2023年河北省衡水市部分学校中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知四个点A，B，C，D和∠MON的位置关系如图所示，其中在∠MON外部的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．与相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．2022年11月29日23时08分，搭载三名中国航天员的神舟十五号载人飞船发射成功，随后与神舟十四号乘组在距离地球约400000m的中国空间站胜利会师．将数据400000m用科学记数法表示为a×10n米，下列说法正确的是（ ）
A．a＝400，n＝3 B．a＝4，n＝5 C．a＝4，n＝6 D．a＝0.4，n＝6
4．如图，在海岛C测得船A在其南偏东70°的方向上，测得灯塔B在其北偏东50°的方向上，则∠ACB＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．计算：2□（﹣），若要使计算结果最小，则“□”中的符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
6．如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
7．若66是6？的36倍，则“？”的值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
8．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1cm，则AD的长为（ ）
A．cm B． C．1cm D．cm
10．在如图所示的网格中，以点O为原点，若m、n所在直线分别代表y轴、x轴，则与点A在同一反比例函数y＝（k≠0）图象上的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
11．若有一组有理数：﹣2，﹣5，3，0，﹣0.5，，则该组数据的中位数（ ）
A．﹣0.5 B．﹣0.25 C．0 D．1
12．如图，将正方形AMNP和正五边形ABCDE的中心O重合，按如图位置放置，连接OP、OE，则∠POE＝（ ）
A．18° B．19° C．20° D．21°
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+b+2＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．某数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作∠AOB的角平分线，有如下四位同学的作法，其中无法判断OP是角平分线的是（ ）
甲：OC＝OD，P为CD的中点 乙：CD∥OB，OC＝CP 丙：OC＝OD，OE＝OF 丁：CD⊥OB，P为CD的中点
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
15．如图，等边△ABC的边长为1，D是BC边上一点，过D作DG⊥AB于点G，设AG＝x，DG＝y，任意改变D的位置选取5组数对（x，y），在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数y＝x2+ax+b的图象性质，其中a，b为常数．甲说：该二次函数的对称轴是直线x＝1；乙说：函数的最小值为3；丙说：x＝﹣1是方程x2+ax+b＝0的一个根；丁说：该二次函数的图象与y轴交于（0，4）．若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，则“卧底”是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17．若|m|＝（π﹣3.14）0，则m＝ ．
18．若a＝，b＝，则
（1）a+b＝ ；
（2）a2﹣b2＝ ．
19．如图，关于AB对称的经过所在圆的圆心O，已知AB＝6，点P为上的点，则
（1）∠AOB＝ °；
（2）点P到AB的最大距离是 ；
（3）若点M、N分别是、的中点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．如图，已知数轴上点A，B对应的数为﹣5，1，点C为AB的中点，点P为数轴上任意一点，且对应的数为m．
（1）若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数；
（2）若点P在B的右侧且满足AP＝3PB，求﹣5，1与m这三个数的和．
21．下面是嘉淇对于一道整式化简题目的不完整的解题过程，其中P是关于a的多项式．
a （P）﹣8 （a﹣1）＝a2+4a﹣8a+8＝……
（1）求多项式P；
（2）请将题目的化简过程补充完整，并判断该化简结果能为负数吗？说明理由．
22．对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
员工序号 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 职员G 职员H
月收入/千元 8.8 6.2 4.5 4.2 3.8 3.7 3.6 3.6 3.6 3
乙公司员工月收入统计图
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 （填写员工序号）．
23．如图，点P（a，6）是抛物线C：y＝（x+2）2+2上位于第二象限内的一点，点A是抛物线C与y轴的交点．
（1）写出C的对称轴和顶点坐标，并求a的值；
