上海市黄浦区2023届高三数学二模试卷
一、填空题
1．（2023·黄浦模拟）设集合，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据交集含义得，
故答案为：.
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．（2023·黄浦模拟）函数的最小正周期为 ．
【答案】
【知识点】余弦函数的周期性
【解析】【解答】直接根据余弦函数周期公式得，
故答案为：.
【分析】根据余弦函数周期公式求解可得答案.
3．（2023·黄浦模拟）若函数的图像经过点与，则m的值为 ．
【答案】81
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意函数的图像经过点与，
则，则
故，
故答案为：81
【分析】 把点(2， 16)代入函数解析式求出a的值，再把(3， m )代入即可求出m的值.
4．（2023·黄浦模拟）设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则 .
【答案】-5
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意得：所以
【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可求出答案.
5．（2020高三上·顺德月考）以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点 ，准线方程为： ，
∴以抛物线 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴圆的方程为； ，
故答案为： .
【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.
6．（2023·黄浦模拟）已知m是与4的等差中项，且，则的值为 ．
【答案】40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意得，解得，
则二项式的通项为，
令则有，故，
故答案为：40.
【分析】 先利用等差中项的定义建立方程求出m的，代入二项式，再根据二项式定理求出展开式中含x3的系数，进而可求解出 的值 .
7．（2023·黄浦模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为 ．
【答案】-2
【知识点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为-2.
故答案为：-2
【分析】 由奇函数的性质，可知f(-ln2)=4，代入已知条件中，根据指数和对数的运算法则，即可求解出实数a的值 .
8．（2023·黄浦模拟）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆雉的母线长为，半径为10，
则圆锥的侧面积为，
又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，
所以学具的表面积为.
故答案为：
【分析】 先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解出几何体的表面积.
9．（2023·黄浦模拟）若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则 ．
【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由题意得，
则，
当时，，
函数在区间上是严格减函数，
故，即且，
则，而，故，
故答案为：
【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出的值.
10．（2023·黄浦模拟）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为 ．
【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】设物品原价格为1，因为，，
，，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知结合n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式，即可求解出答案.
11．（2023·黄浦模拟）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
【分析】以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得 的最小值 .
12．（2023·黄浦模拟）已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意得，
由得，得，所以，
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由已知，结合基本不等式建立关于a的不等式，求出a的范围，然后把所求式子表示为关于a的函数，结合导数与单调性及最值关系可求出 abc的取值范围 .
二、单选题
13．（2023·黄浦模拟）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】直线与直线垂直，
则，解得，
故答案为：B.
【分析】利用直线垂直的性质求出实数的a的值.
14．（2023·黄浦模拟）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
A中事件互斥不对立，A符合题意，
B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，B不符合题意，
C：由B的分析可知互斥且对立，C不符合题意，
D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析，即可得答案.
15．（2023·黄浦模拟）如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（ ）
A．存在某一值．使得 B．存在某一值．使得
C．存在某一值．使得 D．存在某一值，使得
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图所示：
在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则，
A. 假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误；
B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误；
C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误；
D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确，
故答案为：D
【分析】由直线与平面垂直的判定与性质结合反证法思想可判断A、B、C；取时，可判断D.
16．（2023·黄浦模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
三、解答题
17．（2023·黄浦模拟）在中，．
（1）求的值；
（2）若，求的周长和面积．
【答案】（1）解：在中，，又，
则，
则.
（2）解：，又，，
则由正弦定理得，
则的周长为
的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】(1)先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC=sin( A+B )利用正弦的两角和公式求得 的值；
(2)先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得 的周长和面积．
18．（2023·黄浦模拟）如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．
（1）求证：；
（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴，又，则.
（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，
则点E到平面的距离为；
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在正方体中可知 ，进而可证得 ∥平面，再由线面平行的性质定理可得D1C// EF，进而可证得 ；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法可求出点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
19．（2023·黄浦模拟）将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
【答案】（1）解：观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，
35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50，
所以列联表为：
生产标兵 非生产标兵 总计
35周岁及以上组 20 60 80
35周岁以下组 30 50 80
总计 50 110 160
提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，
的观测值，而，
所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.
（2）解：令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，
用样本估计总体知，，，，设，
则由，得，解得，
因此，
所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.
【知识点】独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出2 x 2列联表，求出 的值即可；
(2)利用全概率公式求出P(A) ， 再利用条件概率公式求解即可.
