景胜中学 2022-2023 学年度第二学期高一年级月考（4 月）
数学试题（B卷）
一、单选题(共 40 分
sin A
1．(本题 5分)在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c. （ ）
sin B
b a a c
A． B． C． D．
a b c a
2．(本题 5分) 已知 AB 1, 1 ,C 0,1 ，若CD 2 AB，则点D的坐标为（ ）
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(－2，1) D．(2，－1)
3．(本题 5分)在 ABC中，D、 E、 F 分别为 AB、 BC、CA的中点，则DE DF等
于（ ）
A． EF B． 2EF C． CD D．CD
4．(本题 5分)四边形 ABCD中，若 AB / /CD，则四边形 ABCD是（ ）
A．平行四边形 B．梯形
C．平行四边形或梯形 D．矩形
5．(本题 5分)如图，将 2个全等的三角板拼成一个平面四边形 ABCD，若 AB 1，AC 2，
AD CD，点 P为 AB边的中点，连接CP，DP，则DP·CP （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
z z 1 i 2 i6．(本题 5分)已知复数 满足 ，则 z （ ）
1 i 2 i
3 4 4 3
A． i B． i
5 5 5 5
3 4 i 4 3C． D． i
5 5 5 5
7．(本题 5分)某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形
ABCD，AB 2 3，BC 4（单位：百米），CD AD， ADC 60 ，且拟在A、C两
点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪 ABCD的面积最大时，AC
（ ）
试卷第 1页，共 4页
A． 2 7百米 B． 2 10 百米 C． 2 13百米 D． 2 19 百米
8．(本题 5分)已知 AB是半径为 2的圆M 的一条直径，四边形 ABCD是圆M 内接四边
形， CMD 120 ，若 P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则 PA PB的取值范围
（ ）
A． 0,3 B． 1,3 C． 3,0 D． 3,3
二、多选题(共 20 分
9．(本题 5分)在平面直角坐标系中，点O为原点，已知 A 3, 4 ，B 5, 12 ，
OC OA OB，以下说法中正确的是（ ）
A． AB 8,8 B．OC 8,8
C． AB 8 2 D． AB OB 15, 48
10．(本题 5分)已知向量a ( 1,2),b (2,3)，则（ ）
A． a b 4 B． (a b)2 26 C． (a b) (a b) 8D． (a b)2 10
11．(本题 5分)已知向量 a 2, 1 ，b 3, 2 ， c 1,1 ，则（ ）
A ． a∥b B． a b c
C a ． b c D． c 5a 3b
12．(本题 5分)中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三
边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小
斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写
2 2 2 21 2
成公式，即 S c a2
c a b
．现有△ ABC满足4 2 sin A : sin B : sinC 2 :3 : 7 ，
且 S△ABC 6 3，请判断下列命题正确的是（ ）
A．△ ABC周长为5 7 B．C 3
C 2 21 19．△ ABC的外接圆半径为 D．△ ABC中线CD的长为
3 2
试卷第 2页，共 4页
三、填空题(共 20 分
r
13．(本题 5分)已知向量 a 2,1 ，b 1,2 ， a// 2a kb ，则 k ______．
14．(本题 5分)一直棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为
___________cm .
15．(本题 5分)已知向量m 1 a,2 a ,n 3 a,4 a ，若 m n / /m，则实数 a＝
___.
16．(本题 5分)若正四棱锥的侧棱长为 3，侧面与底面所成的角是 45°，则该正四棱锥
的体积是________ .
四、解答题(共 70 分
17．(本题 10分)已知圆锥的底面半径为 1，高为 3，求圆锥的表面积.
18．(本题 12分)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为C1D1， B1C1 的中点．
（1）求证： B，D， E， F 四点共面；
（2）若 AC I BD P， A1C1 I EF Q， AC1与平面 EFBD交于点 R，求证： P,Q,R三
点共线．
19．(本题 12 分)已知向量 a,b的夹角为120 ，且 | a | 1,| b | 2,c ma 3b .
(1)求 | 2a b |；
(2) b c 当 时，求实数 m.
20．( 12 2 2本题 分)在复平面内，若复数 z m m 2 m 3m 2 i(m R)对应的点在
（1）虚轴上；
（2）实轴的负半轴上，分别求 z的值.
