数学试卷答案
1. 已知向量，，则 ( A )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为( B )
A. B. C. D.
3. 已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（ A ）
A． B． C． D．
4. 如图，平行四边形ABCD中，，，点E是的三等分点，则（ B ）
A． B． C． D．
5. 已知，，是锐角，则=（ C ）
A . B. C. D.
6. 下列叙述中正确的个数是：( B )
若 ； ；
若，则
A. B. C. D.
7. 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ D ）
A. B. C. D.
8. 设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ B ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 下列各式中值为1的是（ A D ）
A. B.
C. D.
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ AC ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为7 D．若，则与的夹角为钝角
11. 已知函数，则( BC )
A. 的最大值为 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则正确的答案是（ BCD ）
B. 正方形EFGH的面积为 1
= 1 D. = 4
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设为单位向量，且，则______________.
【答案】
14. 已知在中，，则等于________.
【答案】
15 . ＝________. 【答案】
两不共线的向量，，满足，且，恒成立，则向量，
夹角的余弦值为__________.
【答案】
17. 本小题分
已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
解：（1）由，则，
所以，解得：；
（2），则存在实数使得，即，整理得：，
又与不共线，则，解得：.
18. 本小题分
已知的最小正周期为.
(1)求的值，并求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值.
解：(1)由的最小正周期为，得，
∵，∴，
，
由得，
故的单调递增区间为.
(2)因为，所以，
求当上的最大值2.
19. 本小题分
已知平面上三个向量，，的模均为，它们相互之间的夹角均为．
求证：；
若，求的取值范围．
解：证明
，
．
，
即．
，且相互之间的夹角均为，
，，
，即，
或．
20. 本小题分
已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值;
（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时，求 的取值范围．
解：(1)因为的相邻两条对称轴之间的距离为
所以
又时，取最小值
则，
，
又，则
(2)因为，所以，
则，，
则
则
(3)是上动点，
，
又恒成立
设
，
所以范围为[ 4 , 12 ].
21. 本小题分
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）选①，由正弦定理得，
即．
因，所以，所以．
又，从而得．
选②，因为
，
所以，．
又因为，所以．
选③，因为，
所以，
即，
所以，
．
因为，所以，
（2）由余弦定理，得，
由，得，则
所以，，
所以，
故△的周长为．
22. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
（1）求出山高BE（结果保留一位小数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？
参考数据：，，，.
【小问1详解】
由题意可知，，
在中，，
所以，
在中，，
所以出山高；
【小问2详解】
由题意知，且，
则，
在中，，
在中，，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以取得最大值时，，
又因为，所以此时最大，
所以当时，最大.哈尔滨市道外区名校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试卷2023.4.7
试卷满分:150分 考试时间：13:00—15:00
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知向量，，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则 ( )
A． B． C． D．
4.如图，平行四边形ABCD中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，是锐角，则=（ ）
A. B. C. D.
6.下列叙述中正确的个数是：（ ）
若 ； ；
若，则
A. B. C. D.
7．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
8.设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.下列各式中值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为7 D．若，则与的夹角为钝角
11.已知函数，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
12.如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的．若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则正确的答案是（ ）
A. B. 正方形EFGH的面积为 1
C.= 1 D. = 4
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.设为单位向量，且，则______________.
14.已知在中，，则等于________.
15. ＝________.
16.两不共线的向量，，满足，且，恒成立，则向量，夹角的余弦值为__________.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.本小题满分分
已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18.本小题满分分
已知的最小正周期为.
(1)求的值，并求的单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值.
19.本小题满分分
已知平面上三个向量，，的模均为，它们相互之间的夹角均为．
求证：；
若，求的取值范围．
20.本小题满分分
已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值;
（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时，求 的取值范围．
21.本小题满分分
在①，②，
③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角，B，C所对的边分别为，，，且 ．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
22. 本小题满分分
目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
（1）求出山高BE（结果保留一位小数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？
参考数据：，，，.
