绝密★考试结束前
2022 学年第二学期温州十校联合体期中联考
高二年级数学试题参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A C B D B D
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 ABC CD BCD AB
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。
11 7 3
13. 8； 14. 0.6； 15. [ , ) 16.
6 3 2
二、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（1） f (x) = 3 sin xcos x + cos
2 x --------------1 分
3 1 1 1
f (x) = sin 2x + cos 2x + = sin(2x + ) + --------4 分
2 2 2 6 2
（注：正余弦二倍角公式，辅助角公式，一个运算正确得 1 分）
令2k 2x + 2k + ---------5 分
2 6 2
所以函数 f (x) 的单调递增区间为[k ,k + ], (k Z ) -------------6 分
3 6
7
（2）因为 x 得： 2x + -------------7 分
8 2 12 6 6
1
所以 sin(2x + ) 1 -------------9 分
2 6
（注：上述不等式两侧，计算正确一侧，得 1 分）
3
所以函数 f (x) 的值域为[0, ] -------------10 分
2
1
18.（1）由题意可得如下列联表：
方案/人数 恢复期长 恢复期短 合计
甲 10 45 55
乙 20 30 50
合计 30 75 105
零假设：“恢复期长短”与“治疗方案”无关
2 n(ad bc)
2 105(10 30 45 20)2 336
= = = 6.11 3.841----3 分
(a+b)(c+ d)(a+ c)(b+ d) 55 50 30 75 55
2
（注：数据正确代入 公式，得 2 分）
有 95%的把握认为“恢复期长短”与“治疗方案”有关. ------------4 分
（2）由分层抽样得，抽取恢复期长的为 4 人，恢复期短的为 6 人-----------5 分
根据题意X 可取 0，1，2，3
C3 1 26 20 1 C C 60 1P(X = 0) = = = P(X =1) = 4 6 = =
C3 120 6 C310 10 120 2
C2C1 36 3 C3
P(X = 2) = 4 6 = = P(X = 3) = 4
4 1
= = ------------7 分
C310 120 10 C
3
10 120 30
（注：四个概率计算，全部正确得 2 分；只要有一个计算正确，得 1 分）
可得X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1
E(X ) = 0 +1 + 2 + 3 =1.2 --------------9 分
6 2 10 30
（注：分布列正确得 1 分，期望正确得 1 分）
（3）因为Y N (5,1)，所以 = 5, =1
又因为P(5 2 X 5+ 2) = 0.9544 -————11 分
所以 7 天后有大于 95%的把握恢复健康. -------------12 分
（注：直接得出正确结论，得 1 分）
19.（1）选择条件①：
2
由题意及正弦定理知 (b+ c)2 = a2 +3bc， a2 = b2 + c2 bc ，-------------- 2 分
b2 + c2 a2 1
cos A = = --------------------3 分
2bc 2
π
0 A π， A = --------------------4 分
3
2 5 5
选择条件②：因为cos + A + cos A =
2
，所以sin A+ cos A = ， ---------1 分
2 4 4
2 5
即1 cos A+ cos A = ，--------------------2 分
4
1
解得cos A = ，又0 A ，----------------3 分
2
所以 A = --------------------4 分
3
sin( +C)
b c sin B
（2）由 = 可得b = = 3 ----------------6 分
sin B sin C sin C sin C
（注：正弦定理正确得 1 分，正确处理B 角得 1 分）
3 1
cosC + sinC
b = 2 2
1 3 1
= + --------------8 分
sinC 2 2 tanC
（注：两角和得正弦公式展开正确得 1 分）
2
因为 ABC 是锐角三角形，由（1）知 A = ， A+ B +C = 得到B +C = ，
3 3
0 C 2 1
故 ，解得 C 所以 b 2 -------------10 分
2 6 2 20 C
3 2
（注：角C 得不等式组书写正确，得 1 分）
1 3 3 3
S ABC = bcsin A = b, S ABC ( , ) -------------12 分
2 4 8 2
（注：面积公式书写正确得 1 分）
20.（1）取线段BC 的中点M ,连接 AM .