21．(本题 12分) ABC的三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c且
bcosA 3bsinA c a .
试卷第 3页，共 4页
(1)求 B；
(2)若b 2， ABC的面积为 3，求 a，c.
a c sin B
22．(本题 12分)在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
b c sin A sinC
（1）求角 A的大小；
（2）若 a 2，求 ABC周长的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
景胜中学 2022-2023 学年度第二学期高一年级月考（4 月）
数学试题（B卷）参考答案
1．B
【分析】结合正弦定理可直接求出结果.
sin A a
【详解】结合正弦定理可知： ，
sin B b
故选：B.
2．D
D x, y 【分析】设 ，根据平面向量的坐标运算得出CD x, y 1 ，再根据CD 2 AB，列
出方程组可求出 x, y，从而得出点D的坐标.
【详解】解：设D x, y ，则CD x, y 1 ，2 AB 2, 2 ，
根据CD 2 AB，得 x, y 1 2, 2 ，
x 2 x 2
即 ，解得： ，
y 1 2
y 1
所以点D的坐标为(2,-1).
故选：D.
3．C
【分析】分析可知四边形CEDF为平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则可得结果.
【详解】如下图所示：
因为D、 E、 F 分别为 AB、 BC、CA的中点，则DE //AC，DF //BC，
故四边形CEDF为平行四边形，所以，DE DF DC CD .
故选：C.
答案第 1页，共 10页
4．C
【分析】根据题意，结合平行四边和梯形的判定即可求解.
【详解】由 AB / /CD，且 AB 与 CD 的大小未知，得四边形 ABCD是平行四边形或梯形.
故选：C.
5．A
【分析】连接DB，由对称性知 AC BD，以DB所在边为 x轴， AC所在边为 y轴，建立
平面直角坐标系，求出各点坐标，再和，向量坐标，由数量积的坐标运算计算．
【详解】连接DB，由对称性知 AC BD，
以DB所在边为 x轴， AC所在边为 y轴，建立平面直角坐标系，如图，
1 3 3 2 BC
2
BC 3 3 1 ， OB ， BC CO CA ，则 OC ， OA ，
2 2 AC 2 2
C 0, 3
3 3 1 D 3 3 1
3 7
则 ，2
, 0 ， P , ，所以DP CP , , 1． 2 4 4 4 4
4 4
故选：A．
6．D
【分析】根据复数运算法则，准确运算，即可求解.
1 i 1 i 1 i i, 2 i 2 i 2 i 3 4i【详解】由题意，复数 1 i 1 i 1 i 2 i 2 i 2 i 5 ，
z 1 i 2 i 3 4 4 3因为 ，即 z ( i) i，所以 z i .
1 i 2 i 5 5 5 5
故选：D.
7．C
答案第 2页，共 10页
【分析】先求出 AC，再由 SABCD S ABC S DAC ，结合三角形面积公式与三角恒等变换转化
为三角函数的最值即可
【详解】
设 ABC , 0 ，
2
在 ABC中， AC 2 42 2 3 2 4 2 3 cos 28 16 3 cos ，
由CD AD， ADC 60 ，
所以 ABC为等边三角形，
S S S 1 3 2ABCD ABC DAC 4 2 3 sin AC2 4
4 3 sin 3 28 16 3 cos 7 3 8 3 sin 4 3
当
5
时，草坪 ABCD的面积最大，此时
6 AC 28 24 2 13
，
故选：C
8．C
2
【分析】求出 MP 的取值范围，可得出 PA PB PM 4，即可求得结果.
【详解】由于 P在线段CD上（端点C、D除外）运动，且 CMD 120 ，
当MP AB 时， MP 取最小值，且 MP 2cos60 1min ，结合图形可知， MP CM 2，
所以，1 MP 2，
M 为 AB的中点， PA PM MA， PB PM MB PM MA，
答案第 3页，共 10页
2 2
因此，PA PB PM MA 2 PM MA PM MA PM 4 3,0 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
9．BC
【分析】利用平面向量的坐标运算可判断 AB选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判
断 CD选项.
【详解】对于 A选项， AB 5, 12 3, 4 8, 8 ，A错；
对于 B选项，OC OA OB BA AB 8,8 ，B对；
对于 C选项， AB 82 8 2 8 2 ，C对；
对于 D选项， AB OB 8 5 8 12 136，D错.
