2023年江苏省扬州市邗江区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B．2023 C． D．
2．中国文字是方块字，其形、音、结构、神韵都具有美感，对称美在汉字结构中十分常见，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．近期，扬州市统计局发布了《年扬州市国民经济和社会发展统计公报》，《公报》称，经初步核算，扬州市年房屋建筑施工面积约平方米，同比增长，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的（ ）
A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
5．中国古代数学著作《九章算术》第七章主要内容是“盈不足术”，其中有这样一道盈亏类问题：“今有共买羊，人出五，不足九十；人出五十，适足，问人数、羊价各几何？”题目大意是：“有几个人共同购买一只羊，若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够，问有几个人，羊的价格是多少？”设有人，羊的价格为元，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线经过点，当时，x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为，与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
9．分解因式：_______．
10．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是______．
11．若关于x的方程的一个根为3，则m的值为_______．
12．2023年3月7日上午，江苏省青少年射击（步手枪）冠军赛在扬州市射击运动中心鸣枪开赛．来自全省12个设区市的200余名青少年射击选手齐聚扬州，一较高下，赛前，某位射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，则该名选手十次射击训练成绩的中位数是_____．
13．已知，则x的取值范围是_______．
14．北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念，如图所示，它的主体形状呈正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则的值是____．
15．如图，等边三角形的边长为2，以B为圆心、长为半径画弧，点D为等边三角形内一点，连接若为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是_____．
16．如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的对应点的坐标为_______．
17．如图，A是双曲线（）上的一点，M是线段上的点，，过点M作x轴的垂线，垂足为B，交双曲线于点C，则的面积是_____．
18．如图，在中，M，N分别为，上的点，将沿翻折，得到，连接，，已知，若，，，则的长为_____．
19．【操作发现】
如图1，点M是中边的中点．
（1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N；
（2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________；
【类比探究】
如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使．
三、解答题
20．计算：
(1)；
(2)．
21．解不等式组：，并求出不等式组所有非正整数解的和．
22．2022年是我国航天事业辉煌的一年，神舟十四号和神舟十五号两个飞行乘组6位航天员在太空会师，在神州大地上掀起了航天热潮，某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了部分学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
组号 成绩 频数 频率
1 3
2 a
3 20
4 b c
5 5
合计 m
(1)本次抽样调查的样本容量_____；
(2)求表格中字母的值： _____， ____， ____，并补全频数分布直方图；
(3)若以组中值(每组正中间数值)为本组数据的平均数，全校共有1000名学生参与竞赛，试估计所有参赛学生成绩的平均分．
23．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法，在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法．
(1)某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率________；
(2)在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率（用画树状图或列表的方法求解）
24．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
25．“五一”节期间，洞庭湖旅游度假区特色文旅活动精彩上演，吸引众多市民打卡游玩，许多露营爱好者在大烟囱草坪露营，为遮阳和防雨游客们搭建了一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．
(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”， 从减少到，求点下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：，，，）
26．如图，在△ABC中，点D在边AC上，BD平分∠ABC，经过点B、C的⊙O交BD于点E，连接OE交BC于点F，OF⊥BC．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若AB＝BC，BD=，tan∠CBD，求⊙O的半径．
27．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接BC，点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)如图2，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为2L，的面积为5L，且，请问的长是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．
28．翻开数学发展史，我们就知道数学不仅是抽象、严谨的，还有另外一面，人类从结绳计数开始就在进行着数学实验，并且通过实验不断发展数学，可见，数学实验不仅是数学家研究数学的方式，也是学生学习数学的一种重要方式，在某次数学社团活动中，几位同学利用三角板进行了如下的实数学验，请大家在这一数学实验的基础上思考并回答相关问题：几位同学把两块完全相同的等腰直角三角板按图1方式摆放，已知，，，，，线段在直线上，点F在线段上，点A与点D重合．
(1)______，_______；
(2)将三角板的直角顶点F沿方向滑动，同时顶点D沿方向在射线上滑动，如图2．
①当点F恰好是线段中点时，求的度数；
②当点F从初始位置滑动到点A处时，请直接写出点E所经过的路径长；
(3)在（2）的条件下，过点D，F分别作，的垂线，两条垂线相交于点P，连接，线段的长度是否为定值？如果是，请求出结果；如果不是，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据正数和零的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的意义是解题的关键．
2．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行判断即可．
【详解】解：根据轴对称图形的特点可得，A，B，C选项中的图形不是轴对称图形，D选项中的图形是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的特点，熟记知识点是解题关键．
3．C
【分析】根据科学记数法定义：将一个数写成，n为整数，直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法定义：将一个数写成，n为整数，叫科学记数法．
4．A
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
5．D
【分析】根据若每人出五元，还差九十元；若每人出五十元，刚好够，即可得出关于，的二元一次方程组，可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．C
【分析】先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
，
，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键．
7．D
【分析】因为点也在直线上，所以根据图形可知：当直线在直线下方时，对应的的取值 范围即为所求．
【详解】解：因为点也在直线上，
所以直线与直线的交点坐标是，
