2023年浙江省中考数学二轮复习培优专题训练：方程与不等式
一、选择题
1．已知日升租车公司有甲、乙两个营业点，顾客租车后于当日营业结束前必须在任意一个营业点还车．某日营业结束清点车辆时，发现在甲归还的车辆比从甲出租的多4辆．若当日从甲出租且在甲归还的车辆为13辆，从乙出租且在乙归还的车辆为11辆，则关于当日从甲、乙出租车的数量下列比较正确的是（ ）
A．从甲出租的比从乙出租的多2辆 B．从甲出租的比从乙出租的少2辆
C．从甲出租的比从乙出租的多6辆 D．从甲出租的比从乙出租的少6辆
2．已知关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D． 或
3．已知关于x的方程有且仅有两个不同的实数解，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．为定值 C． D．
8．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ）
A．－3 B．1 C．－3或1 D．－1或3
9．若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．已知方程，且关于x的不等式只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知m，n是方程的两根，则的值为（ ）
A．0 B．6 C．2 D．4
12．关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A． B． C．0 D．7
二、填空题
13．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．
14．关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是______．
15．若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和为_____．
16．关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
17．定义一种新运算，当时，．若，则______．
18．图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从到，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上个数相加之和均为）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数，，，有如图1的位置关系时，均有．如图2，已知此幻方中的一些数，则x的值为___________．
19．已知实数、满足，则代数式的最小值是 _____．
20．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是__________．
三、解答题
21．紫袍玉带石是一种独产于贵州梵净山一带的玉石材资源，具有约10﹣14亿年的成矿历史，因由紫色的深色条带与灰绿色的浅色条带相互间夹构成，形似古代官宦朝服中的玉带，故俗称“紫袍玉带石”．小李在某网店选中A，B两款紫袍玉带石，决定从该网店进货并销售，两款玉带石的进货价和销售价如表：
类别价格 A款玉带石 B款玉带石
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玉带石共30个，求两款玉带石各购进多少个．
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，小李计划购进两款玉带石共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玉带石全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
22．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，某班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．
23．小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：
优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；
优惠活动二：所有商品打八折．
（两种优惠活动不能同享）
(1)如果小丽的妈妈看中一件价格元的衣服和一双元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；
(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？
24．如图，A，B两地相距1000m，嘉嘉从A地出发，沿方向以的速度行进，淇淇从B地出发，沿方向以的速度行进，两人同时出发，设行进的时间为．
(1)用含t的代数式表示：
①两人行进的路程之和；
②当时，两人之间的距离；
(2)当（s）时，真接写出两人之间的距离．
25．广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等．
(1)求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？
(2)已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水a件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？
26．根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：
的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作于点，设，，求关于的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和
_______________ _______________ _______________
27．某一商场经销的，两种商品，种商品每件售价60元，利润率为50%；种商品每件进价50元，售价80元．
(1)种商品每件进价为__________元，每件种商品利润率为__________；
(2)若该商场同时购进，两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对，两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按总售价打九折
超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买，商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？
28．根据以下素材，探索完成任务
如何设计纸盒
素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图1和图2所示的两种纸盒，图1是无盖的纸盒，图2是一个有盖的纸盒．
素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。
问题解决
任务1 初步探究：折一个底面积为无盖长方体盒子 求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2 探究折成的无盖长方体盒子的侧面积是否有最大值？ 如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意得：
，
所以，
即从甲出租的比从乙出租的少2辆．
故选：B．
2．B
去分母得，，
，
方程的解是负数，
，
即，
又，
的取值范围是且．
故选：．
3．D
解：当时，原方程无解，不合题意；
当时，则，
解得，方程只有1个实数根，不符合题意；
当时，原方程化为，
整理得①或②．
∵②的判别式，且当时，方程②不成立，
∴方程②必有两个不同实根．
∵原方程只有两个不同实根，当时，方程①不成立，
∴方程①无实根，
∴它的判别式，
解得．
故选D．
4．B
解：设购买甲、乙、丙树苗各为、、棵，且均不为0，
则由题意得，，
化简得，
令，则，或，或，共3种；
令，则，共1种；
∴共有种，
故选B．
5．A
解：，
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根.
故选：A.
