云南省2023年初中学业水平模拟考试数学试卷
一、选择题(共36分）
1．的绝对值为（ ）
A．21 B． C． D．
2．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．把33.951精确到十分位，并用科学记数法表示正确的是 （ ）
A．3.40×10 B．3.30×10 C．33.0 D．34.0
4．如图是由若干个完全相同的立方体搭成的几何体，该几何体的主视图是( )
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B． C． D．
6．下列说法中，正确的是（ ）
A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
B．某种彩票中奖的概率是，则购买张这种彩票一定会中奖
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是
D．甲．乙两人各进行了次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定
7．如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
11．有两块面积相同的茶叶种植田，分别收获茶叶200千克和300千克，已知第一块茶叶种植田每亩收获茶叶比第二块少50千克．设第一块种植田每亩收获茶叶千克，可列方程为( )
A． B．
C． D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（1，y3），正确结论是（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
二、填空题(共8分）
13．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
14．因式分解：__________．
15．我国北方有一个习俗：过年包饺子时会随机在饺子中包上糖果或硬币，我们称其为“幸运饺子”．吃到“幸运饺子”的人新的一年的日子会甜甜美美、万事如意．小亮家在大年初一时共煮了50个饺子，其中有4个“幸运饺子”，小亮从中随机挑选了一个饺子正好是“幸运饺子”的概率是____________．
16．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________．
三、解答题(共56分）
17．(6分)计算：
18．(6分)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若，，．求证：．
19．(7分)先化简，再求值：，其中．
20．(7分)某校为了了解本校九年级学生的视力情况，随机抽查了50名学生的视力，并进行统计，绘制了如下统计图．
(1)这50名学生视力的众数为______，中位数为______；
(2)求这50名学生中，视力低于的人数占被抽查总人数的百分比；
(3)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级学生中，视力不低于的人数．
21．(7分)已知：如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且，，
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
22．(7分)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
(1)求此时小区楼房的高度；
(2)在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
23．(8分)已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
(1)判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
24．(8分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，其中点的坐标为，与轴交于点．
(1)求抛物线和直线的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)连接B和（2）中求出点P，点Q为抛物线上的一点，直线下方是否存在点Q使得？若存在，求出点Q的坐标．
参考答案
1．A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【详解】解：的绝对值为21，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，0的绝对值为0，负数的绝对值等于它的相反数．
2．C
【分析】中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．再结合各选项所给图形进行判断即可解答．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C．是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．A
【分析】根据近似数与科学记数法的定义即可得．
【详解】精确到十分位为
科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法
则
故选：A．
【点睛】本题考查了近似数与科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
4．B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看有两层，底层是三个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．C
【分析】利用完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，积的乘方进行计算即可．
【详解】解：A、，所以此选项不正确；
B、，所以此选项不正确；
C、，所以此选项正确；
D、，所以此选项不正确；
故选：C．
【点睛】考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法法则，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．D
【分析】根据抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义进行判断即可．
【详解】解：为确保载人航天器的每个零件合格，应采取全面调查，不能用抽查，因此选项A不符合题意；
B．某种彩票中奖的概率是，买张这种彩票也不一定会中奖，因此选项B不符合题意；
C．为了了解一批洗衣粉的质量情况，从仓库中随机抽取袋洗衣粉进行检验，这个问题中的样本是袋洗衣粉的质量，样本容量为，因此选项C不符合题意；
D．由于平均数相同，方差小的比较稳定，因此乙的射击成绩较稳定，所以选项D符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量，理解抽样调查、全面调查、概率、方差、样本以及样本容量的意义是正确判断的前提．
7．A
【分析】根据平行线的性质求出，由平角性质可知即可得出结论．
【详解】如图：
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质推理是解题的关键．
8．A
【分析】由作法得BD平分∠ABC，然后利用等腰三角形底角相等计算即可．
【详解】由作法得BD平分∠ABC，
∴
设
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴，解得
∴
故选：A
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形底角相等．
9．A
【分析】根据一元一次不等式组的解题要求对两个不等式进行求解得到解集即可对照数轴进行选择．
【详解】解不等式x+1＜0，得x＜-1，
解不等式，得，
所以这个不等式组的解集为，在数轴上表示如选项A所示，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解，正确求解不等式组的解集并在数轴上表示是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据圆周角定理，易得：是等腰直角三角形，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．
11．D
【分析】设第一块种植田每亩收获茶叶千克，根据“两块面积相同的茶叶种植田”列出方程解答即可．
【详解】解：设第一块种植田每亩收获茶叶千克，
依题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
12．B
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，得出1＜x0＜2，对称轴在和0之间，画图，根据抛物线的对称性判断y1，y2，y3的大小．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为-2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，
∴x=1对应的函数值与x=2对应的函数值互为异号，
∴1＜x0＜2，
∴对称轴在和0之间，
∵抛物线与y轴的负半轴相交，
∴a＞0，
如图所示，
∵距离对称轴最近，其次是-1，最后是1，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断．
13．且/且
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴且；
∴x的取值范围是且；
故答案为：且．
【点睛】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．
14．
【分析】利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法．
15．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：任意挑选一个饺子共有种等可能结果，其中正好是幸运饺子的有种结果，
所以正好是幸运饺子的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
16．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，继而求出点的坐标，并找到坐标的变化规律，根据图形的特点代入求得点的坐标即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵点均在一次函数的图象上，
∴将代入得：
解得：
∴
∴点均在一次函数的图象上，
∴当时，
∴
∵
∴
∴
由图可知：
,即的横坐标与的横坐标相等
∴当时，
∴点
故答案为：
【点睛】本题主要考查一次函数及等腰直角三角形的性质，掌握一次函数及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
17．
【分析】先进行有理数的乘方、特殊角的三角函数、绝对值和零指数幂运算，再进行加减运算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数、化简绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．
18．见解析
【分析】根据，可得，可证明
【详解】，
，即，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．，．
【分析】根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．(1)
(2)视力低于的人数占被抽查总人数的
(3)估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人
【分析】（1）根据条形图确定出现次数最多的数据，即可求出众数，将数据排序后，找到第25个和第26个数据，两个数据的平均数即为中位数；
（2）利用频数除以总数，进行求解即可；
（3）利用样本估计总量即可得解．
【详解】（1）解：由条形图可知，视力为的学生的人数最多，故众数为；
第25个和第26个数据分别为：，故中位数为：，
故答案为：；
（2）解：；
∴视力低于的人数占被抽查总人数的；
（3）解：（人）；
答：估计该校九年级学生中，视力不低于的人数为人．
【点睛】本题考查条形统计图，中位数，众数，利用样本估计总量．从条形图中有效的获取信息，熟练掌握众数和中位数的确定方法，是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，、，由题意可得：，即可求证；
（2）由（1）可得，由题意可得：，即可求证．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，、，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得，则，
∵，，
∴，
∴：四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法和性质．
22．(1)此时小区楼房的高度为米
(2)经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解；
（2）当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可．
【详解】（1）如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
23．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，设，可得，故，根据二次函数性质可得答案；
（3）过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，由，得是等腰直角三角形，可证明，从而，，即得，用待定系数法得直线函数表达式为，联立，即可解得的坐标为，．
【详解】（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的函数表达式为，把代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）过作轴交于，如图：
设，则，
，
，
，
当时，取最大值4，
此时的坐标为；
（3）直线下方存在点，使得，理由如下：
过作交的延长线于，过作轴，过作于，过作于，如图：
由（2）知，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
由，得直线函数表达式为，
联立，解得或，
的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
