2023年广东省东莞重点中学中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）神舟十五号载人飞船，搭载3名航天员于2022年11月29日成功发射，它的飞行速度大约是474000米/分，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4.74×105 B．4.74×106 C．47.4×104 D．0.474×106
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a4）3＝a7 B．（﹣a2）3＝a6
C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5 a5＝﹣a10
5．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
6．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
7．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
9．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 8 7 9 14 12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论，其中正确的有（ ）
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＞0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（4分）点A（1，﹣5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ．
13．（4分）因式分解：2a2﹣8＝ ．
14．（4分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为85分，方差分别为S甲2＝0.70、S乙2＝1.82，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．
15．（4分）若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝ ．
16．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝70°，则∠DCE的度数为 ．
17．（4分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）计算：﹣2sin30°
19．（6分）化简：（+1）÷．
20．（6分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠C＝35°，则∠BAD＝ ．
四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
21．（10分）某中学为了创建“书香校园”，计划购买书架放置图书．在购买时发现：A种书架的单价比B种书架的单价贵50元，用1000元购买A种书架的个数与用800元购买B种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A、B两种书架共20个，且购买的总费用不超过4500元，求最多可以购买多少个A种书架？
22．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
五、解答题（三）：本大题共1小题，每小题12分，共24分.
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD∥CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：BD BF＝AD CF；
（3）若，OC＝5，求tan∠ABE的值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，
故选：B．
2．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的正面看，共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1，
故选：D．
3．（3分）神舟十五号载人飞船，搭载3名航天员于2022年11月29日成功发射，它的飞行速度大约是474000米/分，这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．4.74×105 B．4.74×106 C．47.4×104 D．0.474×106
【解答】解：474000＝4.74×105．
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a4）3＝a7 B．（﹣a2）3＝a6
C．（2ab）3＝6a3b3 D．﹣a5 a5＝﹣a10
【解答】解：A、（a4）3＝a12，故A错误，不符合题意；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误，不符合题意；
C、（2ab）3＝8a3b3，故C错误，不符合题意；
D、﹣a5 a5＝﹣a10，故D正确，符合题意．
故选：D．
5．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．4
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
配方，得x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
即b＝4，
故选：D．
6．（3分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为（ ）
A．36πcm2 B．24πcm2 C．16πcm2 D．12πcm2
【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×4×6＝24π（cm2）．
故选：B．
7．（3分）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，
故选：B．
8．（3分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
9．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 8 7 9 14 12
则本次调查中视力的众数和中位数分别是（ ）
A．4.9和4.8 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.9
【解答】解：由统计表可知众数为4.9；
共有：8+7+9+14+12＝50人，中位数应为第25与第26个的平均数，
而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9．
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论，其中正确的有（ ）
①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＞0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＝4a﹣2（﹣2a）+c＝8a+c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝﹣3是ax2+bx+c＝n（a≠0）的一个根，
∵对称轴是直线x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11．（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【解答】解：要使代数式有意义，只需x﹣2≠0，
∴x≠2，
则实数x的取值范围是x≠2，
故答案为：x≠2．
12．（4分）点A（1，﹣5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 （﹣1，5） ．
【解答】解：∵点A（1，﹣5）关于原点对称点为点B，
∴点B的坐标为（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
13．（4分）因式分解：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
14．（4分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为85分，方差分别为S甲2＝0.70、S乙2＝1.82，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学．
【解答】解：∵S甲2＝0.70，S乙2＝1.82，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学，
故答案为：甲．
15．（4分）若实数x1，x2分别满足x2﹣4x+3＝0的两个根，则＝ ．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝3，
∴原式＝
＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝70°，则∠DCE的度数为 70° ．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝70°，
故答案为：70°．
17．（4分）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝ 8 ．
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S矩形PCOD＝k，S△AOC＝S△BOD＝＝，
∴四边形PAOB的面积＝S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD＝k﹣﹣＝5．
解得k＝8．
故答案是：8．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
18．（6分）计算：﹣2sin30°
【解答】解：﹣2sin30°
＝1+（﹣1）+3﹣2×
＝3﹣1
＝2．
19．（6分）化简：（+1）÷．
【解答】解：原式＝．
20．（6分）如图，已知△ABC，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：过点A作AD⊥BC，垂足为D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠C＝35°，则∠BAD＝ 35° ．
【解答】（1）解：如图所示：AD即为所求；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠CDA＝90°，
在Rt△CAD中，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠C＝∠BAD＝35°．
故答案为：35°．
四、解答题（二）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
21．（10分）某中学为了创建“书香校园”，计划购买书架放置图书．在购买时发现：A种书架的单价比B种书架的单价贵50元，用1000元购买A种书架的个数与用800元购买B种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买A、B两种书架共20个，且购买的总费用不超过4500元，求最多可以购买多少个A种书架？
【解答】解：（1）设A种书架的单价是x元，则B种书架的单价是（x﹣50）元，
根据题意得：＝，
解得x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，
∴x﹣50＝250﹣50＝200（元），
答：A种书架的单价是250元，则B种书架的单价是200元；
（2）设购买A种书架m个，则购买B种书架（20﹣m）个，
∵购买的总费用不超过4500元，
∴250m+200（20﹣m）≤4500，
解得m≤10，
答：最多可以购买10个A种书架．
22．（10分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”．为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 72 度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 560人 ；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（名），C组人数为40﹣（4+16+12）＝8（名），
补全图形如下：
故答案为：40；
（2）C组所对应的扇形圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400×＝560（人），
故答案为：560人；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
五、解答题（三）：本大题共1小题，每小题12分，共24分.
23．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，⊙O的弦AD∥CO，连接DB交CO于点F，延长CO与⊙O交于点E，连接EB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：BD BF＝AD CF；
（3）若，OC＝5，求tan∠ABE的值．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵BC与⊙O相切，
∴∠OBC＝90°，
∵DO＝AO，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵AD∥CO，
∴∠DAB＝∠COB，∠DOC＝∠ADO，
∴∠DOC＝∠COB，
∵DO＝BO，CO＝CO，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD∥CO，
∴∠ADB＝∠OFB＝90°，
∴∠CFB＝180°﹣∠OFB＝90°，
∴∠ADB＝∠CFB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠OBC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BFC，
∴＝，
∴BF BD＝AD CF；
（3）解：∵OA＝OB，BF＝DF，
OF是△ABD的中位线，
∴OF＝AD＝，
∵OC＝5，
∴CF＝OC﹣OF＝5﹣＝，
∵2BF2＝AD CF；
∴2BF2＝×，
∴BF＝，
在Rt△OBF中，OB＝＝＝3，
∴OE＝OB＝3，
∴EF＝OE+OF＝3+＝，
在Rt△BFE中，tan∠FEB＝＝＝，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠FEB，
∴tan∠ABE＝tan∠FEB＝，
∴tan∠ABE的值为．
