蓉城联盟2023届高三第三次联考
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门．学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：
中位数m
评价 优秀 良好 合格 不合格
评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查对后勤部门的评价是
A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
4．双曲线C：的离心率为，其渐近线方程为
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，，则
A． B． C． D．
6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为
A． B． C．28 D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是
A．－2 B．－1 C．1 D．2
8．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性．美国物理学大师John Wheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人．koch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；
第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；
同样的制作步骤重复下去，可以得到，，…，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线．
若下图中的边长为1，则图形的周长为
A．6 B． C． D．
9．将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是
A． B． C． D．
10．已知直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是
A．， B．，
C．， D．，
11．如图，在梯形ABCD中，，，，将△ACD沿AC边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为20π，则
A．8 B．4 C． D．2
12．设函数，其中，e是自然对数的底数（…），则
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设i是虚数单位，复数的模长为 ．
14．函数的零点个数为 ．
15．如图，在△ABC中，，．延长BA到点D，使得，，则△ABC的面积为 ．
16．若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求；
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
18．（12分）
随着蓉城生态公园绿道全环贯通，环城绿道骑行成为最热门的户外休闲方式之一．环城绿道全程约100公里，不仅可以绕蓉城一圈，更能360度无死角欣赏蓉城这座城市的发展与魅力．某位同学近半年来骑行了5次，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表
身体综合指标评分（x） 1 2 3 4 5
用时（y/小时） 9.5 8.6 7.8 7 6.1
（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归方程．
参考数据和参考公式：
相关系数，，，．
19．（12分）
如图，正三棱柱的体积为，，P是面内不同于顶点的一点，且．
（1）求证：；
（2）经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．
20．（12分）
已知椭圆E：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：与x轴交于点M，过M作直线，，交E于A，B两点，交E于C，D两点．已知直线AC交l于点G，直线BD交l于点H．试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
21．（12分）
已知函数，其中．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意的，都有．
（ⅰ）求实数m的取值范围；
（ⅱ）证明：对任意的，都有．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线及曲线的直角坐标方程；
（2）设点A在曲线上，点B在曲线上，求的最小值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知，，，且，证明：
（1）；
（2）若，则．
2023届高三第三次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B B D A A D C B C B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．1 15． 16．6
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：
（1）设的公差为d，由得，，解得，
而，即，
于是，，
∴；
（2）由得，
∴数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴．
18．（12分）
解：
（1），，
，，，
∴，
相关系数近似为－1，说明y与x的相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2）由（1）中数据，，
，
∴y关于x的回归方程为．
19．（12分）
解：
（1）设线段BC的中点为F，则，
∵，，AP为公共边，
∴，
∴，
∴，又，
∴BC⊥面APF，
∴；
（2）设线段的中点为D，由题意，点P在线段上，
由，得，
∴三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，
∵AP⊥面BCE，
∴，
∴点E在以AF为直径的圆上，如图，易知，
从而，
由（1）知PF⊥BC，DF⊥BC，
∴∠PFD为二面角的平面角，，
如图，以F为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
于是，，从而，
∴二面角平面角的余弦值为．
20．（12分）
解：
（1）由题意，，，解得，
代入点得，解得，，
∴椭圆E的方程为：；
（2）由题意，，当，斜率都不为0时，设：，：，
，，，，
当时，由对称性得，
当时，联立方程，得，恒成立，
，，
同理可得：，，
直线AC方程：，
令，得，
同理：，
∵
，
∴，
当，斜率之一为0时，不妨设斜率为0，则，，
直线AC方程：，
直线BD方程：，
令，得，，
∵，
∴，
综上：．
21．（12分）
解：
（1）当时，的定义域为，
，
当时，；当时，，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（ⅰ），
①当时，，（不合题意）；
②当时，，（不合题意）；
③当时，，当，；当，
∴在上单调递减；在上单调递增，
∴当时，的最小值为，
于是，
∴，解得或，
∵，
∴，
综上所述，实数m的取值范围为
（ⅱ）由（ⅰ）可知当时，，即，
当且仅当时取等，
令，则，即，
令，则，有．
22．（10分）
解：
（1）由变形得，
则有，
∴曲线的直角坐标方程为，
∵，即，
由，代入得，，
∴曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线是以为圆心，的圆，
∴，
设，，
则，
设，
∴，
∴当时，，
∴．
23．（10分）
解：
（1）由，得，
由柯西不等式有，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当，，时等号成立：
（2）由可得
，
当且仅当时取等，
由（1）可得，当且仅当，，时等号成立，
从而，当且仅当，，时等号成立．
解析：
1．解：，，∴，故选D．
2．解：原式，故选C．
3．解：中位数，∴评价是良好，故选B．
4．解：由，∴，∴渐近线方程为，故选B．
5．解：利用计算即得，故选D．
6．解：由三视图可知该四棱台为正四棱台，且腰长为，则该棱台的高为，∴棱台的体积，故选：A．
7．解：当时，，∵是上的奇函数，∴的值域，∴的最小值是－2，故选A．
8．解：图形的边数为，边长为，∴周长为，∴时，周长为，故选D．
9．解：采用插空法得，故选C．
10．解：∵，
又∵直线，是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，
∴，即，
令，，解得，，
∴的单调递增区间是，，故选B．
11．解：如图，设M为AC的中点，为AB的中点，为△APC的外心，O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则面ABC，面APC．由题意得，∴为△ABC的外心，设外接球半径为R，则，即，而，∴，在△APC中，易得，即，由得，∴四边形为平行四边形，而面ABC，即，∴四边形为矩形，即面APC，∴BC⊥面APC，
∴，，故选C．
12．解：令，则，且，，
当，，∴存在一个较小的数使得都有，
当时，，∴存在一个较小的数使得都有，∴A，C都不正确，
对于选项B，当，则显然成立，当时，即证明，也即证明，，的最小值为，的最大值为，
∴，注意不同时取等，∴，∴选项B正确，
对于选项D，当时，（成立），即所以选项D不正确．
故选B．
13．解：，∴模长为．故答案为．
14．解：注意到，作图易知零点个数为1，故答案为1．
15．解：在△ADC中，由正弦定理，即，
∴，，在△ABC中，由正弦定理可得，
∴，故答案为．
16．解：设，，AB中点，设斜率为k，则，
相减得：，
∵，即，设抛物线的焦点为F，，
∴，当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
此时满足在抛物线内部，
∴的最大值为6，故答案为6．