AC = AB， AM ⊥ BC，----------1 分
平面 ABC ⊥平面 A BC ，平面 ABC 平面1 A1BC = BC
3
AM ⊥平面 A1BC， AM ⊥ A B ----------3 分 1
又 A1B ⊥ AB ， AB A1B = A A B ⊥平面 ABC --------4 分 1
A1B ⊥ AC ----------5 分
（2）方法一：等体积法
1 1 1 3
VC A AB =VC A AB =VA ABC = S A B = 2
2 A
1 1 1 1 ABC 1 1
B = 3 ，
3 3 2 2
则 A B = 3 ----------7 分 1
设点B 到平面 AA1C1C 的距离为h .
1 1 1
VB A AC =VA ABC ，即 S h = 3 ，即 AA C 2 2 3 h = 3 ， 1 1 3 1 3 2
3
则 h = ----------10 分
2
h 3 3
所以sin = = 直线 AB 与平面 AA1C1C 所成角的正弦为 .-------12 分
AB 4 4
方法二：定义法
作BG⊥ AC，连接 A1G. ,
过 B 作BH ⊥ A1G于 H ,连接 AH.------7 分
AC ⊥ A1B，BG A1B = B
AC ⊥平面BGA1，
又 AC 平面 AA1C
平面 AA1C1C ⊥平面 A1BG 平面 AA1C1C 平面 A1BG = AG , BH 平面 A， 1
BG
BH ⊥平面 AA1C1C
BAH 是直线 AB 与平面 AA1C1C 所成角----------10 分
3
在直角 A1BG中， A B = 3， BG = 31 ， BH = ，
2
BH 3
在 Rt A1BG 则sin BHA = =
BA 4
4
3
直线 AB 与平面 AA1C1C 所成角的正弦为 .-------12 分
4
方法 3：向量法
①建立正确的空间直角坐标系，得 1 分 ② AB 向量的坐标正确，得 2 分
③平面 AA1C1C 法向量坐标正确，得 2 分 ④结果正确，得 2 分
21. （1）设该产品的质量指标值的第 70 百分位数为m，
0.06
由频率直方图可知m = 10 + 45 46.7 .---------------------- 4 分
0.36
（2）①先分析该产品质量指标值的平均数：
由频率分布直方图可知，产品质量指标值的平均数为
m =10 0.02 + 20 0.08+ 30 0.22 + 40 0.32 + 50 0.36 = 39.2 35
故满足认购条件①.----------------------8 分
②再分析该产品的单价平均利润值：
由频率分布直方图可知，新型机器生产的产品为一、二、三等品的概率估计值分别
为：0.36,0.54,0.1，故 2000 件产品中，一、二、三等品的件数估计值为：720,1080,200
件，则 2000 件产品的总利润为：
7 1
w1 = 720 (10 + 0 ) = 6300 元------------9 分
8 8
3 2
w2 =1080 (5 2.5 ) = 2160元---------------10 分
5 5
2 3
w3 = 200 (0 5 )= 600 元------------------11 分
5 5
w= 6300+2160 600= 7860元
故 2000 件产品的单件平均利润的估计值为7860 2000=3.93<4
故不满足认购条件②.