20．（2023·黄浦模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
【答案】（1）解：设双曲线方程为，焦距为，
由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
（2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
设，，因为点、都在双曲线的右支上，
所以，
所以，当且仅当时取等号，即，
当时，所以，
所以轴且 ，
又双曲线的方程为，即，由，解得，
可知，又，所以，
.
（3）证明：设直线的方程为，将它代入，可得，
设，，
可得，，
由，可得，
故，
又、同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，此时，
所以是等腰三角形.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到双曲线的渐近线方程；
(2)设双曲线的方程为 ， ，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
(3) 设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得 是等腰三角形.
21．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数” 的定义依次判断，即可求解；
(2)根据“分割函数”的性质，则 对一切实数恒成立 ，由导数的几何意义和恒成立可得 且对一切实数恒成立， 结合图形即可求解；
(3)利用导数求出函数 极值，则 ，作出其函数与函数 的图象， 设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长 ，结合导数研究函数 的性质即可求解出 的最大值．
上海市黄浦区2023届高三数学二模试卷
一、填空题
1．（2023·黄浦模拟）设集合，则 ．
2．（2023·黄浦模拟）函数的最小正周期为 ．
3．（2023·黄浦模拟）若函数的图像经过点与，则m的值为 ．
4．（2023·黄浦模拟）设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，（为虚数单位），则 .
5．（2020高三上·顺德月考）以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
6．（2023·黄浦模拟）已知m是与4的等差中项，且，则的值为 ．
7．（2023·黄浦模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为 ．
8．（2023·黄浦模拟）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为 ．
9．（2023·黄浦模拟）若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则 ．
10．（2023·黄浦模拟）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为 ．
11．（2023·黄浦模拟）如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ．
12．（2023·黄浦模拟）已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为 ．
二、单选题
13．（2023·黄浦模拟）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·黄浦模拟）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．恰好有一个白球与都是红球
B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球
D．至多有一个白球与至多一个红球
15．（2023·黄浦模拟）如图．与都是等腰直角三角形．其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点．设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是（ ）
A．存在某一值．使得 B．存在某一值．使得
C．存在某一值．使得 D．存在某一值，使得
16．（2023·黄浦模拟）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（ ）
A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题
三、解答题
17．（2023·黄浦模拟）在中，．
（1）求的值；
（2）若，求的周长和面积．
18．（2023·黄浦模拟）如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到，在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点F．
（1）求证：；
（2）若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
19．（2023·黄浦模拟）将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．
附：．
0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
（1）请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：
（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．
20．（2023·黄浦模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．
21．（2023·黄浦模拟）三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．
（1）设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】根据交集含义得，
故答案为：.
【分析】根据交集的定义可得答案.
2．【答案】
【知识点】余弦函数的周期性
【解析】【解答】直接根据余弦函数周期公式得，
故答案为：.
【分析】根据余弦函数周期公式求解可得答案.
3．【答案】81
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意函数的图像经过点与，
则，则
故，
故答案为：81
【分析】 把点(2， 16)代入函数解析式求出a的值，再把(3， m )代入即可求出m的值.
4．【答案】-5
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由题意得：所以
【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可求出答案.
5．【答案】
【知识点】圆的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线 的焦点 ，准线方程为： ，
∴以抛物线 的焦点为圆心，并且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，
∴圆的方程为； ，
故答案为： .
【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，确定圆心和半径，从而求出圆的标准方程.
6．【答案】40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意得，解得，
则二项式的通项为，
令则有，故，
故答案为：40.
【分析】 先利用等差中项的定义建立方程求出m的，代入二项式，再根据二项式定理求出展开式中含x3的系数，进而可求解出 的值 .
7．【答案】-2
【知识点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】函数是定义在上的奇函数，且当时，，而，
于是，解得，
所以实数a的值为-2.
故答案为：-2
【分析】 由奇函数的性质，可知f(-ln2)=4，代入已知条件中，根据指数和对数的运算法则，即可求解出实数a的值 .
8．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】因为圆柱的底面半径与高都为，所以挖去的圆雉的母线长为，半径为10，
则圆锥的侧面积为，
又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，
所以学具的表面积为.
故答案为：
【分析】 先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解出几何体的表面积.
9．【答案】
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】由题意得，
则，
当时，，
函数在区间上是严格减函数，
故，即且，
则，而，故，
故答案为：
【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出的值.
10．【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】设物品原价格为1，因为，，
，，
故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，
5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知结合n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式，即可求解出答案.
11．【答案】4
【知识点】二次函数的性质；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由在直角梯形中．，
则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，
故，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4
【分析】以A为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得 的最小值 .