（2）某同学设计了一个程序：已知数对[m，n]，表示输入m和n的值，可将抛物线C沿x轴方向向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位长度，再沿y轴方向向上（n＞0）或向下（n＜0）平移|n|个单位长度得到C'．若A平移后的抛物线C'：y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点A'，求数对[m、n]的值及△AA'P的面积．
24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，将△BCD沿菱形ABCD的对角线BD由B向D方向平移得到△EFG，连接AE、DF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若四边形AEFD是矩形，求BE的长；
（3）当△ADE的外心在该三角形内部时，直接写出BE的取值范围．
25．202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
26．在一平面内，点D是⊙A上的点，连接AD，AB、BC、CD是三条定长线段，将四条线段按如图1顺次首尾相接，把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）到某一位置时，BC，CD将会跟随到相应的位置，且点C始终保持在AB上方．
（1）若点D在AB上方且AD∥BC时，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；
（2）当AD旋转到如图2位置时，连接AC，AC与OA交于点P，连接PD，若∠ACD+2∠CDP＝90°，请判断CD与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙A的半径为1，BC＝3，AB＝CD＝5，连接AC．
①当点D落在CA的延长线上时，求线段AD扫过的面积（参考数据：tan37°≈）；
②当点A与点C的距离最大时，求点D到AB的距离；
③当点D在AB上方，且BC⊥CD时，直接写出sin∠ABC的值．
参考答案
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知四个点A，B，C，D和∠MON的位置关系如图所示，其中在∠MON外部的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由角的定义，即可判断．
解：在∠MON外部的是点A．
故选：A．
【点评】本题考查角的概念，关键是掌握角的定义．
2．与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分数的加减法的法则计算即可．
解：＝﹣+，
故选：C．
【点评】本题考查了分数的加减法，熟练掌握分数加减法的法则是解题的关键．
3．2022年11月29日23时08分，搭载三名中国航天员的神舟十五号载人飞船发射成功，随后与神舟十四号乘组在距离地球约400000m的中国空间站胜利会师．将数据400000m用科学记数法表示为a×10n米，下列说法正确的是（ ）
A．a＝400，n＝3 B．a＝4，n＝5 C．a＝4，n＝6 D．a＝0.4，n＝6
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：∵400000＝4×105．
∴a＝4，n＝5．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，在海岛C测得船A在其南偏东70°的方向上，测得灯塔B在其北偏东50°的方向上，则∠ACB＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可求解．
解：∵船A在海岛C的南偏东70°的方向上，灯塔B在海岛C北偏东50°的方向上，
∴∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
5．计算：2□（﹣），若要使计算结果最小，则“□”中的符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】把各个运算符合填入计算得到结果，判断即可．
解：2+（﹣）＝，2﹣（﹣）＝2+＝3，2×（﹣）＝﹣6，2÷（﹣）＝﹣2，
∵﹣6＜﹣2＜＜3，
∴“□”中的符号是×．
故选：C．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解本题的关键．
6．如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是②④①③⑤．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
7．若66是6？的36倍，则“？”的值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意列出算式，利用同底数幂的除法法则变形，计算即可求出“？”的值．
解：设“？”为x，
根据题意得：66÷6？＝36＝62，即6﹣x＝2，
解得：x＝4，
则“？”的值是4．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．在玩俄罗斯方块游戏时，底部已有的图形如图所示，接下去出现如下哪个形状时，通过旋转变换后能与已有图形拼成一个中心对称图形（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用中心对称图形的定义结合图形的旋转变换得出答案．
