专题09 圆的面积的解题技巧
在解答圆的组合图形面积或求阴影部分面积时，除了正确运用圆的面积公式外，还可以巧妙地运用“重叠”“转化”“拼接”“对称”“割补结合"等技巧化繁为简、化不规则为规则进行解答。
如图所示，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．
【分析】 如图所示，阴影部分的面积＝右侧扇形的面积+左侧三角形的面积﹣上方空白三角形的面积，然后根据圆和三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：3.14×82÷4+10×8÷2﹣8×8÷2 ＝50.24+40﹣32 ＝58.24（平方厘米） 答：阴影部分的面积是58.24平方厘米． 【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．
技巧1 重叠
1．小明家客厅的地面想用一种形状像图1，尺寸规格为1.2m×1.2m的方砖铺贴．设计师在研究设计效果图时，把其中一块方砖画在了边长为6cm的正方形图纸上（如图1）．
（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过 平移和旋转 运动得到．
（2）正方形图纸（图1）的比例尺是多少？
（3）若这个客厅的地面长是7.2m，宽是4.8m，地面铺好后（缝隙忽略不计），阴影图案部分的面积一共占多少平方米？（π取3.14）
【分析】（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过平移和旋转运动得到；
（2）根据图上距离：实际距离＝比例尺解答；
（3）图2的实际面积＝两个半径1.2÷2＝0.6（m）、圆心角90°扇形面积﹣边长0.6m正方形面积，每块地砖阴影图案面积＝图2实际面积×4；客厅地砖阴影图案部分的面积＝每块地砖阴影图案面积×地砖的块数；地砖的块数＝客厅长÷地砖边长×（客厅宽÷地砖边长）。
【解答】解：（1）方砖中的阴影图案可以由图2通过平移和旋转运动得到。
（2）1.2m＝120cm
6：120＝1：20
答：正方形图纸的比例尺是1：20。
（3）1.2÷2＝0.6（m）
（3.14×0.62 2﹣0.62 ）×4
＝（3.14×0.362﹣0.36）×4
＝（0.5652﹣0.36）×4
＝0.2052×4
＝0.8208（平方米）
7.2÷1.2×（4.8÷1.2）×0.8208
＝6×4×0.8208
＝24×0.8208
＝19.6992（平方米）
答：地面铺好后，阴影图案部分的面积一共占19.6992平方米。
故答案为：平移和旋转。
【点评】本题难点是计算图2的面积，掌握“图2的实际面积＝两个半径1.2÷2＝0.6（m）、圆心角90°扇形面积﹣边长0.6m正方形面积”是解答本题的关键。
技巧2 转化
2．求图中涂色部分的面积。
【分析】阴影部分的面积＝长（4×2）厘米、宽4厘米的长方形面积+半径4厘米的半圆面积﹣底（4×2）厘米、高4厘米的三角形面积﹣半径4厘米的半圆面积。据此解答。
【解答】解：4×（4×2）+3.14×42÷2﹣4×（4×2）÷2﹣3.14×42÷2
＝32+25.12﹣16﹣25.12
＝16（cm2）
答：阴影部分的面积是16cm2。
【点评】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。
技巧3 拼接
3．如图，正方形ABCD的边长为6厘米，以CD为直径作圆，点E为半圆周上的中点，点F为BC的中点，求阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm）
【分析】连接EB，则阴影部分的面积等于图中正方形与半圆的面积之和减去空白部分两个三角形的面积。E点为半圆周的中点，作出三角形EAB的高EP，则P是AB的中点，所以PE的长度为6+6÷2＝9（厘米），所以它的面积是6×9÷2＝27（平方厘米）；F点为正方形一边的中点，所以三角形EBF的面积是3×3÷2＝4.5（平方厘米）；据此解答即可。
【解答】解：6÷2＝3（厘米）
正方形和半圆的面积之和：6×6+3.14×32÷2
＝36+14.13
＝50.13（平方厘米）
三角形EAB的面积是：6×（6+3）÷2＝27（平方厘米）
三角形EBF的面积是：3×3÷2＝4.5（平方厘米）
则阴影部分的面积是：50.13﹣27﹣4.5＝18.63（平方厘米）
答：阴影部分的面积是18.63平方厘米。
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，连接EP，找出这两个白色三角形的高，求出空白部分的面积是解决本题的关键。
技巧4 对称
4．（如图）ABCD为平行四边形，求阴影部分面积。
【分析】
如图，连接BD，根据半圆是轴对称图形可知，两处阴影部分面积的和等于三角形ABD的面积，三角形ABD的AD边长与半圆的直径相等，AD边上的高与半圆的半径相等，先根据“直径＝半径×2”求出半圆直径，再根据“三角形面积＝底×高÷2”求出三角形ABD的面积，也就是阴影部分的面积。
【解答】解：4×2＝8（cm）
8×4÷2
＝32÷2
＝16（cm2）
答：阴影部分的面积是16cm2。
【点评】解答此题的关键在于看出两处阴影部分面积的和等于三角形ABD的面积。