综上，该新型机器没有达到该企业的认购条件.----------------------12 分
（注：若按抽取的 200 件产品来计算平均利润，和上述评分标准一致）
5
f ( 3) = a
22.（1）函数 f (x)在区间 3,a 单调递减，所以 ，
f (a) = 3
9+ 6a +b = a
即 ----------------2 分 2 2
a 2a +b = 3
解得a = 2(a 3),b =1----------------------3 分
g (x) , f (x) g (x)
（2）（i）由题意可得，h(x) = ，
f (x) , f (x) g (x)
若h(x) = g (x)在R 恒成立，则 f (x) g (x)在R 恒成立，
x2 即 (2a+1) x+a+b 0， ----------------- 5 分
1
= 4a2
2
+1 4b 0 ， 所以b a ，即证--------------6 分
4
（ii）方法 1：由题意可得，
当函数 y = f (x)与函数 y = g (x)的图像无交点或只有一个交点时，
方程 y = h(x) = g(x) = a只有一个实根，不符题意；
当函数 y = f (x)与函数 y = g (x)图像的两个不同交点位于对称轴 x = a的同一侧时，方程
y = h(x) = a只有一个实根，不符题意；--------------------- 7 分
以下求解，函数 y = f (x)与函数 y = g (x)图像的两个交点位于对称轴 x = a的两侧时，实
数a的取值范围：
设函数 y = f (x)图像与函数 y = g (x)的图像交于 A, B两点， A(x1, y1), B(x2 , y2)
y = x2 2ax+b
化简得 x
2 (2a+1) x+a+b = 0，
y = x a
= (2a +1)
2 4(a +b) 0 x1 + x2 = 2a +1
，
(x1 a)(x a) = x x
2 x x = a +b
2 1 2 a(x1 + x2 )+ a 0 1 2
a2 b
(2a +1)
2 4(a +b) 0
即 ，解得 1 ，
a +b a(2a +1)+ a2
2
0 a + b
4
a2 1
所以 1 ，a 1或a 1 .----------------------9 分
a2 + 1
4
6
2a+1 4a2 +1 4b 2a+1+ 4a2 +1 4b
x = , x ， 1 2 =
2 2
2a+1 4a2 +1 4b 1 4a2 +1 4b
yA = xA a = a = ，
2 2
2
f (x) = x2 2ax +b = (x a) +b a2 ，
1 4a2 +1 4b
所以，b a2 a ， -----------------11 分
2
2 2 1+ 5
b a + a 0 a + a 1 a 1或a
即 ， 得 2 ，
2
4a +1 4b 1 2a
2
4a +1 4b 1 2a 2
4a +1 4b 1 2a
当a 1时， 4a2 +1 4b 1 2a无解，
1+ 5 2
当 a 时， 4a2
2
+1 4b 1 2a，4a +1 4b (1 2a) ,b a显然成立，所
2
1+ 5
以 a
2
1+ 5
综上所述，a .----------------------12 分
2
评分标准说明（其他方法有同等步骤的相应给分）：
f ( 3) = a
第（1）题有 就给 2 分，算对答案，给 1 分，共 3 分；
f (a) = 3
第（2）题（i），联立，得 0给 2 分，化简得出结论，给 1 分，共 3 分；
第（2）题（ii），分析得出两函数的交点交于对称轴的同一侧或无交点时是单调函数给 1
分，两交点处于对称轴的异侧且得出a 1或a 1给 2 分，求出不等式
2 1 4a
2 +1 4b 1+ 5
b a a 给 2 分，最后解出答案a 给 1 分，共 6 分.
2 2
（ii）方法 2：
因为h(x) = a 有三个零点，及 f (x), g(x) 的函数特征
2
所以 g(x) = x a = a有一个根， f (x) = x 2ax+b = a有两个不同的根，三根互不相同
----------------------8 分
7
f (2a) = 4a2 4a2令 g(x) = x a = a，则 x = 2a ，则要求 +b a恒成立，a 1①
---------------------9 分
令 f (x) = x2 2ax+b = a有两个不同的根，即 x2 2ax +b a = 0 有两个不同的实数根
则 = 4a2 4b + 4a 0 恒成立，即a2 + a b，a2 + a 1，
1+ 5 1 5
所以a 或 a ② ----------------------10 分
2 2
2a + 2a
设方程 x2 2ax +b a = 0 的两根为 x1, x2 ，不妨设 x1 = , x2 = ,
2 2
2a +
a a
f (x1) g(x )
2
1 2a
则要求 恒成立，即 2a ，即a a, a 1③
f (x2 ) g(x2) a a 2 2
----------------------11 分
1+ 5
由①②③可得：a ----------------------12 分
2
8绝密★考试结束前
2022 学年第二学期温州十校联合体期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 6 页满分 150 分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 设集合 A x x2 4x 3 0 , B x 2 x 0 则 A B ( ▲ )
