邵阳县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试卷
试卷总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.
1．计算得到结果为（ ）．
A．120 B．165 C．210 D．330
2．两个女生和四个男生排成一排，其中两个女生必须排在一起的不同排法有几种（ ）
A．240 B．480
C．120 D．60
3．已知、的对应值如下表所示:
x
y
与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（ ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
5．世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．下列正确命题的个数是（ ）
①已知随机变量X服从二项分布，若，，则；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③在某市组织的一次联考中，全体学生的数学成绩，若，现从参加考试的学生中随机抽取3人，并记数学成绩不在的人数为，则；
④某人在12次射击中，击中目标的次数为X，，则当或概率最大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知均为正数，离散型随机变量的分布列如下所示：
则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．1
8．某校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“演讲团”的不同方法数为( )
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
二、多项选择题：共题共4小题，每小题5分，满分20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，）
A．， B．
C． D．
10．自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关
B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPa
C．由方程可知，样本点的残差为
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好
11．为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有64种
B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种
12．某中学积极响应国家“双减”政策，大力创新体育课堂，其中在课外活动课上有一项“投实心球”游戏，其规则是：将某空地划分成①②③④四块不重叠的区域，学生将实心球投进区域①或者②一次，或者投进区域③两次，或者投进区域④三次，即认为游戏胜利，否则游戏失败．已知小张同学每次都能将实心球投进这块空地，他投进区域①与②的概率均为p（0＜p＜1），投进区域③的概率是投进区域①的概率的4倍，每次投实心球的结果相互独立．记小张同学第二次投完实心球后恰好胜利的概率为P1，第四次投完实心球后恰好胜利的概率为P2，则（ ）
A． B．
C． D．若，则p的取值范围为
三、填空题：共题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，，，则____________.
14．对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为______．
15．已知：，则______.
16．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.
四、解答题:本大题共6个小题，其中第17题10分，第18-22题各12分，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知的展开式中倒数第三项的二项式系数为45.
（1）求展开式的第7项； （2）求所有偶数项的系数和.
18．为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．
（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；
（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．
19．如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算相关系数（精确到0.01），并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量.
相关公式，
参考数据：.回归方程中，.
20．某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表：
愿意参与 不愿参与
男性居民 15人 20人
女性居民 25人 10人
(1)从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；
(2)用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21．已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值.
22．某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
答案第1页，共2页数学期中考试卷参考答案
1．D
【分析】根据组合数的公式结合运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：D.
2．A
【分析】捆绑法：将两个女生捆绑为一个整体与其余四个男生进行全排列.
【详解】因两个女生要排在一起，所以将两个女生视为一个人，
第一步，将两个女生的整体与其余四个男生进行全排列，有种不同排法．
第二步，对于其中的每一种排法，两个女生之间有种不同排法．
由分步计数原理可知共有＝240(种)不同排法．
故选：A．
3．B
【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出的值，可得出的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由表格中的数据可得，
，
所以这组数据的样本点的中心的坐标为，
又因为点在回归直线上，所以，解得，
所以的取值分别为、、、、，
在这个数中，任取两个，取到的两个数都不大于的概率为.
故选：B.
4．C
【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式系数和为，
在中，令，得，
由，
二项式的通项公式为，
令，则，所以展开式中有理项共有3项，
故选：C
5．B
【分析】求出基本事件总数， 再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解.
【详解】不超过17的质数有：2，3，5，7，11，13，17，共7个，
随机选取两个不同的数，基本事件总数，
其和为奇数包含的基本事件有：，共6个，
所以.
故选：B
6．B
【分析】对①：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对②：根据方差公式可知方差恒不变；对③：根据正态分布的对称性即可求解；对④：根据二项分布概率的性质求解即可判断．
【详解】解：对于①：因为随机变量服从二项分布，，，
所以，，解得，故①错误；
对于②：根据方差公式（，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，故②正确；
对于③：因为随机变量服从正态分布，由，
则，则成绩不在的概率，
则，故③正确；
对于④：因为在次射击中，击中目标的次数，
所以对应的概率，
当，时，令，
即，即，
解得，因为时，
所以当时，概率最大，故④错误．
故选：B．
7．C
【解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质得到，由数学期望的计算公式得到，再利用基本不等式求的最小值及取得最小值时满足的条件，最后计算即可.
【详解】解法一：由离散型随机变量的分布列的性质得，，即.
由数学期望的计算公式得，
当且仅当即时取等号，
所以取得最小值时，随机变量的分布列为
2 14
所以.
解法二：由离散型随机变量的分布列的性质得，，即，
所以，故，当且仅当时取等号，
所以取得最小值时，随机变量的分布列为
2 14
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、概率的求解、基本不等式在最值问题中的应用，考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，渗透对数学运算核心素养的考查.
