期末学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2．关于x的一元二次方程x2＝1的根是( )
A．x＝1 B．x1＝1，x2＝－1
C．x＝－1 D．x1＝x2＝1
3．用配方法解方程x2＋4x－1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x＋4)2＝5 B．(x＋2)2＝5 C．(x＋4)2＝3 D．(x＋2)2＝3
4．下列事件中，是必然事件的是( )
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有2个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次， 命中靶心
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
5．某班一同学在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又各自教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这个实验．若设1名同学每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x＋(x＋1)x＝36 B．1＋x＋(1＋x)x＝36
C．1＋x＋x2＝36 D．x＋(x＋1)2＝36
6．若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是( )
A．3 －3 B. C．1 D．3
7．定义运算：a*b＝2ab, 若a、b是方程x2＋x－m＝0(m>0)的两个根，则(a＋1)*b＋2a的值为( )
A．m B．2－2m C．2m－2 D．－2m－2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cos α＝，AB＝4，则AC的长为( )
INCLUDEPICTURE"HS26.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\HS26.tif" \* MERGEFORMATINET
(第8题)
A．3 B. C. D.
9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连结AC、BD，则的值为( )
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE"2022SXJ6.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ6.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"23JQM-1.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23JQM-1.tif" \* MERGEFORMATINET
(第9题) (第10题)
10．如图，正方形ABCD的边AB＝3，对角线AC和BD交于点O，P是边CD上靠近点D的三等分点，连结PA、PB，分别交BD、AC于点M、N，连结MN.有下列结论：①OM＝MD；②＝；③MN＝；④S△MDP＝，其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
11．计算：＋＝________．
12．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为________．
13．若关于x的方程x2＋(k－3)x－k2＝0的两根互为相反数，则k＝________.
14．如图，添加一个条件：__________________________，使△ADE∽△ABC.(写一个即可)
INCLUDEPICTURE"加图7.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\加图7.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"2022SXJ9.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ9.tif" \* MERGEFORMATINET
(第14题) (第15题)
15．如图，在三角形纸片ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，BF＝4，CF＝6.将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为________．
16．如图，菱形ABCD的顶点A在函数y＝(x>0)的图象上，函数y＝(k>3，x>0)的图象关于直线AC对称，且过B、D两点．若AB＝2，∠BAD＝30°，则k＝________．
INCLUDEPICTURE"2022SXJ10.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ10.tif" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
三、解答题(本题共9小题，共86分)
17．(8分)计算：－2sin 45°＋.
18．(8分)解方程：
(1)x2－2x＝0; (2)2x2－7x－4＝0.
19．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)、A(2，1)、B(1，－2)．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按2?1放大，画出△OAB的一个位似图形△OA1B1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2；
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是， 请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
INCLUDEPICTURE"2022SXJ11.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ11.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
20．(8分)如图，将Rt△AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转，得到△A′OB′，使点A的对应点A′落在AB边上，过点B′作B′C∥AB，交AO的延长线于点C.
INCLUDEPICTURE"2022SXJ12.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ12.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(1)求证：∠BA′O＝∠C；
(2)若OB＝2OA，求tan∠OB′C的值．
21．(8分)如图，已知 ABCD，点F在AB的延长线上，CF⊥AB.
(1)尺规作图：在BC边上找一点E，使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹，不写作法，不必证明)
(2)在(1)的条件下，若E为BC的中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．
INCLUDEPICTURE"23JQM-2.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23JQM-2.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
22．(10分)定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”．例如：一元二次方程x2－4＝0的两个根是x1＝2，x2＝－2，2和－2互为相反数，则方程x2－4＝0是“对称方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”：
①x2＋x－2＝0；
②x2－12＝0.
(2)已知关于x的一元二次方程x2－(k2－4)x－3k＝0 (k是常数)是“对称方程”，求k的值．
23．(10分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝AC，B是DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB.
INCLUDEPICTURE"2022SXJ13.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJ13.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
(1)若∠BAC＝90°，AC＝，求CD的长；
(2)若 ＝，求证：∠BAC＝90°.
24．(12分)某厂承接了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A、B、C、D四个等级，加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、25元，对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为27元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，绘制成如下统计图．
(第24题)
(1)分别估计甲、乙两个分厂试加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两个分厂试加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
25．(14分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P、Q分别是AD、AC边上的动点．
INCLUDEPICTURE"JHS-3.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\JHS-3.tif" \* MERGEFORMATINET
(第25题)
(1)填空：AC＝________；
(2)若AP＝3PD，且点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，求tan∠A′QC的值；
(3)设AP＝a，直线PQ交直线BC于点T，求△APQ与△CTQ面积之和S的最小值．(用含a的代数式表示)
答案
一、1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.D 8.C 9.D
10．D
二、11.5 12. 13.3
14．∠ADE＝∠B(答案不唯一)
15．5 16.6＋2
三、17.解：原式＝3－2×＋－1＝2.
18．解：(1)原方程可化为x(x－2)＝0,
∴x＝0或x－2＝0，∴x1＝0，x2＝2.
(2)原方程可化为(x－4)(2x＋1)＝0，
∴x－4＝0或2x＋1＝0，
∴x1＝4，x2＝－.
