2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《10.2等腰三角形》
解答题专题训练（附答案）
1．一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC各边的长．
3．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．
4．按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整．
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D．若∠CAD：∠BAD＝4：7，求∠B的度数．
解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴ ＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝ （ ）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴ ＝∠BAD＝7x（ ）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（ ），
∴ + ＝90°．
∴x＝ ．
∴∠B＝ ．
5．如图，已知△ABC中，过点B作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，作DE∥AC交AB于E．求证：AE＝BE．
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．
（1）求∠BPC的度数；
（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于D点，连接AD．
（1）求证：DC＝DE；
（2）若CD＝3，求BD的长．
8．如图，大海中有两个岛屿A与B，∠BEQ＝30°，在海岸线PQ上的点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若在海岸线PQ上的点E处测得∠AEP＝74°，求∠BAE的度数．
9．如图，△ABC中，BD是角平分线，∠ABC＝∠C＝∠BDC，求∠A的度数．
10．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；
（2）已知△ADE的周长7cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为15cm，求OA的长．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分线段AB．
（1）求∠ABD．
（2）求证：AD＝2CD．
12．在等边△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，延长BC到E，使CE＝BC，连结D、E．
（1）BD与DE有怎样的关系？请说明你的理由．
（2）把BD改成什么条件，还能得到（1）中的结论？
13．已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①点D是AC的中点；
②CE＝CD；
③DB＝DE．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解各计分．
选择的条件： ；
证明的结论： ．（填写序号即可）
14．如图，在ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：∠ABF＝∠ACF；
（2）若∠BAC＝48°，求∠CFE的度数．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，
连接DE．
（1）求证：∠DEC＝∠DCE；
（2）若AC＝BC，BE＝CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由．
16．如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连接BF．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．
17．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，点F为线段AB上一点，连接CF，作∠CFE＝∠AFC，边FE交BC于点E，过点E作ED⊥CA于点D，ED交CF于点G，求证：EF＝EG．
18．如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
（1）求证：△APF是等腰三角形；
（2）求证：AB＝PC．
参考答案
1．解：（1）设底边长为xcm，则腰长是1.5xcm，
x+1.5x+1.5x＝28，
解得：x＝7，所以1.5x＝10.5（cm），
故，该等腰三角形的各边长为：7cm，10.5cm，10.5cm；
（2）若底边长为6cm，设腰长为ycm，
则：6+2y＝28，
得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，
若腰长为6cm，设底边长为acm，
则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．
2．解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
设AD＝CD＝xcm，BC＝ycm，
分两种情况：
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为8cm，8cm，11cm；
当时，
即，
解得：，
∴△ABC的各边长为10cm，10cm，7cm；
综上所述：△ABC各边的长为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．
3．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，
∴∠BQC＝∠CPB＝90°，
∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴△BCO为等腰三角形．
4．解：设∠CAD＝4x，
∵∠CAD：∠BAD＝4：7（已知），
∴∠BAD＝7x．
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝11x．
∵DE是AB的垂直平分线（已知）．
∴DB＝AD（线段垂直平分线的性质）．
∴△ABD是等腰三角形．
∴∠B＝∠BAD＝7x（等腰三角形的性质）．
∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°（已知），
∴∠B+∠BAC＝90°（直角三角形的性质），
∴∠BAD+∠BAC＝90°．
∴x＝5°．
∴∠B＝35°，
故答案为：∠BAC，AD，线段垂直平分线的性质，∠B，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，∠BAD，∠BAC，5°，35°．
5．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴AE＝ED，
∵AD⊥BD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴BE＝ED，
∴AE＝BE．
6．（1）解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，，
∴∠CBE+∠BCF＝∠ABC+ACB＝＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBE+∠BCF）＝180°﹣60°＝120°；
（2）证明：在BC上截取BQ＝BF，连接PQ，
在△FBP和△QBP中，
，
∴△FBP≌△QBP（SAS），
∴FP＝QP，∠BFP＝∠BQP，
∵∠A＝60°，∠FPE＝∠BPC＝120°，
