2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区觅渡中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各图是选自历届冬奥会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上的一面是6点
B．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．购买一张彩票，中奖
D．如果a、b都是实数，那么a b＝b a
3．（2分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．订购校服时了解学生衣服的尺寸
B．考察一批炮弹的杀伤半径
C．疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测
D．对登机的旅客进行安全检查
4．（2分）下列式子中：，x2+5x，x，，，其中分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2分）下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2分）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2分）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
9．（2分）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 ．（填“甲、乙或丙”）
10．（2分）要使分式有意义，则字母x的取值范围是 ．
11．（2分）分式和的最简公分母是 ．
12．（2分）当x＝ 时，分式的值为零．
13．（2分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2cm，则矩形对角线BD的长为 cm．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝80°，则∠FAC＝ ．
15．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ．
16．（2分）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标的所有可能的值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（8分）计算：
；
．
18．（8分）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
19．（8分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝4．
20．（6分）12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开讲啦！神舟十号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员演示微重力环境下细胞学实验、物体运动、液体表面张力等现象，并讲解了实验背后的科学原理．课堂中展示了四个实验：A．浮力消失实验、B．水膜张力实验、C．水球光学实验、D．泡腾片实验．某校九年级数学兴趣小组成员随机抽取了本年级的部分同学，调查他们在这四个实验中最感兴趣的一个，并绘制了以下两幅不完整的统计图，如图所示：
请你根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中“A”所在扇形的圆心角的度数为 °．C所占的百分比为 ．
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查估计该校九年级共有1200名学生中对B．水膜张力实验最感兴趣的学生人数？
21．（6分）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296
（1）完成上述表格：a＝ ，b＝ ；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 ；（结果都精确到0.1）
（3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是 ．（用“＞”连接）
22．（6分）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为180万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前2年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
23．（6分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝4，EF＝2．求 ABCD的周长．
24．（6分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
25．（6分）数学活动课上，陈老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC
折出一个以∠A为内角的菱形吗？
悦悦的折法如下：
第一步，折出∠A的平分线，交BC于点D．
第二步，折出AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F，把纸片展平．
第三步，折出DE、DF，得到四边形AEDF．
请根据悦悦的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形．
26．（8分）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ；（填序号）
①平行四边形；②矩形； ③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
深入研究
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区觅渡中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列各图是选自历届冬奥会会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（2分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上的一面是6点
B．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．购买一张彩票，中奖
D．如果a、b都是实数，那么a b＝b a
【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上的一面是6点，是随机事件，故A不符合题意；
B、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故B不符合题意；
C、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故C不符合题意；
D、如果a、b都是实数，那么a b＝b a是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．订购校服时了解学生衣服的尺寸
B．考察一批炮弹的杀伤半径
C．疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测
D．对登机的旅客进行安全检查
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．订购校服时了解学生衣服的尺寸，适合全面调查，不符合题意；
B．考察一批炮弹的杀伤半径，适合抽样调查，符合题意；
C．疫情期间了解全校师生是否完成核酸检测，适合全面调查，不符合题意；
D．对登机的旅客进行安全检查，适合全面调查，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（2分）下列式子中：，x2+5x，x，，，其中分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义即可得出答案．
【解答】解：分式有，，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．
5．（2分）下列各式中，化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：A、，化简错误，选项A不符合题意；
B、，化简错误，选项B不符合题意；
C、分子分母中不含有公因式，不能约分化简，选项C不符合题意；
D、，化简正确，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
6．（2分）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先把分式方程去分母转化为整式方程；根据方程有增根得到x﹣3＝0，将x的值代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
x﹣1＝m，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，即增根是x＝3，
把x＝3代入整式方程，得m＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是将分式方程转换为整式方程．
7．（2分）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（ ）
