九龙坡区高2023届学业质量调研抽测（第二次）
高三数学试卷
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足，i是虚数单位，则（ ）
A． B．2i C． D．
3．下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的80%分位数为（ ）
A．75 B．77.5 C．78 D．78.5
4．正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体（如图2），设E，F，H分别为PA，PB，BC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．AP与CQ为异面直线
B．经过E，F，H的平面截此正八面体所得的截面为正五边形
C．平面平面PCD
D．平面平面PCD
5．已知拋物线C：与直线交于A，B两点，且，设抛物线C的焦点为F，则（ ）
A． B．7 C．6 D．5
6．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、，太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（ ）
A．1560种 B．2160种 C．2640种 D．4140种
7．已知三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，．若球M的表面积为，，则三棱雉的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．32
8．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
C．
D．
10．若a，b，c都是正数，且则（ ）
A． B． C． D．
11．已知F是双曲线E：（，）的右焦点，直线与双曲线E交于A，B两点，M为双曲线E上异于A，B的一点，且MA，MB不与坐标轴垂直，O为坐标原点，P，Q分别为AF，BF的中点，且，记双曲线E的离心率为e，直线MA与MB的斜率分别为，．则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列满足，，设，记数列的前2n项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量，，若，则________．
14．写出一个使等式成立的角的值为________．
15．已知是定义在R上的偶函数且，是奇函数，则________．
16．已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为________；记M是CD的中点，则的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）若，△ABC的面积为，求边BC的中线AD的长．
18．（12分）
已知等差数列满足，．数列的前n项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）对于集合A，B，定义集合．设数列和中的所有项分别构成集合A，B，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和．
19．（12分）
某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取100人，把他们的治愈记录进行比较，结果如下表所示：
治愈 未治愈 合计
使用新药 60
未使用新药 50
合计
（1）请完成列联表，是否有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？
（2）把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取3人，其中被治愈的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
（3）该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由．
（参考数据：，，，，，，）
附：，
0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
20．（12分）
如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，平面PAB．，M为PB的中点．
（1）求证：直线平面PCD；
（2）若，，求直线EM与平面PCE所成角的正弦值．
21．（12分）
已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记△OMN，，的面积分别为，，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，，求m的取值范围．
22．（12分）
已知函数，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知，，求证：；
（3）已知n为正整数，求证：．
