2022-2023学年浙江省温州市永嘉县乌牛一中八年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 下列垃圾分类标志分别是可回收垃圾、有害垃圾、厨余垃圾和其他垃圾，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 某中学运动会上，有名运动员参加了米半决赛，按成绩取前名进入决赛，小亮知道了自己的成绩，也知道名选手的成绩各不相同，要判断自己能否进入决赛，还要了解全部成绩的( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，将 的一边延长至点，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
7. 如图，商用手扶梯的坡比为：，已知扶梯的长为米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 已知是方程的一个解，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在高，宽的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为的空白墙面若长方形装饰板的面积为，则以下方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得，在他的几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，则长度恰好是方程的一个正根的线段为( )
A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 当时，二次根式的值是______ ．
12. 已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是______．
13. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
14. 在直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______ ．
15. 若的小数部分为，则的值为______ ．
16. 若现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如表所示：将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的单价，则这千克什锦糖果的单价为______ 元千克．
甲种糖果 乙种糖果
单价元千克
千克数
17. 如图，在 中，点、分别为、的中点，，已知，，则 的周长为______．
18. 如图，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行如图，画框的左上角顶点，，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形若点，，恰好在同一直线上，，，，则正方形画框的边长为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
解方程：．
20. 本小题分
如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长为．
在图中，以为边画一个 ，使它的周长为无理数，且点和点均在格点上；
在图中，以为对角线画一个 ，使它的周长是整数，且点和点均在格点上．
21. 本小题分
如图，在 中，对角线和交于点，点、分别为、的中点，连结，．
求证：≌．
若，，，求的长．
22. 本小题分
某中学开展校艺术节歌咏比赛，八年级甲、乙班根据初赛成绩，各选出名选手参加复赛，复赛成绩满分为分如表所示．
选手编号
班级 平均分 中位数
甲班 ______
乙班 ______
完成表中，的值．
已知乙班复赛成绩的方差为，请计算甲班复赛成绩的方差，如果规定成绩较稳定的班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．
23. 本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何估算游客人数和门票收入？
素材 今年疫情开放以来，我县接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数月份为万人，月份为万人．
素材 若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
据预测，月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有万、万和万并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降元，将有人原计划购买甲种门票的游客和人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． 购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 和
门票价格 元人 元人 元人
问题解决
任务 确定增长率 求月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几．
任务 预计门票收入 若丙种门票价格下降元，求景区月份的门票总收入．
任务 拟定价格方案 将丙种门票价格下降多少元时，景区月份的门票总收入有万元？
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，已知点，点，连接，直线交轴于点，且．
点的坐标为______ ；
动点从点出发，沿折线方向以个单位秒的速度向终点做匀速运动，若的面积为，点的运动时间为秒．
当时，求与之间的函数关系式；
在点运动过程中，当时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解有意义的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心逐项判断即可得．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第名的成绩的平均数是中位数，要判断是否进入前名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．
故选：．
人成绩的中位数是第名的平均成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查中位数．关键是掌握中位数的定义：把一组数据按照从小到大，或从大到小的顺序排列，位置处于中间的数是中位数．
4.【答案】
【解析】解：，所以选项符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质对选项、选项进行判断；根据算术平方根的定义对选项进行判断；根据二次根式的减法对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的对角相等得，再求出，即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
7.【答案】
【解析】解：商用手扶梯的坡比为：，
设米，则米，
，
解得：，
米，
故选：．
根据坡比的定义可知，设米，则米，由勾股定理求出，得出即可．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理．理解坡比的定义是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是方程的一个解，
，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据长方形装饰板的面积为，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，．
，
，
．
的解为：，
取正值为．
这条线段是线段．
故选：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
此题考查的是一元二次方程的应用，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当时，
原式
，
故答案为：．
将代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和计算公式作答．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
14.【答案】
【解析】解：点关于原点中心对称的点的坐标是．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是．
本题比较容易，要明确平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
15.【答案】
【解析】解：，
，
的小数部分为，
，
原式
．
故答案为：．
先估算出的取值范围，进而可得出的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：这千克什锦糖果的单价为：元千克．
故答案为：．
将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求、这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
17.【答案】
【解析】解：如图，连接、过点作交的延长线于点，
四边形为平行四边形，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形，
，，，
、分别为、的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接、过点作交的延长线于点，证四边形为矩形，得，，，再由勾股定理求出长，得出的长，然后由勾股定理求出的长，即可求出平行四边形的周长．
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
四边形是平行四边形，点，，，，都在直线上，
，，
画框下边缘与水平地面平行，
、与地面垂直，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
正方形画框的边长为，
故答案为：．
延长交于点，可证明四边形是平行四边形，则，所以，因为，，所以，则，所以，，因为，，所以，则，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
，
，
或，
所以，．
【解析】先把化简，然后合并即可；
先把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的加减法．
20.【答案】解：如图中，四边形即为所求答案不唯一；
如图中，四边形即为所求答案不唯一．
【解析】根据要求利用数形结合的思想画出图形即可；
根据要求利用数形结合的思想画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，无理数，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，对角线、交于点，
，，，
，
点、分别为、的中点，
，，
，
在和中，
，
≌．
解：，，，
，
，
，
，
，
，
的长是．
【解析】由平行四边形的性质得，，，则，而，，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由，，，根据勾股定理得，则，所以，则．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由平行四边形的性质证明，，是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：甲班成绩的平均数，
乙班成绩重新排列为、、、、、，
所以乙班成绩的中位数；
甲班成绩的方差为，
，
甲班成绩稳定，
甲班胜出．
根据平均数和中位数的定义求解即可；
根据方差的定义及意义求解即可．
本题考查了平均数、中位数及方差的求法；正确理解它们的意义，学会用统计量分析问题是解决本题第二问的关键．
23.【答案】解：任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长；
任务根据题意得：
元，
元万元．
答：景区月份的门票总收入万元；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：丙种门票价格下降元或元时，景区月份的门票总收入有万元．
【解析】任务设月和月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长率为，利用月份游玩某景区的游客人数月份游玩某景区的游客人数该景区游客人数平均每月增长率，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
任务利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，即可求出结论；
任务设丙种门票价格下降元时，景区月份的门票总收入有万元，利用景区月份的门票总收入门票单价销售数量，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：，，点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，边在轴上，
轴，，
，
故答案为：．
如图，设直线的解析式为，
直线经过点，，
，解得，
直线的解析式为，
，，
，，
，
，
．
当时，，
当时，则，
解得；
当时，如图，作交的延长线于点，
，且，
，
解得，
，
，
当时，则，
解得，
综上所述，的值为或．
由，点，根据勾股定理得，则，因为轴，，所以，于是得到问题的答案；
当时，点在边上，先用待定系数法求得直线的解析式为，则，所以；
分两种情况，一是当时，由，得，则；二是当时，作交的延长线于点，由，求得，则，由，得，则．
此题重点考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、根据转化思想求图形的面积、数形结合与分类讨论数学思想的应用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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