是的直径，是弦，过点作于交于，在的延长线上取一点，使，与交于．
（1）判断直线与的位置关系，并给出证明；
（2）当的半径是5，，时，求及的长．
10．如图，中，，为上一点，以为直径的交于点，连接交于点，交于点，连接，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
11．如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，，垂足为．
（1）求证：．
（2）若的半径为4，，，求．
12．如图，直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限且为正三角形．的外接圆交轴的正半轴于点．
（1）点的坐标是 ，点的坐标是 ；
（2）过点的圆的切线交轴于点，则图中阴影部分的面积是 ；
（3）若于点，点在线段上．点在轴的正半轴上，，与交于点．
①当为等腰三角形时，求点的坐标；
②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论．
13．如图，的圆心在的直角边上，经过、两点，与斜边交于点，连接、，有，作弦于，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
答案版
1．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得，，，
；
（2）解：由相交弦定理得到，，即，
解得，或6，
则或2，
或6，或2．
2．
【解答】解：（1）如图：连接
与相切
（2）如图：连接
是直径，点是的中点
，，
，
，，
，，
，点为的中点，
，为的中位线，
，
3．
【解答】（1）证明：平分，
，
与都是弧所对的圆周角，
，
，
是的直径，，
，
，，
，
，
；
（2）证明：为直径，
，
于，
，
，
又，
，
；
（3）解：连接，
，
，
，，
，
，
故的半径为2.5，
，
，
．
即的长为2.4．
4．
【解答】（1）证明：连接．
，，，
，
，
，
是的切线．
（2）解：设的半径为．
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
5．
【解答】（1）证明：如图，连接
为的直径，
，
，
又，，
，
是的切线；
（2）解：，
，
又，
，
是直角三角形，
的外接圆的直径是，
又，，
，
，
的半径为3，
，
，
，
，
，
的外接圆的半径为．
故答案为：．
6．
【解答】（1）证明：，，，．
（2）解：如图：连接，设圆的半径为，在中，
，，，，
解方程得：．
所以的直径为26．
7
【解答】（1）证明：连接；
，
，
；
又，
，
是的切线．
（2）解：设的半径为，则，，，
在中，，
，解得，
作于，如图，，
则，
，
，
在中，，
，
．
8．
【解答】（1）证明：①连接．
是的切线，
，
，
．
②，，
，
，
是直径，
，
，
．
（2）解：，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
9．
【解答】解：（1）是的切线；理由如下：
与都对，
，
，
，
在中，，
，即，
，
是的切线；
（2），，
，
，即，
解得：；
连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
．
10．
【解答】解：（1）是切线．
理由：连接、．
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线．
解法二：，，
，
弧弧，
，
又，
，
即，
是圆切线
（2），，
，
，
，设．则，
，
，
，
则．
11．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：，，
，
，即，
解得：，
由（1）得：，
，
．
12．
【解答】解：（1）过点作的垂线，垂足为，
，，，
设点坐标为，则，
，（1分）
连接，
则，，
，
．
故答案为，．
（2），
为直径，
又为圆的切线，，
，
，
是的直径，为的边的中线，
为外接圆的圆心，
，，，
．
故答案为：．
（3）①设点的坐标为，
，
若，，
，
过点做，垂足为，则有：，
即，
解得：，即点的坐标为．
若，则，
，从而，
即，
解得即点的坐标为，
若，，此时，不满足题意．
②线段的长的最大值为．
13．
【解答】（1）证明：连接．
，
，．
又，
，
．
又，，
．
，即．
是切线．
（2）解：连接，
，；
由于为的直径，在中有：
．
．
在中，，
．
根据垂径定理得：．