19．解：(1)如图，△OA1B1为所作．
(2)如图，△O2A2B2为所作．
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形．如图，点M为所求，其坐标为(－4，2)．
INCLUDEPICTURE"2022SXJD9.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJD9.tif" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
20．(1)证明：如图，∵B′C∥AB，
∴∠A＋∠C＝180°.
由旋转，得OA′＝OA，∴∠1＝∠A.
∵∠1＋∠BA′O＝180°，
∴∠A＋∠BA′O＝180°，
∴∠BA′O＝∠C.
INCLUDEPICTURE"2022SXJD10.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\2022SXJD10.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(2)解：如图，由旋转，得OB′＝OB，
∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＋∠4＝90°，
∴∠2＝∠4.
由(1)得，∠BA′O＝∠C，
∴△A′OB≌△COB′，
∴∠B＝∠OB′C.
在Rt△AOB中，OB＝2OA，
∴tan B＝＝.
∴tan∠OB′C＝tan B＝.
21．解：(1)如图，点E即为所求．
INCLUDEPICTURE"23JDQM-1.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23JDQM-1.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AB＝CD.
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE＝BC＝4.
∵△DCE∽△CBF，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝，
∴AB＝DC＝.
22．解：(1)①x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
∴x1＝－2，x2＝1.
∵－2和1不互为相反数，
∴不是“对称方程”．
②由题意，得，x＝±＝±2 ，
即x1＝2 ，x2＝－2 .
∵2 与－2 互为相反数，
∴是“对称方程”．
(2)设x1，x2为原方程的解，
∵该方程为“对称方程”，
∴x1＋x2＝k2－4＝0，即k2＝4，
解得k＝±2，
当k＝－2时，方程为x2＋6＝0，无解，不符合题意．
当k＝2时，方程为x2－6＝0，符合题意．
∴k的值为2.
23．(1)解：∵AD＝AC，AB＝DB，
∴∠C＝∠D，∠D＝∠DAB，
∴∠C＝∠D＝∠DAB.
∵∠BAC＝90°，∠C＋∠D＋∠DAC＝∠C＋∠D＋∠DAB＋∠BAC＝180°，
∴∠C＋∠D＋∠DAB＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DAB＝30°.
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC·tan 30°＝×＝1，
∴BC＝2AB＝2，BD＝AB＝1，
∴CD＝BD＋BC＝1＋2＝3.
(2)证明：∵＝，AB＝DB，
∴BC＝2AB，DC＝3AB.
∵∠DAB＝∠C，∠D＝∠D，
∴△DAB∽△DCA，
∴＝.
∵AD＝AC，∴AC2＝3AB2.
∵BC＝2AB，∴BC2＝4AB2.
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°.
24．解：(1)由甲、乙两个分厂试加工产品的等级条形统计图中的数据可估计：
P(甲分厂试加工出来的一件产品为A级品)＝＝.
P(乙分厂试加工出来的一件产品为A级品)＝＝.
(2)由题意可得，甲、乙两个分厂试加工出来的100件产品各等级的利润及数量如下表：
甲分厂
产品等级 A B C D
利润(元/件) 63 23 －2 －77
数量(件) 40 20 20 20
乙分厂
产品等级 A B C D
利润(元/件) 70 30 5 －70
数量(件) 28 17 34 21
因此，甲分厂试加工出来的100件产品的平均利润为
＝14(元/件)，
乙分厂试加工出来的100件产品的平均利润为
＝11.7(元/件)．
∵14＞11.7，
∴厂家应选甲分厂承接加工业务．
25．解：(1)4
(2)∵在正方形ABCD中，AB＝4，AC为对角线，
∴AD＝AB＝4，∠DAC＝∠DCA＝45°，∠ADC＝90°.
∵点A关于PQ的对称点A′落在CD边上，
∴△APQ和△A′PQ关于PQ对称，
∴AP＝A′P，∠PAQ＝∠PA′Q＝45°.
∵∠DA′Q＝∠DCA＋∠A′QC＝∠PA′Q＋∠PA′D，
∴∠A′QC＝∠PA′D.
∵AP＝3PD，AD＝4，
∴A′P＝AP＝3，PD＝1，
∴A′D＝＝2 ，
∴tan∠A′QC＝tan∠PA′D＝＝＝.
(3)如图，过点Q作直线MN⊥AD于点M，交BC于点N，则MN⊥BC.
INCLUDEPICTURE"23JDQM-2.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\23秋\\9年级\\9数HS福建\\文件\\23JDQM-2.tif" \* MERGEFORMATINET
(第25题)
∵AP∥CT，
∴△APQ∽△CTQ，
∴＝ .
设QM＝h，则QN＝4－h，
∴＝，
解得CT＝ ，
∴S＝ah＋··(4－h)
＝ah＋，
整理得ah2－(4a＋S)h＋8a＝0.
∵方程有实数根，
∴[－(4a＋S)]2－4a·8a≥0，即(4a＋S)2≥32a2.
又∵4a＋S>0，a>0，
∴4a＋S≥4 a，
∴S≥(4 －4)a .
当S＝(4 －4)a时，
由方程可得h1＝h2＝2 ，满足题意．
故当h＝2 时，△APQ与△CTQ面积之和S最小，最小值为(4 －4)a.