技巧5 割补结合
5．如图：∠BOA＝90°，OA＝OB＝6．求阴影部分的面积．
【分析】
如图所示，连接AB，则AB左侧的两处阴影部分正好可以添补到内部空白处，则阴影部分的面积等于三角形ABO的面积，进而利用三角形的面积公式计算求出阴影部分的面积．
【解答】解：6×6÷2＝18（平方厘米）
答：阴影部分的面积是18平方厘米．
【点评】这类问题的解答方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
1．求出阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于正方形的面积减去半径为（8÷2）分米的圆的面积。据此解答。
【解答】解：8×8﹣3.14×（8÷2）2
＝64﹣50.24
＝13.76（平方分米）
答：阴影部分的面积是13.76平方分米。
【点评】此题主要考查了组合图形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握正方形和圆的面积的求法。
2．求如图中阴影部分的面积。
【分析】图中阴影部分可以看作从正方形中剪去一个以正方形边长为半径、圆心角为直角的扇形剩下的图形，圆心角为直角的扇形面积是与它半径相等的圆面积的，用正方形面积减去这个扇形的面积，即是阴影部分的面积。
【解答】解：4×43.14×4
＝16﹣3.14×4
＝16﹣12.56
＝3.44（平方分米）
答：阴影部分的面积是3.44平方分米。
【点评】解答此题的关键在于看出阴影部分面积等于正方形面积减扇形面积，解答时需要掌握求正方形面积、圆心角是直角的扇形面积的方法。
3．如图是一种工具的横截面，圆的周长是62.8厘米，长方形面积和圆的面积相等，你能算出这个工具的手柄部分的横截面积（即图中阴影部分的面积）吗？
【分析】根据圆的周长求出圆的半径，然后再根据圆的面积公式求出圆的面积，长方形的面积和圆的面积相等，阴影部分的面积等于长方形的面积减圆的面积，也就是圆的面积减圆的面积据此列式解答即可。
【解答】解：62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（厘米）
10×10×3.14
＝100×3.14
＝314（平方厘米）
314﹣314÷4
＝314﹣78.5
＝235.5（平方厘米）
答：手柄部分的横截面积是235.5平方厘米。
【点评】此题考查了对圆的周长公式和面积公式的灵活运用，关键是分析出阴影部分的面积等于圆的面积减圆的面积。
4．学校运动场的形状如图所示。
（1）运动场的周长是多少？
（2）运动场的面积是多少？
【分析】（1）运动场的周长等于直径是80米的圆的周长加上两条直跑道的长，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式解答。
（2）运动场的面积等于直径是80米的圆的面积加上长方形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab。把数据代入公式解答。
【解答】解：（1）3.14×80+100×2
＝251.2+200
＝451.2（米）
答：运动场的周长是451.2米。
（2）3.14×（80÷2）2+100×80
＝3.14×1600+8000
＝5024+8000
＝13024（平方米）
答：运动场的面积是13024平方米。
【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
5．某开发区大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径相同，都为R；小圆半径也相同，都为r；而且R：r＝2：1.如果都是均匀用料，画哪个标点符号的油漆用得最多？
【分析】根据环形面积公式：S＝π（R2﹣r2），把数据代入公式求出句号的面积；逗号的面积通过旋转转化为大半圆的面积，问号的面积等于环形的面积加上小圆的面积，根据圆的公式：S＝πr2，把数据代入公式求出它们的面积，然后进行比较即可。
【解答】解：设r为1，则R为2，
句号的面积：
π×（22﹣12）
＝π×（4﹣1）
＝π×3
＝3π
逗号的面积：
π×22÷2
＝π×4÷2
＝2π
问号的面积：
π×（22﹣12）π×12
＝π×（4﹣1）π×1
π+π
π
π＞3π＞2π
答：问号的油漆用量最多。
【点评】解答求组合图形的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
6．图中的花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成的。（半圆直径为1米）这个门洞的面积是多少平方米？
【分析】门洞的面积等于直径是1米的圆的面积的2倍加上边长是1米的正方形的面积。
【解答】解：3.14×（1÷2） ×2+1×1
＝1.57+1
＝2.57（平方米）
答：这个门洞的面积是2.57平方米。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把不规则图形转化成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