所以当时，的取值范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确地确定出的值，是解答本题的关键．
8．B
【分析】连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由折叠得，根据等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵E是边的中点，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，即，故②正确；
连接，
由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
过点F作于点M，
∵，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∴，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，三线合一的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
9．
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：依题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
10．
【分析】根据点的平移规律左减右加，上加下减直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵点向右平移2个单位，
∴平移后的点坐标是，
故答案为：；
【点睛】本题考查点的平移规律：左减右加，上加下减．
11．
【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m的方程，解方程即可得．
【详解】解：依题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．
12．8
【分析】根据中位数的定义，利用图中的数据，求出答案即可．
【详解】解：由图可得：
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，
第5个和第6个数据都是8，
所以中位数是，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．
【分析】根据算术平方根的非负性质可得，求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根非负性；掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
14．
【分析】根据正六边形的性质得到内角度数，结合等腰三角形性质得到的度数，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
∵是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查特殊角三角函数值及正多边形的性质，解题的关键是根据性质得到的度数．
15．
【分析】延长，交于点E，先根据题意证明出，从而求出的长，利用即可求解．
【详解】解：如图，
延长，交于点E，
∵为等边三角形、为等腰直角三角形
∴、
∵
∴
∴
∴是的角平分线
∵为等边三角形
∴、
∵为等腰直角三角形
∴
在中
∴
∴
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
16．
【分析】先求出点的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，即可得出答案．
【详解】解：，
每旋转4次为一个循环，
，即第2023次旋转结束时，点的坐标与第3次旋转结束时点的坐标相同，的位置如图所示，
，
过点作轴于点，连接，，
由旋转可得，
点的坐标为，
，
四边形是正方形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，，
点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质，旋转的性质，图形与坐标，找到旋转的规律是本题的关键．
17．18
【分析】过点作轴于点，轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质可求出，进一步求出，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点作轴于点，轴于点，交于点，则四边形是矩形，如图，
∴，
设，
∴
轴，
，
，
即，
∵
∴
，
故答案为：18
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，求出的长是解答本题的关键．
18．/
【分析】延长，交的延长线于点D，利用角度互余证明，即有，利用，可得，即有，即可得，问题随之得解．
【详解】延长，交的延长线于点D，如图，
根据折叠的性质有：，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形折叠的性质，平行线的性质，等角对等边的知识，构造出合理的辅助线是解答本题的关键．
19．【操作发现】（1）见解析；（2）；【类比探究】见解析．
【分析】根据平行线的作图方法，三角形相似即可得到答案．
【详解】解：（1）过点M作，交于点N，则，如图所示：
解：（2）由（1）得：，
∴，
∴，
∵点M是中边的中点，
∴，
∴，
即；
故答案为：；
【类比探究】圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得．
【点睛】本题考查了作图方法、三角形相似，灵活运用所学知识点是解题关键．
20．(1)1
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，零指数幂，特殊的三角函数值，乘方，然后进行加减运算即可；
（2）先通分，因式分解，然后进行化简即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值，零指数幂，特殊的三角函数值，乘方，分式的化简．解题的关键在于正确的运算．
21．，
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，继而确定出非正整数解即可得．
【详解】解：，
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的非正整数解是：，
∴不等式组的非正整数解的和为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
22．(1)50
(2)12，10，，补图见解析
(3)75.4分
【分析】（1）根据第1组的频数与频率的比值为样本容量，进行求解即可；
（2）根据求值，根据求值，根据求值，然后补全统计图即可；
（3）利用加权平均数的定义以及样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：50．
（2）解：由题意知，，
，
，
故答案为：12，10，；
补全直方图如下：
（3）解：由题意得（分）
∴该校所有参赛学生成绩的平均分约为分．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，加权平均数等知识．解题的关键在于从频数分布表中获取正确的信息．
23．(1)；
(2)；
【分析】（1）根据直接求解即可得到答案；
（2）根据题意列出树状图，找到所有情况及直角三角形的情况即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
有4幅图即有4种情况，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得，树状图如下，
总共有6种情况，是勾股数的有2种情况，
∴，
∴抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率为：；
【点睛】本题考查简单概率求解及树状图法求概率，解题的关键是正确画出树状图及掌握．
24．(1)甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
(2)8件
【分析】（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据“用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．”列出方程，即可求解；
（2）设甲种农机具最多能购买a件，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据题意得：
解得∶，
经检验：是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需万元，乙种农机具一件需3万元
（2）解：设甲种农机具最多能购买a件，则：
解得：
因为a为正整数，
所以甲种农机具最多能购买8件．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
25．(1)3.8m
(2)1.6m
【分析】（1）解Rt，得到,再利用对称性得到；
（2）过点E作于H，解，分别计算和时的，得到点E下降的高度，进而可得解.
