人教A版（2019）选择性必修第三册 7.4 二项分布与超几何分布
一、单选题
1．某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆的圆心到直线的距离为，若，则使的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境 陶冶情操 修身养性 生慧増智，而且还与天象易理 兵法策 治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲 乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，当第次摸取到的是红球时，；当第次摸取到的是白球时，，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为（ ）
A． B．
C． D．
7．某同学进行3分投篮训练，若该同学投中的概率为，他连续投篮n次至少得到3分的概率大于0.9，那么n的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为
A． B． C． D．
10．设随机变量，若二项式，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
12．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
14．某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
15．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、填空题
16．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.
17．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲 乙 丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为，则的数学期望为___________.
18．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．
三、解答题
19．张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰．
（1）求张先生通过面试的概率；
（2）记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望
20．我省实行的新高考方案3＋1＋2模式，其中统考科目：3指语文、数学、外语三门，不分文理；学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，1指首先在物理、历史2门科目中选择一门；2指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．
(1)求该校最终选地理的学生概率；
(2)该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．
①求随机变量的概率；
②求X的分布列以及数学期望．
21．某中学选取名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩（单位：分）分成范围为、、、、、，共组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）若将成绩大于或等于分视为高分，试求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）若从参加竞赛的学生中随机抽取人，抽到的学生成绩在范围记分，在范围记分，用表示被抽取得名学生的总记分，求的分布列和数学期望.
22．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入不低于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为ξ，求E（ξ）．
附参考数据：≈2.63，
若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
本题首先可以求出当时的概率，然后求出当时的概率，最后两者相加，即可得出结果.
【详解】
当时，；
当时，，
则，
故选：C.
本题考查超几何分布的概率计算公式，能否将分为、两种情况是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.
2．D
由点到直线距离公式求得k的值，再由二项分布概率公式可求得的值.
【详解】
由题意，知圆心坐标为，
圆心到直线的距离为
则，解得或．
因为，所以．
因为，
所以．
故选：D．
本题考查点到直线距离公式，考查二项分布概率公式，属于基础题.
3．C
求出,即得解.
【详解】
由题得,
所以.
故选：C.
本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．C
利用二项分布的方差公式可求得的值.
【详解】
，因此.
故选：C.
本题考查二项分布的方差的计算，考查计算能力，属于基础题.
5．C
甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率．
【详解】
解：甲以获胜为事件，甲以胜为事件，则，互斥，
且，，
所以在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：.
故选：C．
6．B
根据S7=3知7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合古典概型概率求出每次摸球时摸到红球的概率和摸到白球的概率，从而可选出正确答案.
【详解】
解析：由S7=3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，每次摸红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7=3的概率为，
故选:B.
关键点睛:
本题关键是求出7次摸球中摸取红球和白球的次数，结合组合的思想进行求解.
7．B
先计算一次都不中的概率，再求至少中一次的概率，列关系求解即可.
【详解】
由题意可知，该同学连投n次，一次都不中的概率为：，
故n次投篮至少得到3分即至少中一次的概率为，得，∴.
故选：B.
本题考查了n次独立重复实验至少有一次发生的概率和指数不等式，属于基础题.
8．A
利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解.
【详解】
该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，
有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，
故选：A.
9．B
利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．
【详解】
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．
所以，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝.
本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．C
利用二项式的展开式和题设条件，得到且，结合选项和二项分布的期望与方程的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，二项式，
因为，
可得且，
若选项A成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以A错误；
若选项B成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以B错误；
若选项C成立，则， 解得，
代入上式验证成立，所以C正确；
若选项D成立，则， 解得，显然不成，所以D错误.
故选：C.
11．B
先求得该产品能销售的概率，易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，然后利用二项分布求解.
【详解】
由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
，
故选：B．
12．A
最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.
【详解】
由题得最多人被感染的概率为.
故选：A
方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
13．B
由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【详解】
由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
14．D
设第k发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第、k、发子弹击中目标的概率，进而可得且，即可得关于k的不等式组，求解可得答案．
【详解】
根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（，，，，），
则有且，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.
故选：D．
本题考查n次独立重复试验中发生k次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
15．C
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
16．18
直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.
【详解】
继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，
由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，
加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.
故答案为：18.
17．
由分步乘法的计数原理，得出甲 乙 丙三个人每个人连续有放回地摸三次球共有125种情况，再分别列出三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件，由分类加法计数原理得出共有31种情况，根据古典概型的概率求法，从而得出三个球编号之和恰为4的倍数的概率，且服从二项分布，最后由二项分布的数学期望，即可求出结果.
【详解】
解：甲 乙 丙三个人每个人连续有放回地摸三次球，
则总共有：种情况，
三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件有：
有3种、有6种、有6种、有3种、
有3种、有3种、有6种、有1种，
则共有：3+6+6+3+3+3+6+1=31种情况，
∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为，
由题意，
∴的数学期望：.
故答案为：.
18．32
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
【详解】
根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
19．（1）；（2）分布列见解析；期望为．
(1)利用互斥事件的概率加法即得；(2)利用二项分布写出分布列．
【详解】
解：记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件；前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件，前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件．则
根据题意，得
因为事件互斥，所以
即张先生能够通过面试的概率为
根据题意，
表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，
所以
表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误(淘汰)，或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，
所以
表明前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确，
所以
所以的分布列为：
故
20．(1)；
(2)分布列见解析；2.1.
(1)根据相互独立事件的概率公式计算即可；
(2)①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别求出
时的概率，进而得到随机变量X的分布列，结合二项分布数学期望计算公式即可得出结果.
(1)
该校最终选地理的学生为事件A，
，
所以该校最终选地理的学生为；
(2)
①：由题意知，
X的所有可能取值为0、1、2、3，且，
所以；
②：由，得
，
，
，
，
所以随机变量X的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以.
21．（1）；（2）分布列见解析，（分）.
（1）根据频率分布直方图可计算得出参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】
（1）据题设知，所求参加竞赛学生成绩的高分率；
（2）参加竞赛的学生成绩在范围的有（人），在范围的有人，
随机变量的可能取值是、、.
，，.
所以，随机变量的分布列为
所以，（分）.
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
22．(1)17.40千元
(2)①14.77千元；②977.3
（1）根据直方图，平均值=（频数 组距） 组距 数据区间中点值即可；
（2）根据正态分布函数X与 之间的关系可以计算出最低年收入，由于农民收入是相互独立的，可以看作是n次独立实验，即服从二项分布，可以算出 的数学期望.
(1)
＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40（千元），
故估计50位农民的年平均收入为17.40千元；
(2)
由题意知X～N（17.40，6.92），
①P（X≥μ－σ）＝0.5＋ ≈0.841 4，
所以μ－σ≈17.40－2.63＝14.77时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元；
②由P（X≥12.14）＝P（X≥μ－2σ）＝0.5＋ ≈0.977 3，
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，
则ξ～B（1 000，p），其中p＝0.977 3，
所以E（ξ）＝1 000×0.977 3＝977.3；
综上，=17.40（千元），最低年收入大约为14.77千元，E（ξ）＝977.3
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
