4万有引力与航天
一、单选题
1．图1为电影《流浪地球2》中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速电梯”，是一种可以在地球表面和太空间来回运输人员和物资的巨型结构。图2为其简易图，固定在空间站和地球间的刚性“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，则（ ）
A．空间站绕地球运行的向心力小于地球对它的万有引力
B．空间站绕地球运行的向心力等于地球对它的万有引力
C．若连接空间站处的“绳索”断裂，空间站将落回地面
D．若连接空间站处的“绳索”断裂，空间站做离心运动
2．三月春来早，北斗农机来报到，基于北斗的自动驾驶农机能够按照既定路线进行精准春耕作业，精细化程度显著提升，虽然我国的北斗系统起步最晚，但“后来居上”，成为可与美国GPS媲美的最先进的全球导航定位系统。如图是北斗三号卫星系统三种卫星的参数，地球球体半径为6400km，以下说法正确的是（ ）
表1 北斗三号卫星功能特点
北斗卫星 卫星（24） 卫星（3） 卫星（3）
名称 中圆轨道卫星 地球静止轨道卫星 倾斜地球同步轨道卫星
轨道高度 2万公里左右，三个轨道面，保持55°的倾角 3.6万公里左右 3.6万公里左右
星下点估计 绕着地区划波浪 投影一个点 锁定区域画8字
功能特点 环绕地球运行实现全球导航定位、短报文通信、国际救援 承载区域短报文通信 与GEO互补，对亚太区域可重点服务
A．MEO卫星速度大于7.9km/s
B．GEO卫星可以相对静止在我国某地上空
C．GEO卫星和IGSO卫星24h一定会相遇一次
D．MEO卫星周期T一定小于24h
3．科幻电影《流浪地球》中，地球需借助木星的“引力弹弓”效应加速才能成功逃离太阳系。然而由于行星发动机发生故障使得地球一度逼近木星的“洛希极限”，险象环生。“洛希极限”是一个距离，可粗略认为当地球与木星的球心间距等于该值时，木星对地球上物体的引力约等于其在地球上的重力，地球将会倾向碎散。已知木星的“洛希极限”，其中为木星的半径，约为地球半径的11倍。则根据上述条件可估算出（ ）
A．木星的第一宇宙速度约为
B．木星的第一宇宙速度约为
C．木星的质量约为地球质量的倍
D．木星的密度约为地球密度的倍
4．2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。神舟十四在轨驻留6个月，先后进行3次出舱活动，完成空间站舱内外设备及空间应用任务相关设施设备的安装和调试，开展一系列空间科学实验与技术试验，已知空间站高度约，下列说法正确的是（ ）
A．空间站的线速度大于第一宇宙速度
B．航天员出舱活动时的向心加速度为零
C．航天员在空间站内不受重力
D．空间站的向心加速度大于同步卫星的向心加速度
5．《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时，质量为2.5kg的物体重力为16N。已知地球半径为6371km，不考虑地球自转，则此时太空电梯距离地面的高度约为（ ）
A．1593km B．3584km C．7964km D．9955km
6．如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连接线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是（ ）
A．双星之间引力变大
B．每颗星的加速度均变小
C．双星系统周期逐渐变大
D．双星系统转动的角速度变小
7．神舟十五号飞船停靠天和核心舱后，中国空间站基本建成。空间站绕地球可看作做匀速圆周运动，由于地球的自转，空间站的飞行轨道在地球表面的投影如图所示，图中标明了空间站相继飞临赤道上空所对应的地面的经度。设空间站绕地球飞行的轨道半径为，地球同步卫星飞行轨道半径为，则与的比值最接近的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．2022年2月3日，远在400公里外的空间站的太空出差三人组，在空间站“变”出奥运五环（如图），希望冬奥会选手们取得好成绩为国争光，下列说法正确的是（ ）
A．该空间站始终与地球自转保持同步
B．奥运五环能悬浮在空中是因为处于完全失重状态，不受重力
C．若不对空间站及时补充能量，空间站的轨道半径将会越来越大，直至脱离地球引力束缚
D．空间站运行速度必定大于地球上任一点的自转线速度
