2022-2023学年山西省忻州实验中学七年级（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 不等式的解在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列图形是四所大学校徽的部分图案，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列对的判断，不正确的是( )
A. 若：：：：，则是直角三角形
B. 若：：：：，则是直角三角形
C. 若，，则是等边三角形
D. 若，，则
5. 如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点在边上的落点记为点，那么的度数为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，则点的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
7. 若不等式组的解集为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，则满足不等式组的整数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 无数个
9. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
10. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法：是的平分线；；点在的中垂线上；：：其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 不等式的解集为______ ．
12. 如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是______ ．
13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到点的对应点是点，点的对应点是点，连接，若，则的大小是______．
14. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么______
15. 如图，在、轴上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点若的坐标为，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．
17. 本小题分
如图，中，，为上一点，且到、两点的距离相等．
尺规作图：作出点的位置保留作图痕迹；
连接，求证：．
18. 本小题分
如图，图，图的网格均由边长为的小正方形组成，图是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．
图中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是______ 对称图形填“轴”或“中心”．
请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图，的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：
每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；
图中所设计的图案不含方格纸必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图中所设计的图案不含方格纸必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．
19. 本小题分
如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，证明：
．
．
20. 本小题分
阅读理解
教材呈现：如图是某数学教材的部分内容
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任意一点，连接，，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点．
求证：．
请写出完整的证明过程．
请根据所给教材内容，结合图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为，则的长为______ ．
如图，在中，，，，分别是，上任意一点，若，，则的最小值是______ ．
21. 本小题分
年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．十二月售出了“冰墩墩”个和“雪容融”个，销售总额为元．
求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为元个和元个．进入年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的倍，且购进总价不超过元．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
22. 本小题分
综合与探究
问题情境：数学课上，老师利用两块含毅角的全等三角尺进行图形变换操作探究其中，，．
操作探究：
将两个三角尺按如图的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点共线，点，在点异侧，求线段的长；
操作探究
在图的基础上进行了如下的操作：三角尺保持不动，将三角尺绕点顺时针方向旋转角度，射线和交于点，如图，认真分析旋转的过程中，解决下列问题：
在旋转过程中，当 ______ 时，；
连接，，求证：．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，点是直线上一点．
求直线和直线的函数表达式；
点是轴上的一个动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的纵坐标为______；
点是直线上的一个动点，在轴上找一个点，连接，，，当是以为底边的等腰直角三角形时，请直接写出的面积为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：不等式，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
数轴表示如下：
．
故选：．
不等式移项，合并同类项，把系数化为求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法及数轴上解集的表示方法是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：中心对称图形是在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称。
选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
本题主要考查了中心对称图形，寻找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：，
；；，．
故选：．
利用不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
4.【答案】
【解析】解：、若：：：：，则，，，
所以是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项正确，不符合题意；
、若，，则，，
所以是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；
、若，，
则，，故此选项错误，符合题意．
故选：．
根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．
此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据折叠的性质可得，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据折叠的性质可得，，由，可推出，最后根据三角形外角的性质即可求解．
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意证明是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：点的对应点为，
平移规律为向右个单位，向上个单位，
点，
对应点的横坐标为，
纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据点、的坐标确定出平移规律，然后求出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，观察图形以及点的坐标确定出平移规律是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：不等式组的解集为，根据同小取小可得，
，
的取值范围是，
故选：．
根据不等式的解集的计算方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的求法是解集本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知，当时，，即关于的不等式组的解集是．
是整数，
的值有、，共个．
故选：．
由题意可知，时，根据图象得出当时，，又时，，从而得出关于的不等式的解集．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及一元一次不等式组的整数解，解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想．
9.【答案】
【解析】解：线段，线段的垂直平分线的交点为点，故点为旋转中心．
故选：．
根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
本题考查旋转的性质，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
由图可知：是的平分线，故正确，
，
，
，，故正确，
点在的中垂线上，故正确；
，
：：，故错误，
故选：．
根据角平分线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
则，
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
，
平分，，，
．
故答案为：．
过点作于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：将绕点顺时针旋转后得到的，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可知是等腰直角三角形，再利用三角形外角的性质可得．
本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
利用折叠的性质得出，，进而求出的度数，从而可求得的度数，即可求的度数．
【解答】
解：将长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】
此题主要考查了折叠的性质，根据已知得出是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题目尺规作图可知，交点是角平分线上的一点，
点在第一象限，
点的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标角平分线性质，即，
得，
故答案为：．
根据题目中尺规作图可知，点在角平分线上，所以点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出的值．
本题考查了角平分线尺规作图以及平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标特征，关键是熟练掌握平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标特征．
16.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为，
这个不等式组的整数解是 ，．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：如图，点为所作；
证明：，
，
，
，
，
．
【解析】作的垂直平分线交于点；
先利用得到，则可证明，然后根据等腰三角形的判定方法得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
18.【答案】中心
【解析】解：图中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形．
故答案为：中心；
如图是轴对称图形而不是中心对称图形；
图既是轴对称图形，又是中心对称图形．
利用中心对称图形的意义得出答案即可；
每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；
所设计的图案不含方格纸必须是中心对称图形或轴对称图形画出图．
本题考查利用旋转或者轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按照要求作出图形即可．
19.【答案】证明：，是的平分线，，
，
在与中，
，
≌，
；
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】通过证明≌，即可得出结论；
通过证明≌，得，再进行等量代换即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
理由：如图中，，
，
在和中，
，
≌，
．
的周长为，
，
垂直平分线段，垂直平分线段，
，，
．
故答案为：；
过点作，垂足为点，交于点，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，，
的面积，
，
，
故答案为：．
根据“”证明≌即可；
根据线段垂直平分线的性质定理证明，，那么的周长就转化为的长，
根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，所以想到过点作，垂足为点，交于点，此时，的值最小．
本题属于几何变换综合题，考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
21.【答案】解：设“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元，
则，
解方程组得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价为元；
设“冰墩墩”购进个，则“雪容融”玩具为个，一月份销售利润为元．
则，
解得：，
由题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，，
答：冰墩墩”购进个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为元．
【解析】分别设出冰墩墩和雪容融的销售单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．
设“冰墩墩”购进个，列出不等式组，求出的取值范围，根据一次函数的性质求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】
【解析】解：，，．
，，
；
解：，，
当时，，此时．
故答案为：；
证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
解直角三角形分别作出，即可；
利用旋转变换的性质判断即可；
利用全等三角形的性质证明即可．
本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23.【答案】或或
【解析】解：设直线的解析式为，
，
，
；
设直线的解析式为，
，
，
；
，，
，
当时，则，
或；
当时，中点的纵坐标为，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或或，
故答案为：或或；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
由待定系数法求函数解析式即可；
分两种情况：当时，则；当时，；
过点作轴交于点，过点作轴交于点，则有≌，设，求得，再将点代入直线的解析式可得求得，则可求，，再由，即可求解．
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
第1页，共1页