A. ( 3, 2) B. ( 3,2) C. (1,2) D. (2,3)
1 1
2. “a b 0”是“ ”的( ▲ )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知复数 z 满足 z (2 i) 1（ i 为虚数单位），则在复平面复数 z 所对应的点在( ▲ )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4
4. 对于函数 f (x) sin(2x )，下列说法正确的是( ▲ )
3
A. 函数 f (x) 的图象可以由函数 y sin 2x的图象向右平移 个单位得到
3
B. 函数 f (x) 的图象可以将函数 y sin(x )图象上各点的纵坐标不变，
3
横坐标伸长到原来的 2 倍得到
C. 若 a b且 f (a) f (b) 0,则 a b 的最小值为
2
D. 若 f (x ) 为偶函数，则 k ,k Z
2 3
5. 如右图，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O上，PA 平面 ABC,
AB BC, PA 2, AB 1, BC 3,则球O的表面积是( ▲ )
高二数学学科 试题 第 1 页(共 6 页)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6. 已知实数a,b,c，其中2a log1 a, logb 2 2, c lg 2 lg3 lg7 ，则a,b,c的大小关系
2
是 ( ▲ )
A. c b a B. b c a C. a b c D. b a c
7. 2023年2 月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后
的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去 A、B 、
C 三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学校，
丙不到 A学校，则不同的安排方式有多少种( ▲ )
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种
8. 点 A在线段BC 上（不含端点），O为直线BC 外一点，且满足OA aOB 2bOC 0，
2 1
则 的最小值为( ▲ )
3a 4b a 3b
9 9 8 8
A. B. C. D.
7 5 7 5
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
3
9. 下列四个选项中，计算结果是 的是( ▲ )
2
cos2 15 sin2A. 15 B. sin73 cos13 sin17 sin167
tan
16
C. sin( ) 12 D.
3 2 1 tan
12
10. 关于平面向量，有下列四个命题，则( ▲ )
A. 已知向量a (2,t),b (t 2,4),若a / /b，则 t 4
B. 设向量a ，b ， c ，则 (a b)c a(b c)
C. 若向量a 和向量b 是单位向量，且 a,b ，则 (2a b) b
3
4 8
D. 若向量a ( 2, 1)，b (1，2)，则向量a 在向量b 上的投影向量是 ( , )
5 5
高二数学学科 试题 第 2 页(共 6 页)
11. 一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2 个球，每次
取1个.记事件 A 为“第 i 次取到的球是红球（i i 1,2）”，事件 B 为“两次取到的球颜色相同”，
事件C 为“两次取到的球颜色不同”，则( ▲ )
1 1
A. A 与 A 互斥 B. 1 2 P(A2 ) C. P(A C) D. A 与B 相互独立 1 1
2 2
12. 是定义在 上的奇函数，且满足 xf (x) R f ( 2x 4) f (2x),当0 x 1时， f (x) 2 1，
则下列选项正确的是( ▲ )
A. 4 是函数 f (x) 的一个周期 B. x 1是函数 f (x) 图象的一条对称轴
2023
C. 函数 f (x 2)是偶函数 D. [(k 1) f (k)] 2024
k 1
非选择题部分
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。
(1 x)(2 x)4 x213. 的展开式中 的系数为 ▲ .（用数字作答）
14. 已知变量 x 和 y 的统计数据如下表：
x
2 1 0 1 2
y 5 2 2 1
由表中的数据得到线性回归方程 y x 2.6，那么当 x 1时残差为 ▲ .
(注：残差 观测值 预测值)
7
15. 已知函数 f (x) cos( x )( 0) 在区间 ( , 2 ]上有且只有 3 个零点，
6 6
则 的取值范围是 ▲ .
16. 已知 ABC为正三角形，其边长是2 ，空间中动点 P 满足：直线 AP 与平面 ABC 所成角为60 ,
则 PBC面积的最小值为 ▲ .
高二数学学科 试题 第 3 页(共 6 页)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）已知m ( 3cos x,cos x),n (sin x,cos x) ，函数 f (x) m n
（1）求函数 f (x) 的单调递增区间； （2）若 x [ , ]，求函数 f (x) 的值域.