7．计算如图中阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于半圆面积减去三角形面积。
【解答】解：3.14×（8÷2） ÷2﹣（8÷2）×（8÷2）÷2
＝25.12﹣8
＝17.12（平方米）
答：阴影部分的面积是17.12平方米。
【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键把不规则图形转化为规则图形，利用规则图形的面积公式计算。
8．如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．（圆周率取3．
【分析】如图，由于这两个圆与三个小半圆半径相等，且这两个圆与三个小半圆和大半圆都相切，大半圆的面积减去两个小圆的面积，被平均分成三份，用出大半圆的面积减去两个小圆的面积，再除以3即是阴影部分的面积．
【解答】解：如图，
1+1+1＝3
（3×32÷2﹣3×12×2）÷3
＝3×（9÷2﹣1×2）÷3
＝3×（4.5﹣2）÷3
＝3×2.5÷3
＝2.5
阴影部分面积是2.5。
【点评】本题考查了相切两圆的性质，属于基础题，关键是正确表示出阴影部分的面积即可．
9．已知小圆直径为1．求图中阴影部分的面积；（π取3.14）
【分析】
如图，首先用直径是1的圆的面积减去三角形ABC的面积，再乘以2，求出空白部分M的面积；然后用半径是1厘米的圆的面积减去4个半径是1÷2＝0.5的圆的面积，再加上M部分的面积的4倍，求出阴影部分的面积是多少即可．
【解答】解：M部分的面积是：
3.14×（1÷2）2÷4﹣（1÷2）×（1÷2）÷2
＝3.1442
＝0.19625﹣0.125
＝0.07125
阴影部分的面积是：
3.14×12﹣3.14×（1÷2）2×4+0.07125×4
＝3.14﹣3.14+0.285
＝0.285
答：阴影部分的面积是0.285．
【点评】此题主要考查了组合图形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积公式，并求出M部分的面积是多少．
10．图形计算。
1.求下图中阴影部分的面积。（单位：cm）
【分析】1.阴影部分的面积等于以20cm为直径的圆的面积的一半减去以20cm为底，（20÷2）cm为高的三角形的面积的差的2倍，据此列式计算；
【解答】解：1.[3.14×（20÷2）2÷2﹣20×（20÷2）÷2]×2
＝（157﹣100）×2
＝114（cm2）
答：阴影部分的面积是114平方厘米。
【点评】本题主要考查组合图形的面积和体积的计算，关键利用转化思想解答。
11．看图计算。（单位：厘米）
1.求图中阴影部分的面积。
【分析】1.阴影部分的面积等于直径是20厘米的半圆形面积减去底为20厘米，高为10厘米的直角三角形面积；
【解答】解：1、3.14×（20÷2）2÷2﹣20×10÷2
＝3.14×100÷2﹣100
＝157﹣100
＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
【点评】本题是一道求阴影部分面积和图形表面积的题目，掌握求解方法是解题的关键。
12．求如图图形面积
【分析】
（1）如图，图1的阴影部分的面积＝直径为2的两个半圆的面积﹣底和高均为2的三角形的面积，据此代入数据解答即可；
（2）如图，图2的阴影部分的面积＝半径为12的圆面积+边长为12的正方形面积﹣半径为12的圆的面积，据此代入数据解答即可．
【解答】解：
（1）3.14×（2÷2）2﹣2×2÷2
＝3.14×1﹣2
＝3.14﹣2
＝1.14
（2）3.14×122（12×12﹣3.14×122）
＝3.14×108+（144﹣3.14×36）
＝339.12+（144﹣113.04）
＝339.12+30.96
＝370.08
【点评】此题考查组合图形面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中利用面积公式计算解答．
13．正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的周长．
【分析】根据图示可知：AD＝AE的长为1厘米，那么AE的长为1厘米，则BE的长为AB+AE＝1+1＝2厘米；CG＝CF＝BF+BC＝2+1＝3厘米；DG＝CF+DC＝CF+DC＝3+1＝4厘米，然后再根据圆的周长公式分别计算出每个圆的周长，把每个圆的周长相加的和再加DG的长再加正方形的周长即可．
【解答】解：3.14×1×23.14×2×23.14×3×23.14×4×24+1×4
＝1.57+3.14+4.71+6.28+4+4
＝15.7+4+4
＝23.7（厘米）
答：阴影部分的周长为23.7厘米．
【点评】解答此题的关键是确定每个圆的半径和阴影部分周长的组成部分．
14．如图中三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．
【分析】如图所示，连接其中一个阴影部分的三点构成一个等边三角形，从图中你会发现：每一块阴影部分面积＝正三角形面积+两个弓形面积﹣一个弓形面积＝扇形面积．所以我们可以求出以这个以这个小阴影部分为主的扇形面积cm2，再乘3，就是阴影的总面积．
【解答】解：由题意，得：
S阴影＝3×S扇形
＝3
＝3π
3.14
＝39.25（平方厘米）
答：阴影部分的面积是39.25平方厘米．
