2023年九年级中考数学专题训练:二次函数综合题（特殊三角形问题）
1．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线与直线相交于，两点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
(2)点P为x轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点Р的坐标；
(3)把抛物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值．
3．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
4．如图，抛物线与轴相交于点，与轴交于点为线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交该抛物线于点．
(1)求直线的表达式；
(2)当为直角三角形时，求点的坐标；
(3)当时，求的面积．
5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接，其中，．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点E，作轴交于点F，求的最小值，及此时点P的坐标；
(3)如图2，x轴上有一点，将抛物线向x轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q，得到新抛物线y1，点D是新抛物线与原抛物线的交点，点E是直线上一动点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接，，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位后得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为．在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与x轴的另一个交点为B，顶点为D．
(1)求直线及抛物线的解析式．
(2)M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，当最大时，求点M的坐标．
(3)如图2，将抛物线沿射线AC方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值．
8．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标．
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上确定一点M，使得是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．
9．如图1，抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，与轴交于点
(1)求抛物线的关系式；
(2)是第四象限抛物线上一点，当四边形的面积最大时，求点的坐标和四边形的最大面积；
(3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且A坐标为．
(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；
(2)连接BC，若点A到直线BC的距离AM为，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，点P在x轴上从点B出发以每秒1个单位速度向左移动，同时作于点Q，再将绕点P顺时针旋转，得（点B对应点，点Q对应点）．设移动时间为t秒，当点落在抛物线上时，求t的值．
11．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点．设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．
(1)求点，，的坐标；
(2)当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的一动点，过点作交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，点为轴左侧新抛物线上一点，过作轴交射线于点，连接，当为等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的横坐标．
13．如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由．
(3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围．
14．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点A，点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接．是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B，C两点，B点坐标为．
(1)求直线的表达式及抛物线的表达式．
(2)求点C的坐标．
(3)点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出m的取值范围．
(4)若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得，求D点坐标．
(5)在x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与一次函数分别交y轴于点A，交x轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内一动点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线交AC于点Q，垂足为D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，当线段最大时，点E是抛物线第二象限上一动点，点F为直线EF与抛物线另一交点，且交直线PQ于点R，若，求点R的坐标．
17．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和点和点的坐标；
(2)在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上求点，使是以为直角边的直角三角形．
18．如图二次函数（）的图象，与直线相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A
(1)求此二次函数的表达式；
(2)过点A，C作直线，求证：；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
试卷第10页，共10页
试卷第9页，共10页
参考答案：
1．(1)直线的函数关系式为，抛物线函数关系式为；
(2)①；②．
2．(1)，
(2)
(3)
3．(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
(3)存在， ，
4．(1)
(2)点的坐标为或
(3)
5．(1)
(2)最小值为，点；
(3)或或或．
6．(1)
(2)四边形面积的最大值为4，此时点的坐标为：
(3)存在；或或或．
7．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)当最大时，点M的坐标为；
(3)当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
8．(1)
(2)S有最大值，此时点的坐标为；
(3)点的坐标为或或或，
9．(1)
(2)，面积最大为
(3)存在，点P的坐标为或
10．(1)；
(2)
(3)
11．(1)，，
(2)当时，四边形是平行四边形
(3)存在，点的坐标为，，
12．(1)
(2)，
(3)符合条件点的横坐标分别为、、、．
13．(1)
(2)存在，
(3)
14．(1)
(2)
(3)点P坐标为或．
15．(1)；；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)，，，
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)；，
(2)存在点，使四边形的面积最大为
(3)存在，点、，使、是以为直角边的直角三角形
18．(1)
(3)存在，直线的解析式为或
答案第2页，共3页
答案第3页，共3页
