天津市部分区2022～2023学年度第二学期期中练习
高一数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟。祝各位考生考试顺利！
第I卷
参考公式:
圆柱的体积公式V=Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．
圆锥的体积公式V=Sh，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．
棱锥的体积公式V=Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．
球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径．
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量= (2, 2)，=(1, -1)，则-=（ ）
A．(3, 0) B．(3, 1) C．(1, 3) D．(-1, 2)
2．已知棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的表面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．12π
3．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．若a=1，b=2，c=，则C=（ ）
A．120° B．90° C．60° D．45°
4．已知点P(2, 0)，Q(1, 1)，向量=(, 2)，若=0，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．若a=l，b=，B=，则A=（ ）
A． B． C． D．或
6．已知向量=(-1, 2)，=(1, 1)，则在上的投影向量为（ ）
A． B．(-1, 2) C．(, ) D．()
7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中A是圆锥的顶点， B, C分别是圆柱的上 下底面圆的圆心，且AB=1，AC=3，底面圆的半径为1，则该陀螺的体积是（ ）
A．π B．2π C． D．
8．已知向量=(m, 1)，=(4, m)，若与方向相反，则 +=（ ）
A． B． C．2 D．5
9．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．已知△ABC的面积为S，2a+b=4，c(a + b - c)(sin A + sin B + sin C)=6S，=3-2，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
第II卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．
10．i是虚数单位，复数=____________．
11．直线l上所有点都在平面α内，可以用符号表示为____________．
12．若A(1, 1)，B(2, -1)，C(a, b)三点共线，则2a+b=____________．
13．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，AA1=3，则异面直线A1 C1与AD1所成角的余弦值为____________．
14．在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．已知a2+b2-c2=ab，则C=______________，若c=2，则△ABC外接圆的半径为____________．
15．如图，在边长为1的正方形ABCD中，=;则=______________；若F为线段BD上的动点则的最小值为____________．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分11分）
已知向量，满足=2，=3，与的夹角为．
（I）求的值；
（II）若，求实数k的值．
17．（本小题满分12分）
如图，三棱锥S-ABC的底面ABC和侧面SAB都是边长为2的等边三角形，D, E分别是AB, AC的中点，SD⊥CD．
（I）证明：BC //平面SDE；
（II）求三棱锥S-ABC的体积．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．已知a=3+，c=+，A=．
（I）求C的值；
（II）求b的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1．
（I）求证：B1C BD1
（II）求直线AB1与平面ABC1D1所成角的正弦值．
20．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c．向量，，且．
（I）求B的值；
（II）若a=2，b=，求△ABC的面积．
高一数学参考答案
一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D A C A D C B D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。试题中包含两个空的，
答对1个的给2分，全部答对的给4分。
10． 11． 12．
13． 14． ， 15．,
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分11分）
解（Ⅰ）， …………………………2分
， ………………………5分
. ……………………………………6分
（Ⅱ）由得：，
………10分
解得：. ……………………11分
17.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）因为分别是的中点，所以，……………2分
因为平面， …………………………3分
平面， …………………………………4分
所以平面； ……………………5分
（Ⅱ）因为是等边三角形，是的中点，
所以， …………………………………6分
因为，
平面，
所以平面， …………………………………9分
因为底面和侧面都是边长为2的等边三角形，
所以.……………12分
18.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）由正弦定理得：， ……………………………1分
∴， ……………………………2分
解得； …………………………………3分
因为，易知， ………………………………4分
所以. ………………………………5分
（Ⅱ）在中，，，易知 …………………6分
……………………………8分
由余弦定理得：， …………………………9分
∴，
…………………………………11分
解得：． …………………………………12分
19.（本小题满分12分）
解（Ⅰ）在长方体中，
,,
平面， …………………………………2分
………………………………3分
又，可得, …………………………4分
平面. ………………………5分
平面
…………………………………6分
（Ⅱ）记交于点，连接，由（1）得平面，
所以为斜线在平面上的射影，
为与平面所成的角. ……………8分
在长方体中，,
在中，， …………10分
.
直线与平面所成角的正弦值为. …12分
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为，，且，
所以 ， ……………………2分
由正弦定理，得， …………4分
又，从而， …………………6分
因为，所以. ……………………7分
（Ⅱ）由余弦定理，得， ……………………8分
而，，，得， ………………10分
因为，所以. …………………11分
故的面积. …………13分