9．如图所示的是由我国天问一号火星环绕器传回的火卫一的照片，这是我国首次拍摄到火卫一的“全身照”。火卫一是太阳系所有的卫星中与其主星的距离最短的一颗卫星。它的轮廓尺寸为，密度很小，约为地球密度的三分之一、对其进行着陆采样研究，将有助于揭开行星的卫星形成之谜。现将火卫一卫星看成一个直径为20km的球体，当质量为100kg的探测器降落在火卫一表面上时，探测器受到的“重力”与下列哪个物体在地球上受到的重力相当（地球半径约为6400km，不考虑火星的影响）（ ）
A．一颗黄豆 B．一枚鸡蛋
C．一枚铅球 D．一辆汽车
10．“天宫课堂”第三课于2022年10月12日15时45分准时开课。刘洋老师在运行周期约为90分钟、绕地球做近似圆周运动的“问天舱”内给大家演示了精彩的水球变“懒”实验。如图，将空心钢球投入水球后，推动注射器让其内部的空气用同样的力度去冲击他们，振动幅度变小，水球确实变“懒”了。课后同学们意犹未尽，在菏泽一中分会场引起激烈争论：甲认为在微重力环境下，物体几乎不受任何力，所以宇航员飘在实验仓内，铁球也不会从水球中掉落；乙认为空心钢球所受浮力与重力相等，处于平衡状态；丙认为水球变懒是因为铁球投入水球后二者惯性比水球大；丁认为刘洋老师在太空一天内可以看到16次日出；戊认为问天舱速度大于7.9km/s；己认为水能成为球形主要是因为表面张力的作用。对以上六位同学的观点，你认为较合理的是（ ）
A．甲、戊、己 B．乙、丙、丁 C．丙、丁、己 D．乙、戊、己
11．2020年7月31日，北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式在北京举行。如图乙所示为55颗卫星绕地球在不同轨道上运动的图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径，1和2为其中的两颗卫星。已知引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．地球的半径为 B．地球质量为
C．卫星1和2运动的线速度大小之比为 D．卫星1和2向心加速度大小之比为
二、多选题
12．宇航员登上某行星上进行科学探索。他在该行星表面的北极点由静止释放一个质量为m的物体，由于该星球大气阻力作用，其加速度a随下落位移x变化的关系如图所示（释放瞬间物体所受的气体阻力为0）；他又在该星球赤道处测得质量为m的物体的重力为mg。已知该星球为质量均匀分布的球体，且半径为R，万有引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．该行星的第一宇宙速度为
B．该行星的平均密度为
C．星球自转的角速度为
D．在北极点释放的该物体的最大速度为
13．2021年12月9日，同学们在听完王亚平的太空授课后，回想起2013年6月20日王亚平首次太空授课中进行的太空质量测量的实验，实验装置简化图如图所示。已知施加给待测航天员的恒力为F，光栅测速装置测出恒力F作用结束时航天员的速度v和航天员从静止至速度增大到v所用的时间t，下列说法正确的是（ ）
A．待测航天员的质量m＝
B．航天员在装置上运动时所受摩擦力不为零
C．航天员从静止到速度增大到v通过的路程为s＝vt
D．恒力F作用结束时航天员的动能为
三、填空题
14．如图为_____________扭秤实验，该实验验证了万有引力定律，在物理量测量中所使用的科学方法是_____________。
15．图示为控制中心大屏幕上显示的“神舟”十四号飞船在轨运行图，屏幕上的曲线表示它一段时间内先后两次在同一轨道绕地球做匀速圆周运动的“轨迹”。则飞船运动轨道面与赤道面______（选填“重合”或“不重合”）；已知飞船运行周期为1.5h，在飞船先后经过同一纬度上a、b两位置的时间内，地球自转转过的角度为______。
四、解答题
16．建立物理模型对实际问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）假设地球可视为一个质量分布均匀且密度为ρ的球体，已知地球的半径为R，引力常量为G，球体的体积公式为，不考虑地球自转的影响，试推导第一宇宙速度v的表达式；
（2）我们已经学过了关于两个质点之间万有引力的大小是，但是在某些特殊情况下，非质点之间的万有引力的计算及其应用，我们利用下面两个已经被严格证明是正确的结论，可以有效地解决问题。
