第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示同步练习
2022-2023学年下学期高一数学人教A版（2019）必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知为两个不共线的向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，，是对角线的交点，是的中点，又，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．
A． B． C．4 D．12
4．已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．．
6．如图，已知向量、、、，则表示成与的线性组合为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，点D在BC边上，且.设，，则可用基底，表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
二、填空题
11．已知三点共线，是直线外一点，若，则________．
12．已知向量，，且，则x的值为______．
13．已知点O是锐角的外心，，，，若，则______．
14．已知点，，，，则向量在方向上的数量投影是______．
15．已知向量，，，则________．（填写=或）
三、解答题
16．如图，在中，点A在BC上，且点B关于点A的对称点是点C，点D是将分成的一个内分点，DC与OA交于点E，设，．
(1)用、表示向量、；
(2)若，求实数的值．
17．已知平面向量，，若存在不同时为零的实数k和t，使，，且．
(1)试求函数关系式；
(2)求使的t的取值范围．
18．设两个非零向量，不共线，，，．
(1)求证：A、B、D共线；
(2)试确定实数k，使和共线．
19．已知x，y，m，，则试用向量方法求的最值．
20．在中，已知A、B、C三点的坐标分别为、、，求证：是直角三角形．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】由向量平行可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】因为，则即，则
解得：.
故选：A
2．B
【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可.
【详解】
所以，
故选：B
3．B
【分析】利用转化即可
【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，
所以，所以．
故选：B
4．A
【分析】由平面向量线性运算及共线的的坐标表示运算可得解.
【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.
当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，
则“m＝－6”是“”的充要条件.
故选：A.
5．A
【分析】依据题给条件列出关于的不等式组，解之即可求得实数的取值范围
【详解】向量，且与的夹角为钝角
则，则，且与不共线
则，解之得
故选：A
6．C
【分析】首先设的终点,再由三角形法则表示,用与表示即可.
【详解】如图建系设,,的终点为,的终点为,
则，又因为 ，，所以
所以
故选: .
7．C
【分析】根据向量的加减运算法则、数乘运算即可求解.
【详解】因为，所以.
所以
故选：C
8．A
【分析】根据向量的线性运算求得的坐标.
【详解】设为坐标原点，
,
整理得.
故选：A
9．D
【分析】利用向量的坐标表示求，然后根据向量的平方等于模长的平方和数量积的运算律求解即可.
【详解】由可得，
因为，解得，
所以，
又因为，
所以与的夹角为，
故选：D
10．C
【分析】根据向量共线定理逐一判断.
【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；
对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；
对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；
对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；
故选：C
11．1
【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.
【详解】因为三点共线，
则存在唯一实数对，使得，
又，
所以1．
故答案为：1.
12．6
【分析】根据平面向量平行的坐标运算即可.
【详解】解：因为，，且，
所以，即.
故答案为：6.
13．
【分析】先应用外心是垂直平分线的交点,再应用数量积的几何意义求得和列出方程组求解即可.
【详解】如图，点O在AB、AC上的射影是点D、E，它们分别为AB、AC的中点．
由数量积的几何意义，可得，．
依题意有，即．
同理，即．
将两式相加得，所以．
故答案为: .
14．
【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为点，，，，
所以
则向量在方向上的数量投影是
故答案为:
15．
【分析】利用向量数量积运算法则和线性运算法则计算出与，得到两者不相等.
【详解】，故，
，故，
故.
故答案为：
16．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意可得、，根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）依题意、、三点共线，可设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】（1）解：由题意知是的中点，则，
又点是将分成的一个内分点，得，
于是，
．
（2）解：由题图知、、三点共线，可设，
又，，
于是，得，解得，所以．
17．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据列方程即可得出k关于t的函数；
（2）解不等式得出t的范围.
【详解】（1）由，，得，，．
因为，所以
，于是，即．
（2）由，得，即，解得或．
18．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）证明出，即可证得结论成立
（2）根据向量共线得到，进而求解结论
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，
因为、共点，所以、、三点共线；
（2）∵和共线，
存在实数，使得，
∵非零向量，不共线，
且，可得或
19．最大值，最小值
【分析】设，由求解.
【详解】解：设，
由题意得，
则，
当时，有最大值，此时同向；
当时，有最小值，此时反向；
20．详见解析
【分析】利用向量的数量积即可证明，进而得到，则是直角三角形．
【详解】中，A、B、C三点的坐标分别为、、，
则，
则，则
则，则是直角三角形．
答案第1页，共2页
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