金溪县2023届高三下学期4月考试理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，集合，则集合{-1，5，6}等于
A．（ B．
C．A∩（） D．
2.已知平面向量，若与a垂直，则实数t=
A． -2 B． -1 C． 1 D． 2
3.在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分。在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为
A．平均值 B． 中位数 C．众数 D．方差
4.设，为复数，则下列命题中一定成立的是
A． 如果，那么 B． 如果，那么
C． 如果，那么 D． 如果，那么
5.已知命题；命题，则下列命题是真命题的是
A． B．
C． D．
6. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言。包括利它素、利已素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等。人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用。研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足，其中k，a为非零常数。已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为，则b=
A． 3 B． 4 C． 5 D．6
7.巴普士（约公元3~4世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家。生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存下来。《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（V表示平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）。已知在梯形ABCD中，，，利用上述定理可求得梯形ABCD的重心G到点B的距离为
A． B． C． D．
8.已知F（2，0）为椭圆C：的右焦点，点A（2，3）为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是
A． （4，7] B．（5，7] C． （5，] D． （4，]
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则△ABC面积的最大值为
A． 2 B． C． 1 D．
10.已知函数，则
A． f（x）的图象关于直线对称 B．为f（x）的一个周期
C． f（x）的值域为 D．f（x）在[，]上单调递增
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆与的一个交点，若△的内切圆的半径为a，则Γ的离心率为
A． B． C． 2 D．
12.已知，，则
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，且），曲线在处的切线与直线垂直，则a=___________。
14.的展开式中的常数项为___________。（用数字作答）
15.在正三棱柱中，D为棱AB的中点，与交于点E，若，则CD与所成角的余弦值为___________。
16.已知，则关于x的方程有6个互不相等的实数解的充要条件为___________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（本小题满分12分）
在数列{}中，，当时，
（1）求证：{}为等比数列；
（2）若，求{}的前n项和。
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面AB-CD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且
（1）求证：平面；
（2）若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值。
19.（本小题满分12分）
现在世界正处于百年未见之大变局，我国面临着新的考验，为增强学生的爱国意识和凝聚力，某学校高二年级组织举办了“中国国情和当今世界局势”的知识对抗竞赛，主要是加深对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得的成就和最新世界经济、政治时事的了解。组织者按班级将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等。比赛得分规则为：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分；选手抢到试题但回答错误或没有回答得0分，对方选手得5分；2道题目抢答完毕后得分多者获胜。已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立。2道试题抢答后的各自得分作为两位选手的个人总得分。
（1）求乙总得分为10分的概率；
（2）记X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望。
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的上焦点为F，且C上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为2，过点F且垂直于y轴的直线被C截得的弦长为1。
（1）求C的方程：
（2）已知直线l：与C交于M，N两点，与y轴交于点P，若点P是线段MN靠近点N的四等分点，求实数m的取值范围。
21.（本小题满分12分）
已知函数，（x）为f（x）的导函数。
（1）当时，若在上的最大值为h（t），求h（t）；
（2）已知，是函数f（x）的两个极值点，且，若不等式恒成立，求正数m的取值范围。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的一个参数方程；
（2）记与x轴交于点P，曲线和曲线的交点为A，B，求的值。
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（1）求不等式的解集；
（2）若的最大值为m，正数a，b满足，求的最小值。
高三理科数学参考答案、提示及评分细则
1.B 由题意知，所以。故选B。
2.A 由题意得，即，故，解得，故选A。
3.B 去掉最高分和最低分后，中位数一定不变，其余数字特征不一定不变。故选B。
4.C 对于A，取时，，但虚数不能比较大小，故A错误；对于B，取，显然，但≠±，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，，满足，但是，故D错误。故选C。
5.D 因为不成立，所以p为假命题；因为当时，成立，故q为真命题。所以p∧q，p∧（ q），pV（ q）为假命题，（ p）∧q为真命题。故选D。
6.B 由题意，，ln，所以，即-4k+。又，所以。因为，所以故选B。
7.C 直角梯形ABCD绕AB旋转一周所得几何体的体积，设重心G到AB的距离为，则，解得；直角梯形绕BC旋转一周所得几何体的体积。
设重心G到BC的距离为，则，所以，所以，故选C。
8.D由题意知。设C的左焦点为，则（-2，0），因为，且a，所以，所以，所以，所以。因为，点A（2，3）为椭圆C内一点，所以，所以，所以，又，故，所以≤。故选D。
9.D 因为，所以，所以，所以△ABC的面积，当且仅当-，即时等号成立，故△ABC面积的最大值为。故选D。
10.C 由题意得，所以f（x），所以f（x）的图象不关于直线对称；，故不是f（x）的周期；设，则k的大小等于点（cos2x，sin2x）与点（-2，0）连线的斜率，又点（cos2x，sin2x）在圆O：上，利用数形结合的方法易求得，故f（x）的值域为 ，令，得，所以，故f（x）在[，]上单调递减，综上，ABD错误C正确。故选C。
11.A 由题意知，所以，又因为|，与，联立，得|，所以，又=，所以，即，所以，即，所以，所以。故选A。
12.B 由题意知，令，则，当时，，所以f（x）在（0，1）上单调递增，所以，。所以In，所以；因为，易知，所以，所以，所以故选B。
13.e 由题意知曲线在处的切线斜率等于3，又，所以，所以.