a.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。如图1所示，质点m0放置在质量分布均匀的大球壳M0（球壳的厚度也均匀）的空腔之内，那么m0受到M0的引力为零。
b.若质点m放置在质量分布均匀的大球体M之外（），那么它们之间的万有引力为，式中的r为质点m到球心之间的距离；为大球体的半径。利用以上两个结论和（1）中的已知条件，求距离地心为d（d＜R）处，质量为m的质点所受引力的大小Fd；
（3）如图2所示，假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球南北两极的小洞，把一个质量为m的小球从北极的洞口由静止状态释放后，小球能够在洞内运动，假设小球只受地球引力的作用，以地心为原点，向北为正方向建立x轴，在图3中画出小球所受引力F随x（-R≤x≤R）变化的图像，求出小球在洞内运动过程中的最大速度vm，并说明小球做什么运动。
17．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测。“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响。
（1）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（2）求月球的质量；
（3）求月球的第一宇宙速度。
18．中国航天技术处于世界领先水平，航天过程有发射、在轨和着陆返回等关键环节。
（1）航天员在空间站长期处于失重状态，为缓解此状态带来的不适，科学家设想建造一种环形空间站，如图所示。圆环绕中心轴匀速旋转，航天员（可视为质点）站在圆环内的侧壁上，随圆环做圆周运动的半径为r，可受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。已知地球表面的重力加速度为g。求圆环转动的角速度大小ω。
（2）启动反推发动机是着陆返回过程的一个关键步骤。返回舱在距离地面较近时通过γ射线精准测距来启动返回舱的发动机向下喷气，使其减速着地。
a、已知返回舱的质量为M，其底部装有4台反推发动机，每台发动机喷嘴的横截面积为S，喷射气体的密度为ρ，返回舱距地面高度为H时速度为，若此时启动反推发动机，返回舱此后的运动可视为匀减速直线运动，到达地面时速度恰好为零。不考虑返回舱的质量变化，不计喷气前气体的速度，不计空气阻力。求气体被喷射出时相对地面的速度大小v；
b、图是返回舱底部γ射线精准测距原理简图。返回舱底部的发射器发射γ射线。为简化问题，我们假定：γ光子被地面散射后均匀射向地面上方各个方向。已知发射器单位时间内发出N个γ光子，地面对光子的吸收率为η，紧邻发射器的接收器接收γ射线的有效面积为A。当接收器单位时间内接收到n个γ光子时就会自动启动反推发动机，求此时返回舱底部距离地面的高度h。
19．开普勒发现了行星运动的三大定律，分别是轨道定律、面积定律和周期定，这三大定律最 终使他赢得了“天空立法者”的美名，开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等即：
(1)若将行星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，圆周运动半径为 r，行星质量为 m 太阳质量为M，如图所示，请你结合开普勒定律、圆周运动、牛顿定律等知识，证明太阳之间的引力与它们之间的质量的乘积成正比，距离平方成反比即：F引
(2)如图所示，人造地球卫星在 I 轨道做匀速圆周运动时，卫星距地面高度为 h=3R，R为地球的半径， 卫星质量为 m，地球表面的重力加速度为g，椭圆轨道的长轴 PQ=10R。
①a．求卫星在 I 轨道运动时的速度大小；
b．根据开普勒第三定律，求卫星在Ⅱ轨道运动时的周期大小；
②在牛顿力学体系中，当两个质量分别为m1、m2的质点相距为r时具有的势能，称为引力势能，其大小为 EP= (规定无穷远处势能为零)卫星在I轨道的P点点火加速，变轨到Ⅱ轨道
a．根据开普勒第二定律，求卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时，在近地点P与在远地点Q的速率之比
b．卫星在 I 轨道的P点，变轨到Ⅱ轨道，求则至少需对卫星做多少功(不考虑卫星质量的变化和所受的阻力)．
20．如图所示，横截面积为A、质量为m的柱状飞行器沿半径为R的圆形轨道在高空绕地球做无动力运行。将地球看作质量为M的均匀球体。万有引力常量为G。