解：如图所示：只有选项D可以与已知图形组成中心对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D、E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD＝1cm，则AD的长为（ ）
A．cm B． C．1cm D．cm
【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：由题意得：BC＝3cm，DE＝1cm，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．在如图所示的网格中，以点O为原点，若m、n所在直线分别代表y轴、x轴，则与点A在同一反比例函数y＝（k≠0）图象上的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】由点A在反比例函数图象上可求出k的值，再求出点M、N、P、Q的横纵坐标的积，比照后即可得出结论．
解：∵反比例函数y＝（k≠0）图象经过点A（3，1），
∴k＝3×1＝3．
∵点M的坐标为（2，2），2×2＝4≠3，
∴点M不在反比例函数y＝图象上；
∵点N的坐标为（﹣3，1），﹣3×1＝﹣3≠3，
∴点N不在反比例函数y＝图象上；
∵点P的坐标为（﹣3，﹣1），﹣3×（﹣1）＝3，
∴点P在反比例函数y＝图象上；
∵点Q的坐标为（2，﹣1），2×（﹣1）＝﹣2≠3，
∴点Q不在反比例函数y＝图象上；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
11．若有一组有理数：﹣2，﹣5，3，0，﹣0.5，，则该组数据的中位数（ ）
A．﹣0.5 B．﹣0.25 C．0 D．1
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
解：将这组数据重新排列为：﹣5，﹣2，﹣0.5，0，，3，
所以这组数据的中位数为＝﹣0.25，
故选：B．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．如图，将正方形AMNP和正五边形ABCDE的中心O重合，按如图位置放置，连接OP、OE，则∠POE＝（ ）
A．18° B．19° C．20° D．21°
【分析】分别求出以点O为中心的正五边形ABCDE和正方形AMNP的中心角即可．
解：如图，连接OA，
∵点O是正五边形ABCDE和正方形AMNP的中心，
∴∠AOP＝＝90°，∠AOE＝＝72°，
∴∠POE＝∠AOP﹣∠AOE
＝90°﹣72°
＝18°．
故选：A．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+b+2＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（b+2）＞0，解不等式得到b的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（b+2）＞0，
解得b＜﹣1，
所以一次函数y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
14．某数学兴趣小组的同学尝试只用一副带刻度的三角板作∠AOB的角平分线，有如下四位同学的作法，其中无法判断OP是角平分线的是（ ）
甲：OC＝OD，P为CD的中点 乙：CD∥OB，OC＝CP 丙：OC＝OD，OE＝OF 丁：CD⊥OB，P为CD的中点
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】利用“三线合一”可对甲同学的作法进行判断；根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COP＝∠BOP，从而可对乙同学的作法进行判断；先证明△COF≌△DOE得到∠OCF＝∠ODE，再证明△PCE≌△PDF得到PE＝PF，然后证明△OPE≌△OPF得到∠COP＝∠DOP，从而可对丙同学的作法进行判断；过P点作PH⊥OA于H点，如图，利用垂线段最短得到PC＝PD＞PH，根据角平分线的性质可对丁同学的作法进行判断．
解：∵OC＝OD，OP平分CD，
∴OP平分∠COD，所以甲同学的作法可判断OP是角平分线；
∵CD∥OB，
∴∠CPO＝∠BOP，
∵OC＝CP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠BOP，
∴OP平分∠COB，所以乙同学的作法可判断OP是角平分线；
∵OC＝OD，∠COF＝∠DOE，OF＝OE，
∴△COF≌△DOE（SAS），
∴∠OCF＝∠ODE，
∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PE＝PF，
∴△OPE≌△OPF（SSS），
∴∠COP＝∠DOP，
∴OP平分∠COD，所以丙同学的作法可判断OP是角平分线；
过P点作PH⊥OA于H点，如图，
∵P点为OC的中点，
∴PC＝PD，
∵PC＞PH，
∴PD＞PH，
即P点到OB和OA的距离不相等，
∴OP不平分∠AOB，所以丁同学的作法无法判断OP是角平分线．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和角平分线的性质．
15．如图，等边△ABC的边长为1，D是BC边上一点，过D作DG⊥AB于点G，设AG＝x，DG＝y，任意改变D的位置选取5组数对（x，y），在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点D在BC边上，求出x的取值范围，再根据三角形的面积公式得出y与x的函数解析式，从而得出结论．
解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴当D和C重合时，AG＝AB＝，