6．B
解：设■，●，▲的质量分别为，
根据题意可得：，，
，
，
，
，
，
●与■的质量比可能为，
故选：B．
7．D
解：∵，，
∴，
即：，故A正确；
，
即：，故B正确；
则，
∴，，
∴，，即：，故C正确；
∵，
∴，
当时，，
当时，，即：，则或，故D不正确；
故选：D．
8．A
解：根据题意得，
解得，
∵方程的两实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得，，
∵，
∴．
故选：A．
9．C
解：原方程整理得，
∴或，
∴或，
∵关于的方程有四个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：C．
10．C
解：
两边同乘得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，是分式方程的增根，故分式方程的解为，
根据不等式只有2个整数解，
．
故选：C．
11．B
解：m，n是方程的两根，
，，
故选B．
12．D
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为：
的不等式组有且只有2个整数解，
解得，，
为整数，
为3，4，
和为，
故选：D．
13．
解：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．
解：去分母得，，
解得，，
关于的分式方程有正数解，
，
，
又是增根，当时，，即，
，
∴且，
∴符合条件的负整数m有，，，其和为，
故答案为：．
15．2
解：关于的一元一次不等式组的解集为，
关于的一元一次不等式组有解，
，
．
关于的分式方程的解为，
原分式方程有可能产生增根3，
，
，
整数使关于的分式方程的解为整数，，
或3，
所有满足条件的整数的值之和为．
故答案为：2．
16．
把两个方程相减，可得
x与y的和不小于5
解得：
k的取值范围为．
故答案为．
17．4或
解：由题意可知：当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
故答案为4或．
18．1
解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有右下角对应的是，
在虚线的三阶区域内，对应右下角的数是，如图所示，
在第四列中，四个数分别是，，，，
，
；
故答案为．
19．
∵，
∴，，
则
∵
∴当时取得最小值，最小值为，
故答案为：．
20．/
解：
由不等式①得，
由不等式②得，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
故答案为：．
21．(1)A款玉带石购进20个，B款玉带石购进10个；
(2)A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
(3)对于小李来说第二次的进货方案更合算．
（1）解：设A款玉带石购进x个，B款玉带石购进个，
由题意，得，
解得：．
（个）．
答：A款玉带石购进20个，B款玉带石购进10个；
（2）解：设A款玉带石购进a个，B款玉带石购进个，获利y元，
∵A款玉带石进货数量不得超过B款玉带石进货数量的一半，
∴，
解得，
由题意，得，
∵，
∴y随a的增大而增大，
∴时，元，
∴B款玉带石为：（个）．
答：A款玉带石购进10个、B款玉带石购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
（3）解：第一次的利润率，
第二次的利润率，
∵，
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．
22．(1)购买绿萝38盆，吊兰8盆
(2)369元
（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，
由题意，得，
解得：，
∵，
∴符合题意，
答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．
（2）设购买绿萝m盆，则吊兰盆，
由题意，得，
解得：，
设购买两种绿植总费用为W元，则
，
∵，
∴W随m的增大而增大，
又∵，且m为整数，
∴当时，W取得最小值，
，
答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．
23．(1)选择伏惠活动一更划算，见解析
(2)当裤子价格低于元时，推荐选择优惠活动二，见解析
（1）解：选择优惠活动一更划算，理由如下：
活动一价格：（元），
活动二价格：（元），
∵，
∴选择优惠活动一更划算．
（2）解：当裤子价低于元时，推荐选择优惠活动二，
设裤子的价格为元，
则活动一的价格为元；
活动二的价格为元，
由题意，得，
解，得．
∴当裤子价格低于元时，推荐选择优惠活动二．
24．(1)①；②
(2)80m
（1）①∵嘉嘉以的速度行进，淇淇以的速度行进，
∴行进后，二人的路程和为（m）．
②∵嘉嘉以的速度行进，淇淇以的速度行进，A，B两地相距1000m，
设行进后二人相遇，
∴（s），
∵，
故二人还未相遇，
∴两人相距的距离为m．
（2）当时，
二人的路程和为（m）．
距离大于了1000米，
故行驶的路程为（m）．
25．(1)每件洗发水的进价是20元，每件电池的进价是16元；
(2)购进洗发水38件，电池62件，该商店获得最大利润476元．
（1）解：设每件洗发水的进价是x元，则每件电池的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是方程的解，
∴，
∴每件洗发水的进价是20元，每件电池的进价是16元；
（2）解：设该商店获得的利润为y元，
根据题意得，
∵，且，
∴当时，y取最大值，最大值为（元），
∴（件），
答：购进洗发水38件，电池62件，该商店获得最大利润476元．
26．任务1：；任务2：见解析；任务3：7，，
任务1：设关于的函数表达式为，
当时，，，
，
当时，，，
，
代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为，经检验符合题意．
任务2：将1号楼类比于图1中的长方形，如图所示，再过点B作于M当1号楼层为24时，的长为：，
的长为：，
，
，
，
，
，，
，，
而，
正午时1号楼的影子会落在2号楼的墙上．
任务3：由任务2可得： ，
，
∴，
正午时，每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上，
∴，
解得：，
∵每层楼高3米，
∴，
∴每幢房子最多7层，
∴，
∴，
∴，层数为，
，层数为，总和为．
27．(1)40；60%
(2)种商品40件，种商品10件
(3)580元或660元
（1）解：设A种商品每件进价为a元，
依题意得：， 解得：，
∴A种商品每件进价为40元，
每件B种商品利润率为．
（2）设购进种商品件，则购进种商品件，
由题意得，
解得：．
即购进种商品40件，种商品10件．
（3）设小华打折前应付款元．
当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即，
由题意得，解得，
当打折前购物金额超过600元，即，
，
解得：．
综上所得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．
28．任务1：剪掉的正方形的边长为．
任务2：当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
解：任务1：设剪掉的正方形的边长为，
则，即，
解得（不合题意，舍去），，
答：剪掉的正方形的边长为．
任务2：侧面积有最大值．
理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，
即，
即，
∴时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