（1）求飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）在飞行器运行轨道附近范围内有密度为（恒量）的稀薄空气。稀薄空气可看成是由彼此没有相互作用的均匀小颗粒组成，所有小颗粒原来都静止。假设每个小颗粒与飞行器碰撞后具有与飞行器相同的速度，且碰撞时间很短。频繁碰撞会对飞行器产生持续阻力，飞行器的轨道高度会逐渐降低。观察发现飞行器绕地球运行很多圈之后，其轨道高度下降了。由于，可将飞行器绕地球运动的每一圈运动均视为匀速圆周运动。已知当飞行器到地球球心距离为r时，飞行器与地球组成的系统具有的引力势能。请根据上述条件推导：
①飞行器在半径为R轨道上运行时，所受空气阻力大小F的表达式；
②飞行器由半径为R的轨道下降的过程中，飞行器绕地球运动圈数n的表达式。
21．人们通常利用运动的合成与分解，把比较复杂的机械运动等效分解为两个或多个简单的机械运动进行研究。下列情境中物体的运动轨迹都形似弹簧，其运动可分解为沿轴线的匀速直线运动和垂直轴线的匀速圆周运动。
（1）情境1：在图1甲所示的三维坐标系中，质点1沿方向以速度v做匀速直线运动，质点2在平面内以角速度做匀速圆周运动。质点3同时参与质点1和质点2的运动，其运动轨迹形似弹簧，如乙图所示。质点3在完成一个圆运动的时间内，沿方向运动的距离称为一个螺距，求质点3轨迹的“螺距”；
（2）情境2：如图2所示为某磁聚焦原理的示意图，沿方向存在匀强磁场B，一质量为m、电荷量为q、初速度为的带正电的粒子，沿与夹角为的方向入射，不计带电粒子的重力。
a．请描述带电粒子在方向和垂直方向的平面内分别做什么运动；
b．求带电粒子轨迹的“螺距”。
（3）情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤回到地球。登月前，嫦娥五号在距离月球表面高为h处绕月球做匀速圆周运动，嫦娥五号绕月的圆平面与月球绕地球做匀速圆周运动的平面可看作垂直，如图3所示。已知月球的轨道半径为r，月球半径为R，且，地球质量为，月球质量为，嫦娥五号质量为，引力常量为G。求嫦娥五号轨迹的“螺距”。
参考答案：
1．D
【详解】AB．同步卫星在轨道上运行时，由引力作为向心力，恰好相对地球静止，而空间站轨道高于同步卫星轨道，若仅由万有引力作为向心力，转动周期大于同步卫星，不可能相对地球静止，故空间站绕地球运行的向心力大于地球对它的万有引力，AB错误；
CD．若连接空间站处的“绳索”断裂，引力不足以作为向心力，故空间站做离心运动，C错误，D正确。
故选D。
2．D
【详解】A．7.9km/s是卫星绕地球表面运行的速度，根据万有引力提供向心力有
解得
MEO卫星轨道半径大于地球半径，可知速度小于7.9km/s，故A错误；
B．GEO卫星是地球静止轨道卫星，位于赤道平面某地上空，相对于地球表面静止，我国不在赤道上，所以GEO卫星不可能相对静止在我国某地上空，故B错误；
C．GEO卫星和IGSO卫星轨道半径相同、线速度相同、周期都为24h，能否相遇取决于起始位置，所以不一定会相遇一次，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力有
解得
MEO卫星轨道半径比地球同步卫星轨道半径小，则MEO卫星周期T一定小于24h，故D正确。
故选D。
3．D
【详解】CD．由题目中的条件可知，地球到达木星的“洛希极限”时有
又有
其中
解得
又有
则有
故C错误，D正确；
AB．有万有引力提供向心力有
可知木星的第一宇宙速度为
故AB错误。
故选D。
4．D
【详解】A．第一宇宙速度是最大的环绕速度，等于近地卫星的环绕速度，根据
解得
由于空间站的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，可知，空间站的线速度小于第一宇宙速度，A错误；
B．航天员出舱活动仍然围绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则其向心加速度不为零，B错误；
C．航天员在空间站内处于完全失重状态，但是仍然受到重力作用，C错误；
D．根据
解得
由于空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则空间站的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，D正确。
故选D。
5．A