8．C
【详解】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C.
【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
9．BCD
【分析】根据正态分布的知识确定A选项正确性，根据对称性确定BCD选项的正确性.
【详解】依题意，所以，
即，，故A选项错误.
由于，所以，故B选项正确.
由于，所以，故C选项正确.
由于，，故D选项正确.
故选：BCD
10．ACD
【分析】根据散点图即可得出A项；根据回归方程的含义可判断B项；根据残差计算公式求出残差，可判断C项；根据实际大气压强不能为负，可判断D项.
【详解】对于A项，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低，所以大气压强与海拔高度负相关，故A项正确；
对于B项，回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B项错误；
对于C项，当时，，又由散点图知观测值为，所以样本点的残差为，故C项正确；
对于D项，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程的预报效果更好，故D项正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有（种），所以A错误；
对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有（种），所以B正确.
对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲 乙在同一组，有1种分组方法，
又甲 乙两人不能去地，所以安排甲 乙一组到地或地，有2种情况，
剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时不同的安排方法有（种）；
若甲 乙不在同一组，有种分组方法，又甲 乙两人不能去A地，
所以安排没有甲 乙的一组去地，甲 乙所在的两组安排到，两地，有种情况，
此时不同的安排方法有（种），则不同的安排方法共有（种），
所以C错误；
对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，此时不同的安排方法有（种），所以D正确.
故选：BD.
12．AC
【分析】对四个选项一一判断：
对于A：利用概率的范围直接判断；对于B：利用概率的乘法直接求解；对于C：根据游戏规则利用概率乘法直接求解；对于D：分别表示出，列不等式求出p的取值范围.
【详解】对于A：小张同学投进区域③的概率为4p，投进区域④的概率为1－6p，故，正确；
对于B：小张同学第二次投完实心球后，恰好游戏过关包含“第一次未投中区域①或者②，第二次投中区域①或者②”和“第一次与第二次均投中区域③”两个事件，则概率，错误；
对于C：第四次投完实心球后，恰好游戏胜利，则游戏胜利需前三次投完后有一次投进区域③且有两次投进区域④，因此，正确；
对于D：，令2p(12p－1)(18p－5)＞0，得或，又，所以，错误．
故选：AC．
13．0.75（或填）
【分析】利用条件概率公式即得.
【详解】.
故答案为：0.75.
14．
【分析】根据散点图直接求解即可.
【详解】由散点图可知，
所以.
故答案为:.
15．
【分析】令，则，再利用展开式通项公式即可求出结果.
【详解】令，则，
故，
故答案为：.
16．66
【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.
【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故答案为：66
（1），∴，则；（2）由题意可得，所有偶数项的系数和即所有偶数项的二项式系数和，都等于。
18．（1）；（2）分布列见解析，期望为
【解析】（1）计算“每台新型防雾霾产品不能销售”的对立事件“每台新型防雾霾产品能销售”的概率，可得结果.
（2）列出所有可能取值，并计算每个值所对应得概率，然后列出分布列并计算期望，可得结果.
【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”
事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”
所以
所以
（2）根据（1）可知，
“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为
“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为
所有的可能取值为：，，，
则
所以的分布列为
所以
则
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，重点在于对随机变量的取值以及所对应概率的求取，同时掌握数学期望的公式，属基础题.
19．(1)0.95，可用线性回归模型拟合与的关系；
(2)，5.5吨.
【分析】（1）利用公式计算出相关系数，从而作出判断；
（2）利用公式计算出，得到线性回归方程，并代入，求出答案.
【详解】（1）由折线图得如下数据计算，得，
，
，
所以相关系数，
因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
所以回归方程为，当时，，
所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.
20．(1)有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；
（2）根据分层抽样原则可确定8人中，男性居民和女性居民应抽取的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值.
【详解】（1）由已知得列联表：
愿意参与 不愿参与 总计
男性居民 15 20 35
女性居民 25 10 35
总计 40 30 70
因为．
所以有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；
（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，男性居民应抽取3人，女性居民应抽取5人，
再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民为X，则X的可能取值为0，1，2，3．
，，，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以．
21．(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，
（2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.
【详解】（1）当时，，
且，
函数在点处的切线方程，
即.
（2）在其定义域上有唯一零点，
方程，
即在有唯一实数解.
设，则.
令，即
的两个根分别为
（舍去），.
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，取最小值，
要使在有唯一零点，则须即
设函数当时是增函数，至多有一解.
方程的解为，即，解得，
实数的值为.
【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.
22．(1)
(2)人
(3)分布列见解析，均值为
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由可知即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，
则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则，
，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为．