【点评】本题的关键是看出每一块阴影部分面积＝正三角形面积+两个弓形面积﹣一个弓形面积，即一个圆心角为60°的扇形的面积．
15．图中有一个大长方形，这个长方形的面积是12平方厘米，求图中甲和乙的面积之差．
【分析】设这个长方形的宽为r，则长为3r，已知这个长方形的面积是12平方厘米，所以3r×r＝12，所以r2＝4；因为ABO2O1是边长为r的正方形，图中阴影甲的面积﹣阴影乙的面积＝半圆面积﹣边长为r的正方形的面积，由此解决问题．
．
【解答】解：设这个长方形的宽为r，则长为3r，得：
3r×r＝12
所以r2＝12÷3＝4
图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大：
πr2﹣r2
＝3.14×44
＝6.28﹣4
＝2.28（平方厘米）
答：图中甲和乙的面积之差是2.28平方厘米．
【点评】此题解答的关键在于：先求出半径的平方，看出图中阴影甲的面积﹣阴影乙的面积＝半圆面积﹣边长为r的正方形的面积．
16．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ACD的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。
【分析】将图形分割，将阴影部分面积转化为两部分，一部分是扇形ACD面积与三角形ABC面积一半的差，另一部分是半圆形BEC的面积与三角形ABC面积一半的差，相加即可。
【解答】解：如图分割：
阴影部分①的面积＝扇形ACD面积﹣三角形ACE的面积，
阴影部分②的面积＝半圆BEC面积﹣三角形BCE的面积，
三角形ACE的面积+三角形BCE的面积＝三角形ABC的面积，
阴影部分面积＝扇形ACD的面积+半圆BEC的面积﹣三角形ABC的面积
3.14×423.14×（4÷2）24×4
3.14×163.14×4﹣8
＝6.28+6.28﹣8
＝12.56﹣8
＝4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【点评】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。
17．公园里有一个用瓷砖铺成的八卦图案（如图），铺白色瓷砖的面积是多少平方米？
【分析】做一条过两个小圆圆心的直线，可以发现，白色部分的面积就是整个大圆面积的一半，据此计算即可。
【解答】解：如图分割：
可以发现，白色部分的面积是大圆面积的一半，
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方米）
答：白粉瓷砖的面积是39.25平方米。
【点评】本题主要考查了圆与组合图形，合理的割补是本题解题的关键。
18．从一块长方形铁板上截取下两个同样大的半圆（如图），剩下部分的面积和周长分别是多少？
【分析】把两个半圆拼接，那么阴影部分的面积＝长方形的面积﹣圆的面积，圆的半径和长方形的宽都是8÷2÷2＝2分米，然后根据长方形的面积S＝ab；圆的面积S＝πr2解答即可．
阴影部分的周长＝圆的周长+长方形的长+长方形的宽×2；据此根据圆的周长公式 C＝πd解答即可．
【解答】解：面积：8÷2＝4（分米）
4÷2＝2（分米）
8×2﹣3.14×22
＝16﹣12.56
＝3.44（平方分米）
周长：3.14×4+8+2×2
＝12.56+12
＝24.56（分米）
答：剩下部分的面积是3.44平方分米，周长是24.56分米．
【点评】本题属于求组合图形面积和周长的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积（周长）差还是和，然后根据面积（周长）公式解答即可．
19．如图是一个花坛的平面图，中间是一个边长20米的正方形，正方形的四个角上分别有一个半径5米的圆．求这个花坛的占地面积．
【分析】用一个正方形的面积加上4个圆的面积，再减去1个圆的面积就是这个组合图形的面积，即用一个正方形的面积加上3个圆的面积就是这个组合图形的面积，列式计算即可．
【解答】解：20×20+3.14×52×3
＝400+235.5
＝635.5（m2）
答：这个花坛的占地面积是635.5m2．
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．
20．如图，在长方形ABCD中，三角形ABD的面积比三角形BCD的面积大10cm2，求阴影部分的面积．（图中单位：cm）
【分析】
作DE垂直于AB，因为三角形ABD的面积比三角形BCD的面积大10cm2，所以三角形ADE的面积就是10cm2，那么AE＝8﹣3＝5厘米，然后根据三角形的面积公式可以求出DE的长度，即圆的半径：10×2÷5＝4厘米，然后根据圆的面积公式S＝πr2求出圆的面积，就是阴影部分的面积．
【解答】解：8﹣3＝5（厘米）
10×2÷5＝4（厘米）
3.14×42
＝3.14×12
＝37.68（平方厘米）
答：阴影部分的面积是37.68平方厘米．
【点评】本题属于求组合图形面积的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，然后根据面积公式解答即可．
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