【详解】（1）解：由对称可知，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
答：遮阳宽度CD约为3.8m；
（2）如图，过点E作于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
在中， ，
∴，
当时，AH=≈≈0.91m，
当时， ，
∴当从减少到时，点E下降的高度约为m．
答：点E下降的高度约为m．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．
26．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据等边对等角得出∠OBE=∠OEB，进而得出∠OBA=∠OFB，利用外角性质得出
∠OEB+∠CBD=∠OFB=90°，因此∠OBA=90°，由定义证得AB是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形“三线合一”得出∠BDC=90°，再利用正切值求边长求出CD，用勾股定理求出BC，在中利用勾股定理建立方程即可求出圆的半径．
【详解】（1）证明：连接OB，如图，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BD平分ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴ ∠OBE+∠ABD=∠OEB+∠CBD
∴∠OBA=∠OFB，
∵OF⊥BC，
∴∠OBA=∠OFB=∠EFB=90°
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=BC，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴tan∠CBD==，
∵BD=
∴CD=
∵∠BDC=90°
∴BD2+CD2=BC2
解得BC=8，
∵OF⊥BC，
∴BF=CF=BC=4，
∵∠EFB=90°，
∴tan∠CBD==，
解得EF=2 ，
令OB=OE=r，
∴OF=OE-EF=r-2，
∵∠OFB=90°，
在中，
∴OF2+BF2=OB2，
即(r-2)2+42=r2
解得r=5，
∴⊙O的半径是5．
【点睛】本题主要考查了外角的性质、切线的定义、等腰三角形的性质、正弦值求边长和勾股定理等知识点，牢固掌握以上知识点并能灵活运用是做出本题的关键．
27．(1)；
(2)，；
(3)是，5．
【分析】（1）将代入抛物线解析式得或，因为点A在点B的左侧，所以A( 2a，0)，B(3，0)，再根据，求出，即可得到函数解析式；
（2）根据，可由三角形相似得性质得与轴交点坐标，进而求得直线解析式，将直线解析式与抛物线解析式联立方程组，即可求得点的坐标；同理由对称可求出的坐标；
（3）先求出，可知，再证明，得出，所以的值为定值，定值为5．
【详解】（1）解：把代入抛物线，
得或，
点A在点B的左侧
A( 2a，0)，B(3，0)
抛物线的函数表达式为：；
（2）由题意得：作，连接与轴交于点，
在与中，
，
，
，与轴的交点，即
，即，
得
设直线解析式为
将，代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
将直线沿轴翻折得到直线，与轴交于点，与抛物线交于点，
，设直线解析式为，
将与代入得
解得：
直线解析式为；
点是直线与抛物线的交点，
则
解方程得：，（当时，点与点重合，故舍去）
将代入得：
点坐标为；
点的坐标为，；
（3）的值为定值，定值是5．
，，点到轴的距离为
和同底
点、到直线的距离相等，
，，
，
的值为定值，定值为5
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，求二次函数解析式、二次函数中相等的角的存在性问题、以及面积问题，属于二次函数综合题，数形结合是解题的关键．
28．(1)，
(2)①；②点E所经过的路径长为；
(3)是定值，．
【分析】（1）根据三角板的角度计算即可求得；利用勾股定理求得的长，即可求得的值；
（2）①求得，根据特殊角三角函数值即可求得，据此可求解；
②画出图形，当点F沿方向下滑时，从得到，点E下滑到过点，的长即为点E所经过的路径长，据此即可求解；
（3）证明A，D，P，F四点共圆，求得圆的直径长即可解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：①过点F作，垂足为点G，
∵，，，
∴，
∵点F是线段中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点F沿方向下滑时，从得到，点E下滑到过点，的长即为点E所经过的路径长；如图，
，，
∴，
故点E所经过的路径长为；
（3）解：∵过点D，F分别作AN，AB的垂线，
∴，
∴A，D，P，F四点共圆，设圆心为点O，
∴是的直径，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
试卷第1页，共3页
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