当≤x≤1时，BG＝1﹣x，DG＝（1﹣x），
y＝AG DG
＝ x （1﹣x）
＝﹣x2+x，
根据解析式可知C正确，
故选：C．
【点评】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的有关知识，解答关键是分析自变量的取值范围．
16．老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述一个二次函数y＝x2+ax+b的图象性质，其中a，b为常数．甲说：该二次函数的对称轴是直线x＝1；乙说：函数的最小值为3；丙说：x＝﹣1是方程x2+ax+b＝0的一个根；丁说：该二次函数的图象与y轴交于（0，4）．若四个描述中，只有“卧底”的描述是假命题，则“卧底”是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+3，然后计算自变量为﹣1和0对应的函数值，从而判断丙错误．
解：若甲乙正确，则抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+3，即y＝x2﹣2x+4，
当x＝﹣1时，y＝7≠0，此时丙错误；
当x＝0时，y＝4，此时丁正确．
而其中有且仅有一个说法是错误的，
所以只有丙错误，则“卧底”是丙．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
二、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，19小题每空1分）
17．若|m|＝（π﹣3.14）0，则m＝ ±1 ．
【分析】根据a0＝1（a≠0），得出（π﹣3.14）0＝1，再根据绝对值的性质即可得出答案．
解：∵（π﹣3.14）0＝1，
∴|m|＝1，
∴m＝±1．
故答案为：±1．
【点评】此题考查了零指数幂和绝对值，掌握a0＝1（a≠0）是解题的关键．
18．若a＝，b＝，则
（1）a+b＝ ；
（2）a2﹣b2＝ ﹣4 ．
【分析】（1）利用同分母的加减法法则解答即可；
（2）利用同分母的加减法法则计算a+b，a﹣b的值，再利用因式分解法解答即可．
解：（1）∵a＝，b＝，
∴a+b＝+
＝
＝．
故答案为：．
（2）∵a＝，b＝，
∴a+b＝，a﹣b＝﹣，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了分式加减法，平方差公式，熟练掌握分式加减法法则是解题的关键．
19．如图，关于AB对称的经过所在圆的圆心O，已知AB＝6，点P为上的点，则
（1）∠AOB＝ 120 °；
（2）点P到AB的最大距离是 ；
（3）若点M、N分别是、的中点，则的长为 ．
【分析】（1）过O作OC⊥AB于D，交于C，根据垂径定理得到AD＝BD，∠AOB＝2∠AOD，根据轴对称的性质得到OD＝OC＝OA，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）当点P为的中点时，点P到AB的距离最大，即点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，根据垂径定理得到AD＝AB＝3，求得OD＝AD＝，OA＝2，于是得到结论；
（3）连接OM，ON，OP，根据圆周角定理和弧长的计算公式即可得到结论．
解：（1）过O作OC⊥AB于D，交于C，
∴AD＝BD，∠AOB＝2∠AOD，
∵关于AB对称的经过所在圆的圆心O，
∴OD＝OC＝OA，
∴∠DAO＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120；
（2）当点P为的中点时，点P到AB的距离最大，
即点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝AB＝3，
∴OD＝AD＝，OA＝2，
∴CD＝OC﹣OD＝2﹣＝，
故点P到AB的最大距离是；
故答案为：；
（3）连接OM，ON，OP，
∵点M、N分别是、的中点，
∴，
∴，
∴∠MON＝∠POM+∠PON＝AOB＝60°，
由（2）知OA＝2，
∴的长为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．如图，已知数轴上点A，B对应的数为﹣5，1，点C为AB的中点，点P为数轴上任意一点，且对应的数为m．
（1）若点P为原点，在图中标出点P的位置，并直接写出点C对应的数；
（2）若点P在B的右侧且满足AP＝3PB，求﹣5，1与m这三个数的和．
【分析】（1）根据数轴的特征，在图中标出点P的位置，再根据中点的定义写出点C对应的数；
（2）根据点P在B的右侧且满足AP＝3PB，可求m，进一步得到﹣5，1与m这三个数的和．
解：（1）（﹣5+1）÷2＝﹣2，
如图所示：点C对应的数是﹣2；
（2）∵点P在B的右侧且满足AP＝3PB，
∴点P表示的数为1+（1+5）÷（3﹣1）＝4，即m＝4，
∴﹣5，1与m这三个数的和为﹣5+1+4＝0．
【点评】本题考查了有理数的加法，数轴，（2）中关键是得到m的值．
21．下面是嘉淇对于一道整式化简题目的不完整的解题过程，其中P是关于a的多项式．
a （P）﹣8 （a﹣1）＝a2+4a﹣8a+8＝……
（1）求多项式P；
（2）请将题目的化简过程补充完整，并判断该化简结果能为负数吗？说明理由．
【分析】（1）根据已知算式得出P＝（a2+4a）÷a，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
（2）先根据单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，把化简结果进行变形，再得出答案即可．
解：（1）P＝（a2+4a）÷a＝a+4；