14.1792 展开式的通项公式，令，得r=6. 令无整数解，所以展开式中的常数项为.
15. 连接，取中点F，连接，EF，则，所以∠A1EF为CD与所成的角（或其补角）。因为在正三棱柱中，D为棱AB的中点，易证CD⊥平面，从而可得EF⊥平面，又 平面，所以，不妨设AB =2，则，所以，又，所以，所以，所以=.
16.且显然f（x）为偶函数，当时，f（x）=画出f（x）在（0，+∞）上的图象，利用偶函数的对称性，易得f（x）在其定义域上的图象（如图所示）；设，则原方程变为，所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是方程的两根，满足且；又时且，而，则问题等价于，所以且.
17.（1）证明：当n为偶数时为偶数，
所以，又，所以，所以。。。。。2分
所以,所以是以3为首项，3为公比的等比数列。。。。。。。。
（2）解：由（1）得。
当n为奇数时，
所以，所以}是公差为2的等差数列，。。。。。6分
所以
所以
所以。
两边同乘以3，得
，。。。。。8分
两式相减，得
。
所以
18.（1）证明：延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，连接FH。
因为平面平面ABCD，平面α∩平面，平面ABCD∩平面，且E为PA的中点，所以且。同理可得。。
又，所以。
又，所以H为AB的中点，所以，且。。。4分
又
所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以，。。。5分
又FH平面CFM，BG平面CFM，
所以BG∥平在CFM。
（2）解：由题意易得AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则C（4，4，0），D（0，4，0），F（0，2，3），M（0，0，2），P（0，0，6），所以=（-4，0，0），
设平面PCD的一个法向量，则即令，得，故。。。。。。。9分
设平面CFM的一个法向量，则,即
令，得，故故。。。。。。。。。。10分
设平面CFM与平面PCD所成锐二面角的大小为θ，
则，即平面CFM与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为。
19.解：（1）由题意，乙得10分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误或没有回答}、{甲，乙各抢到一题都回答正确}。{甲抢到两题且都回答错误或没有回答}。
所以乙总得分为10分的概率。。。。4分
（2）由题意得，甲的总得分可能取值为0，5，10，15，20.。
；。。。。。。6分
；。。。。。。。。7分
；。。。。。。。8分
。
。。。
分布列如下：
X 0 5 10 15 20
P
所以。。。。。。12分
20.解：（1）设C的焦距为2c，由题意知 。。。。。。。2分
解得
故C的方程为
（2）设M（，），N（，），
联立
消去y整理得。。。。。。。。6分
所以，即
且。。
因为点P是线段MN靠近点N的四等分点，
所以，所以，
所以
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
所以
整理得
显然不成立，所以
因为，所以，即。。。。。10分
解得，或
所以实数m的取值范围为。。。。12分
21.解：（1）当时，，其定义域为（0，+∞），且所以，
所以，令，得；令，得，
所以g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减。
①当，即时，g（x）在]上单调递增，
所以；。。。。。3分
②当，即时，；。。4分
③当时，g（x）在[t，]上单调递减，所以,
综上所述，h（t）=。。。。。。。。5分
（2）因为，所以
由题意知f（x）的定义域为（0，+∞），故，是关于x的方程的两个根，
所以，即1r。In
所以等价于
因为，所以原式等价于。。。。。7分
又，ln，作差，得，即
所以原式等价于。
因为，所以1n恒成立。
令，则，故不等式在上恒成立，。。。。。。。。9分
令
又因为
当时，得时，，所以φ（t）在（0，1）上单调递增，
又，所以在（0，1）上恒成立，符合题意；。。。。10分
当时，可得）时，时，
所以φ（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，又因为。
所以φ（t）在（0，1）不能恒小于0，不符合题意，舍去。
综上所述，若不等式恒成立，只需满足，又，故，
即正数m的取值范围为[1，+∞）。
22.解：（1）因为曲线的极坐标方程，
又，，可得，
所以曲线的直角坐标方程为。。。。。。2分
因为曲线的极坐标方程为，即，。。。。。。。3分
所以曲线的直角坐标方程为是过点（3，0），斜率为，即倾斜角为的直线。。。。。。4分
直线的一个参数方程为（t为参数）。。。。。。。5分
（2）设A，B所对应的参数分别为，，
把直线的参数方程代入，可得，。。。。。6分
所以。。。
故。。。。。10分
23.解：（1）
不等式等价于或或。。。。。。4分
解得，故不等式的解集为（，）。。。5分
（2）因为，当且仅当时等号成立，故
所以
所以
。。。9分
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为3.