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据平面向量的坐标运算求出各个选项中的值，可得答案.
【详解】因为 a b 1 2 2 3 4，故 A正确；
因为 a b (1,5),a b ( 3, 1)，
所以 (a b)2 26,(a b)2 10，故 B错误，D正确；
(a b) (a b) 8，故 C正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】根据向量平行的判定方法可判定 A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定 B
是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定 C、D是否正确.
【详解】由题意， 2 2 ( 3) ( 1) 0 ，A错误；
a b ( 1,1)， (a b) c 1 1 0，所以 B正确，C错误；
答案第 4页，共 10页
5a 3b 5(2, 1) 3( 3,2) (1,1) c，D正确.
故选：BD.
12．BC
【分析】由题设及正弦定理得 a :b : c 2 :3: 7，再结合已知条件求 a、b、c判断 A的正误；
应用余弦定理求角 C，正弦定理求外接圆的半径，作DE AC应用勾股定理求CD .
【详解】由题设及正弦定理知： a :b : c 2 :3: 7，令 a 2x,b 3x,c 7x且 x 0，
1 7 x2 4 x2 2S [28x 4 ( 9 x )2] 3 3 x 2 6 3 ，可得 x 2，
4 2 2
所以 a 4,b 6,c 2 7 ，则△ ABC周长为10 2 7 ，A错误；
a2 b2 c2 cosC 1 ，又0 C ，则C ，B正确；
2ab 2 3
c 2 21
△ ABC的外接圆半径为 R ，C正确；
2sinC 3
如下图，过D作DE AC，由题设知： S ADC 3 3
1
6 DE，则
2 DE 3
，
AD c又 7，可得 AE 2，故CE 4，
2
所以CD DE 2 CE 2 19，D错误.
故选：BC
13． 0
【分析】首先求出 2a kb，再根据向量平行的坐标表示计算可得；
r
【详解】解：因为 a 2,1 ，b 1,2 ，所以 2a kb 2 2,1 k 1,2 4 k , 2 2k
因为 a// 2a kb ，所以 4 4k 4 k，则 k 0．
答案第 5页，共 10页
故答案为： 0
14．12
【分析】由棱柱特征可知该棱柱为五棱柱，由此可计算得到结果.
【详解】 直棱柱有10个顶点， 该直棱柱为直五棱柱，共有五条侧棱，
每条侧棱长为：60 5 12 cm .
故答案为：12 .
5
15．
4
【详解】m n (2,6)，由 m n / /m，得6 1 a 2 2 a 0 5，解得 a .
4
4
16．
3
【分析】过棱锥顶点S作 SE AD , SO 平面 ABCD，则 E为 AD的中点，O为正方形 ABCD
的中心，连结OE，设正四棱锥的底面长为 a，根据已知求出 a=2,SO=1,再求该正四棱锥的
体积.
【详解】
过棱锥顶点S作 SE AD , SO 平面 ABCD，
则 E为 AD的中点，O为正方形 ABCD的中心，连结OE，
则 SEO为侧面 SAD与底面 ABCD所成角的平面角，即 SEO 45 ，设正四棱锥的底面长为
a，则 AE OE SO
a
2，所以
2 SE 2EO a
，
2
在Rt SAE中，∵ SA2 AE 2 SE 2
a23 a
2
∴ ，解得a 2，
4 2
∴ SO 1
1 1 2 4
∴棱锥的体积V SABCD SO 2 1 .3 3 3
4
故答案为
3
【点睛】本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识
答案第 6页，共 10页
的理解掌握水平，属于基础题.
17．3 .
【分析】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果.
【详解】设圆锥的母线长为 l，则 l 3 1 2，
所以圆锥的表面积为 S 1 (1 2) 3 .
