函数与导数-广东省广州市高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东广州·统考二模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116 B．115 C．114 D．113
4．（2022·广东广州·统考一模）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东广州·统考三模）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·广东广州·统考三模）已知函数，则的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·广东广州·统考二模）已知函数，且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·广东广州·统考一模）已知是自然对数的底数，设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·广东广州·统考二模）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·广东广州·统考三模）对于任意都有，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·广东广州·统考三模）设为函数的导函数，已知，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递减
C．在上有极大值
D．在上有极小值
12．（2022·广东广州·统考三模）已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2022·广东广州·统考一模）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·广东广州·统考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
15．（2023·广东广州·统考二模）已知函数的定义域是（，），值域为，则满足条件的整数对可以是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·广东广州·统考一模）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·广东广州·统考二模）对于函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．任取，都有恒成立
B．
C．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
D．函数有且仅有个零点
三、双空题
18．（2023·广东广州·统考二模）在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________
四、填空题
19．（2022·广东广州·统考一模）若过点只可以作曲线的一条切线，则的取值范围是__________.
20．（2022·广东广州·统考一模）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.
21．（2021·广东广州·统考三模）已知函数的值域为，则的定义域可以是__________．(写出一个符合条件的即可)
五、解答题
22．（2023·广东广州·统考二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.
(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.
23．（2023·广东广州·统考二模）已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.
24．（2023·广东广州·统考二模）已知函数，.
(1)当时，，求实数的取值范围；
(2)已知，证明：.
25．（2023·广东广州·统考一模）已知，函数.
(1)若，证明：当时，：
(2)若函数存在极小值点，证明：
26．（2022·广东广州·统考一模）已知函数且.
(1)设，讨论的单调性；
(2)若且存在三个零点.
1）求实数的取值范围；
2）设，求证：.
27．（2022·广东广州·统考一模）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.
28．（2021·广东广州·统考三模）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为增函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
2．D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
3．C
【分析】由可得函数的周期为，
再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，
，
所以
故选：.
4．B
【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性比较可得.
【详解】由题知，
记，则
易知在上单调递减，
所以，当时，
所以，在上单调递减，故
即
又为增函数，所以.
故选：B
5．C
【分析】由已知得函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】所以是R的偶函数，．
，
又
又当，所以在(0，+∞)单调递减，
∴，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
6．A
【分析】对函数求导，利用导数求出函数的极值和单调区间，然后利用排除法可得结果
【详解】解：由，得，
令，则，得或，
所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以为极大值点，为极小值点，所以排除BD，
因为时，且，所以排除C，
故选：A.
7．B
【分析】先判断出的奇偶性，再利用导数判断出是单调性，再利奇偶性和单调性可得答案.
【详解】因为，，所以是奇函数，
，令，
则，令，则，
当时，，所以是增函数，，即，
所以当时是增函数，，所以，
在上是增函数，因为是奇函数
所以在上是增函数，
由，得，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用单调性解不等式问题，解题的关键点是利用导数判断出函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
8．A
【分析】首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.
【详解】设，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
，时，，即，
设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，
即，
令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，
得：，那么，
即，即，
综上可知.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.
9．D
【分析】将同时放大，比较的大小，从而得出答案.
【详解】，即；
，即.
所以.
故选：D
10．B
【分析】，由导数的单调性求出，所以转化为：任意恒成立，令，分类讨论值，求出，即可求出答案.
【详解】，令，
则，所以在上单调递减，在上单调递减，
所以，所以，
所以转化为：，令，，
①当时，，所以在上单调递增，所以
，所以.
②当时，您，所以，
（i）当即时，
，所以在上单调递增，，所以.
(ii)当即时，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以.
综上，的取值范围为：.
故选：B.
11．D
【分析】令，由即可得到函数单调性，判断A、B选项；由单调性结合求得，即可判断C、D选项.
【详解】由题意知：，，令，则，显然当时，，单减，
当时，，单增，故A，B错误；在上有极小值，令，则，
又，则，故在上有极小值，C错误；D正确.