（2）a（a+4）﹣8（a﹣1）
＝a2+4a﹣8a+8
＝a2﹣4a+8，
该化简结果不能为负数，理由如下：
a2﹣4a+8＝（a2﹣4a+4）+4＝（a﹣2）2+4，
∵不论a为何值，（a﹣2）2≥0，
∴（a﹣2）2+4≥4，
即该化简结果不能为负数．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
22．对甲、乙两家公司员工月收入情况进行调查，并把调查结果分别绘制成统计表和不完整的条形统计图（月收入为9千元的数据不全）．
甲公司员工月收入统计表
员工序号 经理 副经理 职员A 职员B 职员C 职员D 职员E 职员F 职员G 职员H
月收入/千元 8.8 6.2 4.5 4.2 3.8 3.7 3.6 3.6 3.6 3
乙公司员工月收入统计图
（1）若在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为 ；
（2）若甲、乙两家公司员工月收入的平均数相同，请通过计算补全条形统计图；
（3）若甲公司有一名员工辞职了，从本月停发该员工工资，其他员工工资不变，嘉淇通过计算发现，该公司剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，则该名辞职的员工可能 经理或副经理 （填写员工序号）．
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）根据平均数相同，求出月收入为9千元的人数即可；
（3）根据剩下9名员工月收入的平均数比原10名员工月收入的平均数减小了，得出辞职的那名员工工资高于平均数，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．
解：（1）由统计表可得：甲公司共10人，其中月收入超过4千元的有4人，
∴在甲公司随机选择一名员工，则该员工月收入超过4千元的概率为：＝；
故答案为：；
（2）设乙公司月收入为9千元的有x人，
则＝（8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10，
解得x＝2，
补全条形统计图如下：
（3）甲公司的平均工资为8.8+6.2+4.5+4.2+3.8+3.7+3.6+3.6+3.6+3）÷10＝4.5（千元），
由题意可知，辞职的那名员工工资高于4.5千元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．
故答案为：经理或副经理．
【点评】本题考查了概率公式，加权平均数和条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
23．如图，点P（a，6）是抛物线C：y＝（x+2）2+2上位于第二象限内的一点，点A是抛物线C与y轴的交点．
（1）写出C的对称轴和顶点坐标，并求a的值；
（2）某同学设计了一个程序：已知数对[m，n]，表示输入m和n的值，可将抛物线C沿x轴方向向右（m＞0）或向左（m＜0）平移|m|个单位长度，再沿y轴方向向上（n＞0）或向下（n＜0）平移|n|个单位长度得到C'．若A平移后的抛物线C'：y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点A'，求数对[m、n]的值及△AA'P的面积．
【分析】（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为：（﹣2，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：6＝（a+2）2+2，解得：a＝﹣6（舍去）或2，即可求解；
（2）△AA'P的面积＝AA′ |xP|＝＝15，即可求解．
解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为：（﹣2，2），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：6＝（a+2）2+2，
解得：a＝﹣6（舍去）或2，
即点P的坐标为：（﹣6，2）；
对于抛物线C：y＝（x+2）2+2，当x＝0时，y＝3，
即点A（0，3），
故抛物线的对称轴为x＝﹣2，顶点坐标为：（﹣2，2），a＝﹣6；
（2）抛物线C'：y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点A'，则点A′（0，﹣2），
则AA′＝3﹣（﹣2）＝5，
则△AA'P的面积＝AA′ |xP|＝＝15，
即△AA'P的面积为15．
【点评】本题二次函数综合题，涉及到二次函数的图象和性质、三角形面积计算、图象的平移等，题目较为容易．
24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，将△BCD沿菱形ABCD的对角线BD由B向D方向平移得到△EFG，连接AE、DF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若四边形AEFD是矩形，求BE的长；
（3）当△ADE的外心在该三角形内部时，直接写出BE的取值范围．
【分析】（1）可证明四边形AEFD是平行四边形，进而得出结论；
（2）作EG⊥AB于G，可证得△ABE是等腰三角形，进一步得出结果；
（3）连接AC，作AD的垂直平分线MN，可推出△ABC是等边三角形，从而AB的垂直平分线过点C，当四边形AEFD是矩形时，AE的垂直平分线交AD的垂直平分线于BD上，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵△EFG是由△BCD平移得来，
∴BC∥EF，BC＝EF，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE＝DF；