A．只有甲、乙才是 B．只有甲、丙才是
C．只有乙、丙才是 D．甲、乙、丙都是
【分析】方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB＝OD，OA＝OC，则NO＝OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙，证△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，则∠ANM＝∠CMN，证出AN∥CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
8．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
【分析】证明△ABE≌△DBF（ASA），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）
9．（2分）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是 丙 ．（填“甲、乙或丙”）
【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．
【解答】解：甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是丙，
故答案为：丙．
【点评】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
10．（2分）要使分式有意义，则字母x的取值范围是 x≠﹣4 ．
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+4≠0，
解得：x≠﹣4，
故答案为：x≠﹣4．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
11．（2分）分式和的最简公分母是 x（x﹣2） ．
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此解答即可．
【解答】解：＝，则分式，的分母分别是（x﹣2）、x（x﹣2），所以它们的最简公分母是x（x﹣2）．
故答案为：x（x﹣2）．
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
12．（2分）当x＝ 3 时，分式的值为零．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：分式的值为零，即x2﹣9＝0，
∵x≠﹣3，
∴x＝3．
故当x＝3时，分式的值为零．
故答案为3．
【点评】由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．
13．（2分）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2cm，则矩形对角线BD的长为 4 cm．
【分析】由∠AOD＝120°可知∠AOB＝60°，而矩形的对角线平分且相等得OA＝OB，所以△AOB是等边三角形，所以OA＝AB＝2cm，故BD＝AC＝2OA＝4cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2cm，
∴AC＝2OA＝4cm，
∴BD＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，关键是结合图形求出△AOB是等边三角形，进而求解．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝80°，则∠FAC＝ 10° ．
【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题．
【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝80°，
∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝40°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BCA＝40°，
∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝50°，
∴∠FAB＝50°，
∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝50°﹣40°＝10°，
故答案为：10°．
【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 10 ．
【分析】根据勾股定理得到BC＝＝5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE＝BC＝2.5，根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，于是得到结论．
【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，AF＝CF，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴AE＝CE＝BC＝2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，
同理证得AF＝CF＝2.5，
∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
16．（2分）在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M、N分别是x轴、y轴上的点，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的横坐标的所有可能的值是 ﹣7，﹣3，3 ．
【分析】根据“一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”，画出图形，得出点M的横坐标即可．
【解答】解：如图所示：
当AB平行且等于N1M1时，四边形ABM1N1是平行四边形；
当AB平行且等于N2M2时，四边形ABN2M2是平行四边形；
当AB为对角线时，四边形AN3BM3是平行四边形．
故符合题意的有3个点，点M的横坐标分别为﹣7，﹣3，3．
故答案为：﹣7，﹣3，3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质；结合AB的长分别确定M，N的位置是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分）
17．（8分）计算：
；
．
【分析】（1）直接利用分式的减法运算的法则进行求解，再化简即可；
（2）把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+b；
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
18．（8分）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，
移项合并得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．（8分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x＝4．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2+）÷
＝[+]
＝
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（6分）12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开讲啦！神舟十号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员演示微重力环境下细胞学实验、物体运动、液体表面张力等现象，并讲解了实验背后的科学原理．课堂中展示了四个实验：A．浮力消失实验、B．水膜张力实验、C．水球光学实验、D．泡腾片实验．某校九年级数学兴趣小组成员随机抽取了本年级的部分同学，调查他们在这四个实验中最感兴趣的一个，并绘制了以下两幅不完整的统计图，如图所示：
请你根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 160 人，扇形统计图中“A”所在扇形的圆心角的度数为 54 °．C所占的百分比为 20% ．
（2）请补全条形统计图；
（3）根据本次调查估计该校九年级共有1200名学生中对B．水膜张力实验最感兴趣的学生人数？
【分析】（1）由D实验内容人数及其所占百分比可得总人数；用360°乘以A人数所占比例即可得出“A”所在扇形的圆心角的度数；用C人数除以总人数即可得出C所占的百分；
（2）根据四个实验人数和等于总人数求出B对应人数，即可补全图形；
（3）用总人数乘以样本中B实验人数所占比例．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为：48÷30%＝160（人）；
扇形统计图中“A”所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝54°；
C所占的百分比为：＝20%，
故答案为：160；54；20%；
（2）B对应人数为：160﹣24﹣32﹣48＝56（人），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝420（人），
