叙州区重点中学2023年春期高一第二学月考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B． C． D．
2．已知则
A． B． C． D．
3．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知向量，，若向量，则实数的值是（ ）.
A． B． C． D．2
5．在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）
A．10 B．20 C．30 D．40
7．已知函数，则
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
8．已知曲线：，：，则下面结论正确的是
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列三角式中，值为1的是
A． B．
C． D．
10．已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
11．已知，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
12．已知，满足：对任意，恒有，则
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如果满足的恰有一个，则实数的取值范围是__________.
14．已知角（）的终边过点，则__________.
15．函数的最大值为__________；
16．在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量与的夹角，且，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
（3）若，求在上的投影向量．
18．（12分）已知，，.
(1)若，求；
(2)若，求.
19．（12分）在中，角，，所对的边分别，，．已知．
(1)求；
(2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动（包括端点）.
（1）求的余弦值；
（2）是否存在实数，使，若存在，求出满足条件的实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）当且时，的值域是，求，的值.
22．（12分）对于定义在D上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点.已知函数.
(1)若，求的不动点；
(2)若函数恰有两个不动点，，且，求正数a的取值范围.
数学试题参考答案：
1．A 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．C 8．C
9．ABC 10．ABD 11．AD 12．BC
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）由已知，得，
；
（2）设与的夹角为，
则，因此，与的夹角的余弦值为
（3）因为，
所以在上的投影向量为
18．解：（1）因为，，
所以.所以
.
（2）因为，
，
两式相加可得，，，所以，.
19．解：（1），
由正弦定理可得：
，
，，，；
（2）由（1）知，
，，
由正弦定理可得，，即，
，或（舍去），
，
，
，，
，
．
20．解：（1）由题意可得，，
故；
（2）设，其中，
，
若 ，则 ，
即，可得，
若，则不存在，
若，则，
故.
21．解：（1）
令，则，
的单调递增区间；
（2），，，
，，
∴.
22．解：（1）由题设，定义域为R，若，即，
所以，可得，故是的不动点.
（2）令，且，
所以，整理得，
令，则，即方程在上有两个不相等的根，且，
若开口向上且对称轴，
，则，故.