（2）如图1，
作EG⊥AB于G，
由（1）知：四边形AEFD时平行四边形，
∴当∠EAD＝90°时，四边形AEFD时平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴AE＝BE，
∴BG＝AG＝AB＝2，
∴BE＝；
（3）解：如图2，
连接AC，作AD的垂直平分线MN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB的垂直平分线过点C，
由（2）知：当四边形AEFD是矩形时，AE的垂直平分线交AD的垂直平分线于BD上，
∴当0＜BE＜时，△ADE的外心在△EFG的内部．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
25．202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；
②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润；
（3）在（2）的条件下，由题意列出关于a的方程，解出a即可．
【解答】（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元；
根据题意，得，
解得，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①由题意知，y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则，
解得：60≤x≤80，
在y＝20x+4000中，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000＝5600，
即最大利润为5600元；
（3）在（2）的条件下，则80（60﹣a）+40×（100﹣80）＝4240，
解得：a＝17，
即a的值为17．
【点评】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
26．在一平面内，点D是⊙A上的点，连接AD，AB、BC、CD是三条定长线段，将四条线段按如图1顺次首尾相接，把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α（0°＜α＜360°）到某一位置时，BC，CD将会跟随到相应的位置，且点C始终保持在AB上方．
（1）若点D在AB上方且AD∥BC时，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；
（2）当AD旋转到如图2位置时，连接AC，AC与OA交于点P，连接PD，若∠ACD+2∠CDP＝90°，请判断CD与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙A的半径为1，BC＝3，AB＝CD＝5，连接AC．
①当点D落在CA的延长线上时，求线段AD扫过的面积（参考数据：tan37°≈）；
②当点A与点C的距离最大时，求点D到AB的距离；
③当点D在AB上方，且BC⊥CD时，直接写出sin∠ABC的值．
【分析】（1）利用平行线的性质求解；
（2）结论：CD是⊙A的切线．如图2中，延长CA交⊙A于点T，连接DT．证明AC⊥CD即可；
（3）①求出圆心角，利用弧长公式求解；
②如图3﹣2中，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．当A，D，C共线时，A，C两点之间距离最大．设BJ＝y，则有62﹣（5+y）2＝32﹣y2，求出CJ，再利用平行线分线段成比例定理求解；
③如图3﹣3中，过点A作AT⊥CD于点T，过点A作AR⊥BC于点R，则四边形ARCT是矩形，设DT＝x，AT＝y．构建方程组求解即可．
解：（1）如图1中，当AD∥BC时，
∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣α；
（2）结论：CD是⊙A的切线．
理由：如图2中，延长CA交⊙A于点T，连接DT．
∵PT是直径，
∴∠TDP＝90°，
∴∠T+∠DPT＝90°，
∵∠DPT＝∠ACD+∠CDP，
∴∠ACD+∠CDP+∠T＝90°
∵∠ACD+2∠CDP＝90°，
∴∠T＝∠CDP，
∵AT＝AD，
∴∠T＝∠ADT，
∴∠CAD＝∠T+∠ADT＝2∠T＝2∠CDP，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD，
∵AD是半径，
∴CD是⊙A的切线；
（3）①如图3﹣1中
∵CD＝AB＝5，AD＝1，
∴AC＝CD﹣AD＝5﹣1＝4，
∵BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴tan∠CAN＝＝，
∴∠CAB≈37°，
∴线段AD扫过的面积＝＝；
②如图3﹣2中，过点D作DH⊥AB于点H，过点C作CJ⊥AB于点J．
当A，D，C共线时，A，C两点之间距离最大．
设BJ＝y，则有62﹣（5+y）2＝32﹣y2，
解得y＝，
∴CJ＝＝＝，
∵DH∥CJ，
∴＝，
∴＝，
∴DH＝，
∴点D到AB的距离为；
③如图3﹣3中，过点A作AT⊥CD于点T，过点A作AR⊥BC于点R，则四边形ARCT是矩形，设DT＝x，AT＝y．
则有，
解得，
∴AR＝CT＝5﹣＝，
∴sin∠ABC＝＝＝．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，弧长公式，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程或方程组解决问题．
