数学参考答案
1．C
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】因为向量，，且，则，解得.
故选：C.
2．B
【分析】根据，求出，然后求解.
【详解】，即，，
故选：B.
3．B
【分析】利用诱导公式结合同角公式求出，再利用和角的正切计算作答.
【详解】由得：，即，而是第四象限角，
则有，，
所以.
故选：B
4．A
【分析】根据相等向量、共线向量、零向量的定义判断即可；
【详解】解：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若，，则，故③错误，①正确，
模为的向量叫做零向量，故②正确，
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也称为共线向量，规定零向量和任意向量平行，故④错误；
故选：A
5．C
【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】，
故选：C
6．D
【分析】根据点共线可得向量共线，根据向量共线定理，即可求解.
【详解】,因为三点共线,所以,即存在,使得,故
故选：D
7．B
【分析】根据给定条件，可得，再利用和角的正切公式计算作答.
【详解】依题意，，则，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
故选：B
8．D
【分析】构造向量，利用向量垂直和，结合基本不等式得出的最大值2，结合图形可得答案.
【详解】如图，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且，
由题意得：，令，则三点共线,
，则三点共线,
故有共线，由题意与垂直，，知，且为定值，
在中，，当且仅当时，取最大值2，
此时面积最大，则到的距离最远，而，故当且仅当，
即关于轴对称时，最小，此时到的距离为，
所以，故，即的最小值为.
故选：D.
9．BD
【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.
【详解】由题意，向量，可得，
所以，所以A正确，B错误；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以与方向相反，所以D错误.
故选：BD.
10．ACD
【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可.
【详解】，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD
11．AD
【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；
选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；
选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；
选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形.
【详解】选项A：对非零向量，
，
若使成立，即使成立，
则，即，所以与共线且同向，选项A正确；
选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B错误；
选项C：因为单位向量的夹角为60°，
所以
，所以时，取最小值，故选项C错误；
选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，
所以，即为等腰三角形,所以选项D正确.
故选：AD
12．ABD
【分析】先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的周期性，单调性和对称性即可判断ABC；令，则，时，成立，可转化为，时，成立，作出函数和的图象，结合图象即可判断D.
【详解】，
对于A，，故A正确；
对于B，当时，，
所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C，因为，
所以不是的一个对称中心，故C错误；
对于D，令，由，得，
设，不妨设，则，
则，时，成立，
即，时，成立，即成立，
令，
则方程有两个不同的解，
如图作出函数和的图象，
由图可知的最大值为，
即，所以，
即的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】先化为，再根据同角平方关系和差角正弦公式计算即可.
【详解】因为α为锐角，所以，，
故.
故答案为：
14．
【分析】根据与的夹角为钝角，由，且与的不共线求解.
【详解】解：由，得．
又与的夹角为钝角，
∴，得，
若，则，即．
当时，与共线且反向，不合题意．
综上，k的取值范围为，
故答案为：．
15．
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
故
，
因为，所以，
故当，时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
16． 3
【分析】解方程求得，由两角和的正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得.
【详解】因为，所以．由，解得，
从而
．
故答案为：；
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.
【详解】（1）由题知，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
向量与向量的夹角为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用两角和的正弦公式即可得解；
（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据两角差的正切公式即可得解.
【详解】（1）因为为第二象限角，为第一象限角，，
所以，
所以.
（2），
所以，
所以.
19．（I）4；（II）.
【分析】（I）建立坐标系，利用坐标求解数量积，或者利用数量积的定义求解；
（II）求出向量的坐标，结合向量垂直的坐标表示可求的值，或者位置关系求解.
【详解】法1：（I）
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
；
（II）
，
．
法2：
（I）；
（II），∴，
∵，，
∴与重合，
∴．
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据向量的数量积和三角函数的关系，即可求出；
（2）根据向量的平行和同角的三角函数的关系，即可求出．
【详解】向量，，
，，
为锐角，，，．
，，，
，
【点睛】本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题.
21．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）求出，利用模长公式列出方程，求出，证明出；
（2）根据得到，平方相加后得到的值.
【详解】（1），
故，
即，
化简得：，
故；
（2），
所以，
两式平方相加得：，
故.
22．(1)
(2)最大值为，最小值为－.
(3)
【分析】(1)根据两角和差，二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求周期即可；
(2)根据自变量范围求，结合单调性求最值；
(3)由已知条件结合两角和差公式求值.
【详解】（1）
，
.
， 的最小正周期为.
（2）因为，所以
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
且，，，
所以，的最大值为，最小值为－.
（3）因为，，所以，，
又因为 所以，，
故，，
所以，
.2022-2023学年高一年级第二学期第一次学情调研
数学试卷
班级：___________ 姓名：___________ 考号：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知向量，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．已知是单位向量，若，则（ ）
A． B． C．8 D．
3．已知是第四象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．7
4．在下列说法中：
①若，，则； ②零向量的模长是；
③长度相等的向量叫相等向量； ④共线是在同一条直线上的向量．
其中正确说法的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
5．如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ）
B．
C． D．
6．设为平面内一个基底，已知向量，，，若，，三点共线，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
8．设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．与可以作为基底
C． D．与方向相同
10．下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．若非零向量满足，则与共线且同向
B．若非零向量满足，则与的夹角为
C．若单位向量的夹角为，则当取最小值时，
D．在中，若，则为等腰三角形
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是
B．函数在上单调递增
C．的一个对称中心是
D．若，时，成立，则的最大值为
三、填空题（每题5分，共20分）
13．若，且α为锐角，则=______
14．若向量，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
15．如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．
16．若，则________，____．
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知向量，．
(1)求； (2)已知，且，求向量与向量的夹角．
18．（12分）已知为第二象限角，为第一象限角，.
(1)求的值； (2)求的值.
19．（12分）已知平行四边形中，，点是线段的中点．
（I）求的值；
（II）若，且，求的值．
20．（12分）设向量，其中为锐角．
若，求的值；
若，求的值．
21．（12分）已知.
(1)若，求证：；
(2)设，若，求的值.
22．（12分）已知函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值；
(3)若，，求的值试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