【详解】设地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球表面重力加速度为g0，太空电梯离地高度为h，太空电梯所在位置处的重力加速度为g’，根据万有引力公式有
代入数据有
整理得
所以太空梯距离地面高度为
故选A。
6．A
【详解】A．根据万有引力定律公式知，两颗恒星正在缓慢靠近，则双星之间引力变大，A正确；
B．对星
对星
每颗星的加速度均变大，B错误；
C．由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到
整理得到
知双星系统周期变小，C错误；
D．由，知转动的角速度变大，D错误。
故选A。
7．C
【详解】由图可知，空间站每绕地球运动一圈，地球自转的角度为，设空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为，地球自转周期为，则有
卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
则有
故选C。
8．D
【详解】A．将卫星运动近似看为匀速圆周运动，地球同步卫星距离地表高度约为36000公里，比空间站的轨道高度大，根据
解得
可知，空间站的角速度大于地球同步卫星的角速度，即该空间站始终与地球自转不能保持同步，A错误；
B．将卫星运动近似看为匀速圆周运动，奥运五环能悬浮在空中是因为万有引力提供圆周运动的向心力，奥运五环处于完全失重状态，但是奥运五环仍然受到重力作用，B错误；
C．若不对空间站及时补充能量，空间站由于机械能的损耗，在轨道上的动能减小，即速度减小，万有引力随后将大于该轨道上运行所需要的向心力，则空间站将由高轨道向低轨道变轨，空间站的轨道半径将会越来越小，C错误；
D．将卫星运动近似看为匀速圆周运动，根据
解得
地球同步卫星距离地表高度约为36000公里，比空间站的轨道高度大，则空间站的线速度大于地球同步卫星的线速度，根据
可知，地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相等，地球同步卫星的线速度大于地球上任一点的自转线速度，则空间站运行速度必定大于地球上任一点的自转线速度，D正确。
故选D。
9．B
【详解】在地球表面
在火卫一表面
其中
，
质量为100kg的探测器受到的“重力”
此重力相当于地球上一枚鸡蛋所受到的重力。
故选B。
10．C
【详解】在微重力环境下，物体处于完全失重状态，但仍受引力作用，且引力提供向心力，做圆周运动，不是平衡状态，甲乙说法都是错误的。
铁球投入水球后二者总质量比原来水球的质量大，惯性大，丙说法正确。
问天舱周期大约1.5h，一天能看到日出次数
次
所以丁说法正确。
问天舱运行半径大于地球半径，速度小于第一宇宙速度7.9km/s，戊的说法是错误的。
水在太空能成为球形主要是因为表面张力的作用，己正确。
故选C。
11．D
【详解】A．设地球质量为M，由万有引力提供向心力有
两边同时取对数，整理可得
当时，有
可知x0并不代表地球半径，选项A错误；
B．对比图像可知
解得
选项B错误；
C．由可得
选项C错误；
D．根据以及图乙可求得，卫星1和2向心加速度之比为，选项D正确。
故选D。
12．BC
【详解】A．在北极点释放时，物体加速度为a0，则
又
联立得，第一宇宙速度为
A错误；
B．该行星的平均密度为
B正确；
C．物体在赤道时
结合A选项，得
C正确；
D．物体下落的加速度随位移线性变化，则合力的平均值为
加速度为零时，速度最大，根据动能定理
在北极点释放的该物体的最大速度为
D错误。
故选BC。
13．AD
【详解】A．由动量定理有
Ft＝mv
解得待测航天员的质量
m＝
A正确；
B．由于航天员处于完全失重状态，待测航天员在装置上运动时对装置的压力为零，所受摩擦力为零，B错误；
C．航天员从静止到速度增大到v通过的路程为
s＝
C错误；
D．恒力F作用结束时航天员的动能为
Ek＝mv2＝
D正确。
故选AD。
14． 卡文迪许 微小量放大
【详解】[1][2]如图为卡文迪许扭秤实验，该实验验证了万有引力定律，卡文迪什的扭秤实验中将微小量转化为较大的、方便观察的物理量，用到了放大思想，即所使用的科学方法是微小量放大法。
15． 不重合
【详解】[1][2]飞船运动轨道面与赤道面不重合；在飞船先后经过同一纬度上a、b两位置的时间内，地球自转转过的角度为
16．（1）（2）；（3），简谐运动
【详解】（1）根据
又
联立得
（2）距离地心为d时
又
得
（3）当0＜x≤R时，引力方向指向南方
如图