8 2
18.（本小题满分 12 分）中国国家流感中心 3月 2 日发布的 2023年第 8周流感检测周报称：
本周南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升.某医院用甲、乙两种疗法治疗流感患者，
为了解两种治疗方案的效果，现随机抽取105名患者，调查每人的恢复期，得到如下列
联表（注：恢复期大于 7 天为恢复期长）
方案/人数 恢复期长 恢复期短
甲 10 45
乙 20 30
（1）是否有 95%的把握认为“恢复期长短”与治疗方案有关；
（2）现按分层随机抽样的方法，从采用乙治疗方案的样本中随机抽取10人，
从这10人中再随机抽取 3人，求其中恢复期长的人数 X 的分布列和期望.
（3）假设甲方案治疗的恢复期为Y ，统计发现Y 近似服从正态分布 N(5,1) ,若某患者采
用甲方案治疗，则 7 天后是否有大于 95%的把握恢复健康？请说明理由.
2 n(ad bc)
2
附： =
(a b)(c d)(a c)(b d)
P( 2 x ) 0 0.1 0.05 0.010
x0 2.706 3.841 6.635
若 N( , 2) 则P( ) 0.6862, P( 2 2 ) 0.9544,
P( 3 3 ) 0.9974 .
19. （本小题满分 12 分）在 ABC中，角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，且满足 .
从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，
（1）求角 A；
（2）若 ABC为锐角三角形，且c 1，求 ABC面积的取值范围.
条件①： (b c)(sin B sinC) asin A 3bsinC
条件②： 5cos2 ( A) cos A
2 4
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
高二数学学科 试题 第 4 页(共 6 页)
20. （本小题满分 12 分）已知三棱柱 ABC A BC 中， ABC是边长为2 的等边三角形， 1 1 1
且 A , 平面 平面 ，三棱锥 的体积为 . 1B AB ABC A1BC C1 A1AB 3
（1）求证： A1B AC ；
（2）求直线 AB 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值.
21.（本小题 12分）党的二十大报告中提出:“我们要坚持以推动高质量发展为主题，推动经济实现
质的有效提升和量的合理增长”.为了适应新形势，满足市场需求，某企业准备购进新型机器以
提高生产效益.已知生产产品的质量以其质量指标值m 来衡量，并按照质量指标值m 划分产品
等级如图表 1：
质量指标值m m 45 25 m 45 m 25
图表 1
产品等级 一等品 二等品 三等品
现从试用的新机器生产的产品中随机抽取200件作为样品，检验其质量指标值m ，
得到频率分布直方图,如图表 2：
图表 2
（1）根据样本估计总体的思想，求该产品的质量指标值m 的第70 百分位数（精确到0.1）；
（2）整理该企业的以往销量数据，获得信息如图表 3:
高二数学学科 试题 第 5 页(共 6 页)
图表 3 产品等级 一等品 二等品 三等品
7 3 2
销售率
8 5 5
单件产品原售价 20元 15元 10元
未按原价售出的产品统一按原售价的50%可以全部售出
（产品各等级的销售率为等级产品销量与其对应产量的比值）
已知该企业购进新型机器的前提条件是，该机器生产的产品同时满足下列两个条件：
①质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不低于35.
②单件产品平均利润不低于4 元.
已知该新型机器生产的产品的成本为10元/件，月产量为2000件，根据图表 1、图表 2、图表 3
信息，分析该新机器是否达到企业的购进条件.
2
22.（本小题满分 12分）已知函数 f x x 2ax b, g x x a,a R,b R
（1）若函数 f x 在区间 3,a 的值域为 3,a ，求a,b的值；
f x g x f x g x
（2）令 h x ，
2
1
（i）若 h x g x 在R 上恒成立，求证：b a2 ；
4
（ii）若对任意实数b 1,1 ，方程h x a恒有三个不等的实数根，
求实数a的取值范围.
高二数学学科 试题 第 6 页(共 6 页)