12．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意得，
由得，得，所以，
令，
，
当时，，此时在和上单调递增，
当时，此时在单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
又因为，
则的取值范围为.
故答案为：.
【分析】 由已知，结合基本不等式建立关于a的不等式，求出a的范围，然后把所求式子表示为关于a的函数，结合导数与单调性及最值关系可求出 abc的取值范围 .
13．【答案】B
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】直线与直线垂直，
则，解得，
故答案为：B.
【分析】利用直线垂直的性质求出实数的a的值.
14．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，
表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，
A中事件互斥不对立，A符合题意，
B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，B不符合题意，
C：由B的分析可知互斥且对立，C不符合题意，
D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，D不符合题意，
故答案为：A．
【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析，即可得答案.
15．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图所示：
在等腰三角形中，设，则，E为BD的中点，连接AE，CE，则，
A. 假设存在某一值．使得，又，，则平面，则，又，则，矛盾，故错误；
B.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，即，又，，则平面，则平面平面，矛盾，故错误；
C.假设存在某一值．使得，又，则平面，则，在中，，F为AC的中点，因为为非等腰三角形，所以不成立，故错误；
D.假设存在某一值，使得，又，则平面，则，又，则平面，因为，则平面平面，所以，故正确，
故答案为：D
【分析】由直线与平面垂直的判定与性质结合反证法思想可判断A、B、C；取时，可判断D.
16．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【解答】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意，
当时，，
函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，
存在，使得，取不小于的正整数，则有，
即，不符合题意，综上得①为假命题；
等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即，
，于是，
依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是，
因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题，
判断正确的是①为假命题，②为真命题.
故答案为：C
【分析】利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②，可得答案.
17．【答案】（1）解：在中，，又，
则，
则.
（2）解：，又，，
则由正弦定理得，
则的周长为
的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】(1)先利用同角三角函数的基本关系求得sinA和sinB的值，进而根据sinC=sin( A+B )利用正弦的两角和公式求得 的值；
(2)先利用正弦定理求得AC，进而利用三角形面积公式求得 的周长和面积．
18．【答案】（1）证明：∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴，又，则.
（2）解：以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，取，
则点E到平面的距离为；
设与平面所成角为，
则，
则与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在正方体中可知 ，进而可证得 ∥平面，再由线面平行的性质定理可得D1C// EF，进而可证得 ；
(2) 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面的法向量，利用向量法可求出点E到平面的距离以及与平面所成角的大小．
19．【答案】（1）解：观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为60，
35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为，
因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为，绩效分数少于80的人数为50，
所以列联表为：
生产标兵 非生产标兵 总计
35周岁及以上组 20 60 80
35周岁以下组 30 50 80
总计 50 110 160
提出零假设：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平，
的观测值，而，
所以没有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.
（2）解：令事件表示“在35周岁以下组”，表示“是生产标兵”，
用样本估计总体知，，，，设，
则由，得，解得，
因此，
所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为.
【知识点】独立性检验的基本思想；条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出2 x 2列联表，求出 的值即可；
(2)利用全概率公式求出P(A) ， 再利用条件概率公式求解即可.
20．【答案】（1）解：设双曲线方程为，焦距为，
由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
（2）解：由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
设，，因为点、都在双曲线的右支上，
所以，
所以，当且仅当时取等号，即，
当时，所以，
所以轴且 ，
又双曲线的方程为，即，由，解得，
可知，又，所以，
.
（3）证明：设直线的方程为，将它代入，可得，
设，，
可得，，
由，可得，
故，
又、同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的倍，此时，
所以是等腰三角形.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到双曲线的渐近线方程；
(2)设双曲线的方程为 ， ，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；
(3) 设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得 是等腰三角形.
21．【答案】（1）解：因为恒成立，且恒成立，
所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”.
又因为，当与时，其值分别为与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”.
（2）解：设是与在上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，由，
当时，它的值为，可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为.
（3）解：关于函数，令，可得，
当与时，；当与时，.
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示.
由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，
并且切点横坐标∪，此时切线方程为，
即，
设直线与的图象交于点，
则由可得，
所以
，
令，
(仅当时，)，
所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为，
所以的最大值为.
【知识点】归纳推理；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数” 的定义依次判断，即可求解；
(2)根据“分割函数”的性质，则 对一切实数恒成立 ，由导数的几何意义和恒成立可得 且对一切实数恒成立， 结合图形即可求解；
(3)利用导数求出函数 极值，则 ，作出其函数与函数 的图象， 设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长 ，结合导数研究函数 的性质即可求解出 的最大值．