当-R≤x＜0时，引力方向指向北方
通过F随x的图像可以求出引力做的功即为图线与坐标轴围成的面积
由动能定理
得
由于小球受到的引力F与位移x成正比，所以小球以球心为平衡位置，在南北方向做简谐运动。
17．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）探月卫星在“工作轨道”上做匀速圆周运动，有
（2）探月卫星在“工作轨道”上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
可得
（3）月球的第一宇宙速度等于“近地卫星”的环绕速度，设其质量为，则有
联立，可得
18．（1）；（2）a、；b、
【详解】（1）设航天员质量为m，所受侧壁对他的支持力N提供向心力，有
同时
解得
（2）a、设t时间内每台发动机喷射出的气体质量为m，气体相对地面速度为v，气体受到返回舱的作用力为F，则有
又
解得
由牛顿第三定律可知，气体对返回舱的作用力大小
返回舱在匀减速下落的过程中，根据牛顿第二定律有
根据运动学公式有
解得
b、接收器单位时间单位面积接收的光子个数为
故接收器单位时间接收光子的个数
解得
19．（1）证明过程见解析；（2）①a.；b.；②a.3:2；b.
【详解】(1)行星做圆周运动的向心力等于行星与恒星之间的引力：
根据开普勒第三定律可知：
带入可知：
根据牛顿第三定律可知，力的作用是相互的，可知
综合两式可知：
(2)①a.根据万有引力等于向心力可得：
且：
联立解得：
b.当在I 轨道上时，根据：
结合：
联立解得：
根据开普勒第三定律可知：
解得：
②a．根据开普勒第二定律，卫星在椭圆轨道Ⅱ运动时：
则在近地点 P 与在远地点 Q 的速率之比等于PQ两点与地球连线的长度的倒数之比：
b.卫星在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒，在最远点和最近点满足：
解得：
则卫星在 I 轨道的 P 点变轨到Ⅱ轨道至少需对卫星做功：
20．（1）；（2）①；②
【详解】（1）飞行器在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力，并结合牛顿第二定律可知
解得
（2）①横截面积为A的飞行器，经过时间运动到虚线位置，该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们获得的速度为v，设飞行器给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力为，取飞行器运动方向为正方向，对部分稀薄空气颗粒，根据动量定理可知
对飞行器研究，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知
解得
根据牛顿第三定律，飞行器所受所受空气阻力大小F的大小为
②设飞行器在R轨道运行时的速度为v，动能为，势能为，机械能为，根据牛顿第二定律和万有引力定律可知
飞行器的动能为
势能为
则机械能为
飞行器高度下降，在半径的轨道运行，且
同理可得机械能为
飞行器高度下降，其机械能改变量为
飞行器机械能减少是因为克服空气阻力做功，设飞行器在沿半径为R的轨道运行一周过程中，稀薄空气颗粒作用于飞行器的阻力做功为，利用微小量积累的方法可知
上式表明飞行器在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是恒量，与轨道半径无关，则
解得
21．（1）；（2）a.在Ox方向上做速度为v0cosα的匀速直线运动，在垂直Ox方向上做半径为，周期的匀速圆周运动；b.；（3）
【详解】（1）质点转动一圈所用的时间为
质点3轨迹的“螺距”为
解得
（2）将带电粒子的运动速度沿磁场方向和垂直于磁场方向分解
根据洛伦兹力的特点，垂直于磁场方向的分运动使粒子在垂直于磁场方向上做圆周运动，根据牛顿第二定律
解得
，
所以带电粒子在Ox方向上做速度为的匀速直线运动，在垂直于Ox方向上做半径为、周期的匀速圆周运动。
求带电粒子轨迹的“螺距”
（3）在地球上看来，嫦娥五号的轨迹为半径很大的圆形弹簧，其螺距等于月球绕地球运动的线速度与嫦娥五号绕月球的周期相乘。
地月间的引力提供月球绕地球转动的向心力
月球与嫦娥五号的引力提供嫦娥五号绕月球圆周运动的向心力
轨迹的“螺距”
联立解得
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