故选：D.
12．A
【分析】先由和解出的范围，再由充分必要的定义判断即可.
【详解】由解得，由解得或，显然，故是的充分不必要条件.
故选：A.
13．A
【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率，利用点斜式求出切线方程.
【详解】∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
14．C
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.
【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，，
其在单调递增，在单调递减，故错误；
对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；
对：容易知是奇函数，故错误；
故选：C.
15．ACD
【分析】由是偶函数及图像可得出结论.
【详解】显然是偶函数，其图像如下图所示：
要使值域为，且，,
则，；，；，.
故选：ACD.
16．BCD
【分析】对于A选项，尝试找反例.
对于B，C选项，构造函数帮助分析.
对于D选项，设，再研究函数零点所在范围.
【详解】对于A选项，当时，.
设，其中.
则，故在上单调递增.
又，，则，使.
即存在，，使.
但此时，.故A错误.
对于B选项，
.设，其中.则.
得在上单调递增.
注意到.
则.又在上递增，
则有.故B正确.
对于C选项，由B选项可知，则由，
有.故C正确.
对于D选项，因，，
则.设，其中.
则.
设，其中.则，
得在上单调递增.
（1）若，注意到，，则，使.即，
则，设，则，
得在上单调递减，则.
（2）当，，注意到.
则，此时.
（3）当，注意到
则，又由（1）分析可知在上单调递增.
则.
综上，有.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.
对于A选项，直接证明较为复杂，故尝试找反例.
对于B，C选项，在与同时出现的题目中，常利用使出现相同结构.
对于D选项，将看作参数，并设简化运算.
17．BC
【分析】作出的大致图象，然后逐项分析：
A．根据在处的取值进行分析；
B．根据取值特点进行计算并判断；
C．根据图象对应的最值点进行分析；
D．结合图象并根据的取值进行判断.
【详解】作出的大致图象如下图所示：
A．取，所以，
所以，故错误；
B．因为，
所以，故正确；
C．显然不符合条件，
由图象可知：的最大值点为，，
所以若不等式恒成立，只需，即，
又因为，所以在上递减，
所以，所以，故正确；
D．令，当时，，，
又，所以，
所以，所以在上有零点，
又因为，所以是的一个零点，
又因为，且时，，所以，
所以在上有零点，所以至少有三个零点，故错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分段函数的分析以及作出函数图象，通过图象可分析出的最值以及的取值特点，从而可计算出函数值的和以及解决不等式恒成立、零点问题.
18． /0.5
【分析】作出平面区域并计算平面区域的面积；设，，显然，，，求的最小值，即的最小值，的最大值，令，对函数求导，得到单调性，可求出最值，即可求出的最小值.
【详解】设，，
当时，则，即，
当时，则，即，
当时，则，即
当时，则，即，
故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形的面积：
则.
如下图，设，，显然，，
，
求的最小值，即的最小值，的最大值，
又，下面求的最小值，
令，，即，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，有最小值，且，
所以.
故答案为：；.
19．
【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为，则得切线方程，
过点，则，构造函数，
确定函数的单调性及取值情况，即可得的取值范围.
【详解】解：函数的定义域为，则，设切点坐标为，
则切线斜率为，故切线方程为：，
又切线过点，则，
设，则得，或，
则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，
又时，，时，，
所以有且只有一个根，且，则，故的取值范围是.
故答案为：.
20．
【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线，切点到直线的距离即为最小距离.
【详解】设，，
设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，
则有，得，，即
如图所示：
此时到直线的距离最小，.
故答案为：
21．（答案不唯一）
【分析】利用导数求出函数的单调性，再求出时所对应的自变量，即可求解.
【详解】，
令可得，
所以当或时，，当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
且，
由此可知定义域可以是，
故答案为：（答案不唯一）
22．(1)
(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值
【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程；
（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值及其对应的值.
【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，
由题意可得，
，则，
所以，关于的回归方程为.