∴∠AFP+∠AEP＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
∴∠BFP+∠CEP＝180°，
∵∠CQP+∠BQP＝180°，
∴∠CEP＝∠CQP，
在△CQP和△CEP中，
，
∴△CQP≌△CEP（AAS），
∴EF＝QP，
∵FP＝QP，
∴FP＝EP，
∴△EFP是等腰三角形．
7．（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°．
∵DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE；
（2）解：∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
8．（1）证明：∵∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，
∴∠AFB＝60°，
∴∠AFE＝∠AFB，
∵∠BEQ＝30°，
∴∠EBF＝30°，
∴∠BEQ＝∠EBF，
∴FE＝FB，
在△FEA和△FBA中，
，
∴△FEA≌△FBA（SAS），
∴AE＝AB；
（2）解：∵∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°，
∴∠AEB＝76°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝76°，
∴∠BAE＝28°．
9．解：设∠DBC＝x，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝x，则∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x＝∠A+x，
∴∠A＝x，
∴x+2x+2x＝180°，
解得，x＝36°，
∴∠A的度数为36°．
10．解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）连接OA，OB，OC，
∵△ADE的周长7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周长为15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
11．解：（1）∵DE垂直平分线段AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠DBC＝∠ABD，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A＝30°，
∴∠ABD＝∠A＝30°；
（2）∵∠CBD＝∠ABD＝30°，∠C＝90°，
∴BD＝2CD，
∵AD＝BD，
∴AD＝2CD．
12．解：（1）BD＝DE，理由如下：
∵等边△ABC，BD⊥AC，
∴CD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC＝∠ACB，
∵CE＝BC，
∴CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACD是△CDE的外角，
∴∠ACD＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠CBD，
∴BD＝DE；
（2）∵等边△ABC，
∴等边三角形的相应的高线，中线，角平分线重合，
∴可把BD改为：BD是边BC的中线或BD是∠ABC的平分线．
13．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC＝30°，AD＝DC，
∵BD＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE．
故答案为：①③；②．
14．（1）证明：∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴CD＝BD，∠ABC＝∠ACB，
∴BF＝CF，
∴∠CBF＝∠BCF，
∴∠ABC﹣∠CBF＝∠ACB﹣∠BCF，
∴∠ABF＝∠ACF；
（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝48°，
∴∠ABC＝∠ACB＝66°，
∵BE⊥AC，
∴∠ABF＝90°﹣∠BAC＝42°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝24°，
由（1）得：∠CBF＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BCF＝24°，
∴∠CFE＝∠CBF+∠BCF＝48°．
15．（1）证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE；
（2）①解：∵AC＝BC，BE＝CE，AE＝AC，
∴∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE，
∴∠ACE＝∠AEC＝2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠B+∠B+∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°；
②解：AB﹣AC＝BC﹣DE，理由如下：
∵∠DCE＝∠DEC＝36°＝∠B，
∴∠BDE＝72°，
∴∠BED＝72°＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴AB﹣AC＝BC﹣DE．
16．解：（1）∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠AED＝90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠C＝∠A＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣2×65°＝50°，
∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°；
（2）∠CFD＝∠ABC，理由如下：
∵AB＝BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD＝90°，
∠CBF+∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝∠CBF，
∴∠CFD＝∠ABC．
17．证明：∵∠A＝90°，
∴CA⊥AB，
∵ED⊥CA，
∴ED∥AB，
∴∠DGC＝∠AFC，
∵∠EGF＝∠DGC，∠CFE＝∠AFC，
∴∠EGF＝∠CFE，
∴EF＝EG．
18．（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝50°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°．
19．解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝8，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝12cm，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣2t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝2BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，当t为6s或s时，△PBQ是直角三角形．
20．证明：如图
：
（1）∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
（2）∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，AF＝AP，
∴AB＝PC．