【点睛】本题考查圆锥表面积公式的使用，属简单题.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）证明 EF∥BD即可得出结论；
（2）只需说明 P,Q,R三点都是平面 BDEF和平面 ACC1A1的公共点即可得出结论．
【详解】证明：（1）连接 B1D1，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，∵ E， F 分别为C1D1， B1C1的中点，
∴ EF 是△B1C1D1的中位线，∴EF / /B1D1，
又因为B1D1 / /BD，∴ EF / /BD
∴四边形 BDEF 为梯形，即 B，D， E， F 四点共面．
（2）在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AC I BD P， A1C1 I EF Q，
∴ PQ是平面 AA1C1C与平面BDEF的交线，
又因为 AC1交平面 BDEF 于点 R，
∴ R是平面 AA1C1C与平面 BDEF的一个公共点．
因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴P,Q,R三点共线．
答案第 7页，共 10页
19．(1)2 3；
(2)12.
【分析】（1 ）利用向量数量积的运算律及已知求 | 2a b |；
（2）由向量垂直可得b c 0，结合数量积的运算律列方程求参数值即可.
【详解】（1）由 |2a b|2=4a 2 4a b+b 2=4 4×1×2×(
1 )+4=12，则 |2a b |=2 3 .
2
（2）由题设b c=ma b+3b 2=12 m=0，则m 12 .
20．（1） z 6i或 z 0；（2） z 2 .
【分析】（1）利用实部为 0，建立方程，即可求得结论；
（2）利用实部小于 0，虚部等于 0，建立关系式，即可求得结论．
2 2
【详解】解：复数 z m m 2 m 3m 2 i(m R)在复平面内对应的点为
m2 m 2,m2 3m 2
2 2
（1）若点 m m 2,m 3m 2 在虚轴上，则m2 m 2 0解得m 1或m 2，当m 1
时 z 6i，当m 2时 z 0
m2 m 2 0
（2 m2 m 2,m2）若点 3m 2 实轴的负半轴上，所以 ，解m2 3m 2 0
m
2 3m 2 0
得m 1或m 2，解m2 m 2 0得 1 m 2，所以m 1，
所以 z 2
21．(1)B
3
(2)a c 2
1 B 3【分析】（ ）先由正弦定理及和角公式得 3 sin B cos B 1，再由倍角公式得 tan ，
2 3
即可求出 B；
（2）先由面积公式求得 ac 4，再由余弦定理求得 a c 4，即可求得 a，c.
（1）
由bcosA 3bsin A c a及正弦定理，得sinBcosA 3sinBsinA sinC sinA，又
答案第 8页，共 10页
C A B ，
则 sinC sin A B sin AcosB cos AsinB，可得
sinBcosA 3sinBsinA sinAcosB cosAsinB sinA，
即 3sinBsinA sinAcosB sinA，又 sin A 0，所以有 3 sin B cos B 1，即
2 3 sin B cos B 2cos2 B，
2 2 2
B
0, cos B 0 3 sin B cos B B 因为 ，所以 ，于是有 ，即 tan
B 3
，所以 ，即2 2 2 2 2 2 3 2 6
B .
3
（2）
1
由 ABC 2 2 2的面积为 3，得 acsin 3，即 ac 4，由余弦定理，得b a c 2ac cos ，2 3 3
a c 2 2ac 1 cos b 2 2 1即 ，将 ac 4，b 2
代入上式，得 a c 2 4 1 4，
3 2
可得 a c 4，解得 a c 2 .
22．（1） ；（2） (4,6)
3
【分析】（1）对已知等式利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求得 cos A的值，进而求
得A角的大小.
（2）利用正弦定理将b c转化为角的形式，然后利用三角函数求取值范围的方法，求得b c
的取值范围，即可求得 ABC周长的取值范围.
a c sin B a c b
【详解】（1）由 ，利用正弦定理可得： ，化为：b2 c2 a2 bc．
b c sin A sinC b c a c
2 2 2
由余弦定理可得： cos A
b c a 1
， A 0, A ，∴ 3 ．2bc 2
a b c
（2）在 ABC中有正弦定理得 sin sin B sinC ，又 a 2，
3
4 3 4 3 4 3 2
所以 b sinB， c sin C sin B ，
3 3 3 3
b c 4 3 sin B 4 3 sin 2
4 3 3
故 B sin B
3
cos B 4sin
B
3 3 3 3 2 2 6
，
2 5 1
因为 0 B 且 B (b c)3 ，故 B 且 B ，所以 sin B 1，3 6 6 6 6 2 2 6
b c (2, 4)，则 a b c (4,6)，
答案第 9页，共 10页
故 ABC周长的取值范围为 (4,6)
答案第 10页，共 10页