（2）解：由可得，
年利润
，
当时，年利润取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.
23．(1)
(2) 或
【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得 ，
所以C的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，
联立，
所以，
设直线的倾斜角为，则
所以，
所以 ，
由题意可知四边形为梯形，所以 ，
设，则 ，
所以，
当单调递增，当单调递减，
所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为： ，即 或
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．必要时也可以利用导数求解最值.另外在解析几何中还要注意向量的应用.
24．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）证明出，在时，可得出，在时，，分析可知，综合可得出实数的取值范围；
（2）由（1）变形可得，令，可得出，可得出，，证明出，可得出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：令，则，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，，即，
所以，当时，，即，
当时，取，
由于，而，得，
故，不合乎题意.
综上所述，.
（2）证明：当时，由（1）可得，则，
可得，即，即，
令，所以，，所以，，即，
所以，，，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，故，则，
所以，，，
所以，
.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
25．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把代入，构造函数，借助导数确定单调性推理作答.
（2）由给定条件确定a的取值范围，再分段讨论函数的极小值点及极小值推理判断作答.
【详解】（1）若，则，设，
，设，
，则在上单调递增，，即，
于是在上单调递增，，即，
所以当时，.
（2）函数，其定义域为，
，
由（1）知在上单调递增，，
当时，，当时，，
则由，解得或，其中且，即且，
否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在上单调递减，因此是的极小值点，，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在单调递减，因此是的极小值点，
，又，于是，
综上所述，函数存在极小值点.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
26．(1)答案见解析
(2)1）；2)证明见解析
【分析】(1)先求的导函数,再分类讨论即可.
(2)1)根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.
2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.
【详解】（1）,,
因为,定义域为
当时,,解,得,解,得
当时,,解,得,解,得
综上, 当时, 增区间为,减区间为,
当时, 增区间为,减区间为,
（2）1）因为且存在三个零点.
所以有3个根
当时, ,
在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.
当,,即有两个根,
令,可转化为与有两个交点
,
可得,,是单调递增的, 可得,,是单调递减的,
其中,当,
所以可得,
即得.
2）因为且存在三个零点.
设，,易知其中 ,,
因为,所以,故可知;①
由1）可知与有两个交点,
,是单调递增的, ,,,所以;②
,
若,则
若,
构造函数,
设,
因为
又因为,
所以③
因为
又因为
所以
即得④
由③④可知, ,在上单调递增, 可得
,可知与同号
所以,
在上单调递增.
,,又由1)可知
所以,
,,是单调递增的,
所以⑤
由①②⑤可知
【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,
证明的方法总结:先构造,再确定的单调性,
结合特殊值得到再利用单调性可得.
27．(1)
(2)
【分析】（1）将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况.
（2）分三种情况讨论，将不等式恒成立问题转化成求即可.
【详解】（1）当时，显然不满足题意
当时，若函数只有一个零点，
即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线与函数（且）的图像只有一个交点.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
在时有极小值，图像如图所示：
由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，
则或，
综上.
（2）恒成立，
等价于，
令（），
，
①若时，，
所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则，，
所以在上单调递增，
当时，，不成立
故不满足题意.
③若时，令，，
，，
，单调递减，
，单调递增，
只需即可，
，，
令
，在上单调递增，
，时，，
，，
所以在上单调递增，
，即，
综上：
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
28．（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）求出函数的定义域为，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）利用参变量分离法可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，且.
①当时，，若，则；若，则.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
②当时，，令，可得（舍）或.
若，则；若，则.
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
③当时，.
（i）若，即当时，对任意的，，
此时，函数在上为增函数；
（ii）若，即当时，由可得或，且.
由，可得或；
由，可得.
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
当时，函数在上为增函数；
（2）由，可得，即对任意的恒成立，
令，其中，，
令，其中，则，.
所以，函数在上单调递减，则，
所以，函数在上单调递减，故，
所以，当时，，此时函数在上单调递增，
当时，，此时函数在上单调递减.
所以，，.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
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