答：水膜张力实验最感兴趣的学生人数约420人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（6分）某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，如表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296
（1）完成上述表格：a＝ 0.305 ，b＝ 148 ；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近 0.3 ，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是 0.3 ；（结果都精确到0.1）
（3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为P1，得到奖品“贴纸”的概率记为P2，得到“谢谢参与”的概率记为P3，则P1、P2、P3的大小关系是 P2＞P3＞P1 ．（用“＞”连接）
【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可；
（2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可；
（3）利用概率公式分别求得P1、P2、P3的值后比较大小即可．
【解答】解：（1）a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148；
故答案为：0.305；148；
（2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3；
故答案为：0.3，0.3；
（3）P1＝＝；P2＝＝；P3＝，
∴P2＞P1＞P3，
故答案为：P2＞P3＞P1．
【点评】本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（6分）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为180万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前2年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前2年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．
【解答】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
＝2，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，
则2x＝2×45＝90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．
23．（6分）如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝4，EF＝2．求 ABCD的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质证出∠BAE＝∠AEB，∠DFC＝∠CDF，得出AB＝BE，CD＝CF，则可得出结论；
（2）求出BC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，
∴∠BAE＝∠EAD，∠ADF＝∠CDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∴∠BAE＝∠AEB，∠DFC＝∠CDF，
∴AB＝BE，CD＝CF，
∴BE＝CF；
（2）解：∵AB＝CD＝4，
∴AB＝BE＝CF＝4，
∵BE+CF﹣EF＝BC，EF＝2，
∴BC＝2×4﹣2＝6，
∴ ABCD的周长为2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20．
【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
24．（6分）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，且AD＝BC，根据点C是BE的中点，得到BC＝CE，等量代换得AD＝CE，又因为AD∥CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵AB＝AE，
∴DC＝AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，属于常考题，牢记矩形的判定定理是解题的关键．
25．（6分）数学活动课上，陈老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC
折出一个以∠A为内角的菱形吗？
悦悦的折法如下：
第一步，折出∠A的平分线，交BC于点D．
第二步，折出AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F，把纸片展平．
第三步，折出DE、DF，得到四边形AEDF．
请根据悦悦的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF是菱形．
【分析】根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】解：图形如图所示：
理由：∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF 是 AD 的垂直平分线，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴ED∥AF．
同理AE∥FD，
∴四边形 AEDF是平行四边形，
又EA＝ED，
∴四边形 AEDF 是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（8分）概念提出
若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 ③④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形； ③菱形；④正方形．
初步应用
（2）在绝妙四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BAD＝80°，求∠BCD的度数．
深入研究
（3）在巧妙四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠A＝90°，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出∠BCD的度数．
【分析】概念提出
（1）由平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质可求解；
初步应用
（2）由线段垂直平分线的性质可得AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，即可求∠BCD的度数；
深入研究
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和“绝妙四边形的定义可求解．
【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是：③④；
【初步应用】
（2）∵AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，BC＝CD，AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵∠BAD＝80°，
∴∠BAC＝∠DAC＝40，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝70°＝∠BCA，
∴∠BCD＝140°，
如图，∵四边形ABCD是绝妙四边形，
，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∵AC垂直平分BD，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝80°，
综上所述，∠BCD＝140°或80°；
【深入研究】
（3）∵AC是四边形ABCD的巧分线，
∴△ACD和△ABC是等腰三角形，
①当AC＝BC时，如图，过C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠HAD＝∠AHC＝∠G＝90°
∴四边形AHCG是矩形，
AH＝CG＝AB＝CD，
∴∠CDG＝30°，
∴∠ADC＝150°
∴∠DAC＝∠DCA＝15°
∵∠DAB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝75°，且∠ACB＝30°
∴∠BCD＝30°+15°＝45°；
②当AC＝AB时，如图
∵AC＝AB＝AD＝CD
∴△ACD是等边三角形，
∠CAD＝∠ACD＝60°
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵ AB＝AC
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝75°+60°＝135°；
③当AB＝BC时，如图
∵AB＝AD＝CD＝BC
∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形
∴∠BCD＝90°
综上所述：∠BCD的度数是45°或135°或90°．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的性质，理解新定义并运用是本题的关键．
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