6.1 平面向量的概念
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．温度是向量 B．速度、加速度是向量
C．单位向量相等 D．若，则和相等
2．如图，向量，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．P是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．已知空间四边形ABCD中，，，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③（为实数），则必为零；
④为实数，若，则与共线；
⑤向量的大小与方向有关．
其中正确的命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（-1，1）
C．（-1，+∞） D．（-∞，1）
8．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．
10．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（ ）
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
二、填空题
11．如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是________．
12．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集，向量的集合不重合且，则集合T有______个元素．
13．已知为内一点，且满足，则为的________心．
14．已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.
15．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________.
三、解答题
16．已知向量．
(1)若向量与垂直，求实数k的值；
(2)若向量，且与向量平行，求实数k的值．
17．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
(1)试用向量表示；
(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.
18．如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
19．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量，使；
(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？
参考答案：
1．B
【分析】根据向量的定义判断．
【详解】温度只有大小，没有方向，不是矢量，A错误；
速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值．由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量．时间的变化，只有大小，是一个标量．因此加速度是一个矢量，也就是向量，B正确；
向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；
已知，但与的方向不一定相同，则与不一定相等，D错误．
故选：B．
2．C
【分析】根据向量的线性运算法则结合图形可得的表达式.
【详解】根据向量运算法则可得，
又，
所以，
故选：C.
3．B
【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.
【详解】由，可得，即，，
等式两边平方，化简得，，
因此，是直角三角形.
故选：B.
4．B
【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果．
【详解】
如图，连接，则，
故选：B．
5．A
【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；
对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；
对于③，当时，可以为任意实数，③错误；
对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；
对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.
故选：A.
6．B
【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.
【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，，
所以选项A错误，选项B正确，
又向量不能比较大小，
所以选项C，D错误，
故选：B
7．C
【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求.
【详解】因为与同向，所以可设
则有，又因为，，
所以
所以的取值范围是(-1，+∞)，
故选：C.
8．C
【分析】根据向量共线判断三点共线即可．
【详解】解：
，
又与过同一点B，
∴ A、B、D三点共线．
故选：C．
9．D
【分析】由可知四边形是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.
【详解】因为，则四边形是平行四边形，结合题图，
，A错误；
，B错误；
与方向不相同，C错误；
，D正确.
故选：D
10．B
【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断．
【详解】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．
故选：B．
11．,
【分析】根据相等向量的定义确定即可.
【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以，,
因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与相等的向量为，.
故答案为：，.
12．12
【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.
【详解】由已知得，，且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：，
以为起点：
综上所述，集合T有12个元素.
故答案为：12
13．重
【分析】如图，取的中点，利用向量的加减法运算得到与共线，进一步得到三点共线，且，结合重心的性质可判断为的重心．
【详解】
如图，取的中点由．得，
又，故，则与共线，
又，有公共点，
故三点共线，且，
因此可得为的重心．
故答案为：重.
14．
【分析】根据题设可得圆O的半径为1，结合已知条件及含的直角三角形的性质即可求.
【详解】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：
在中，，，所以.
故答案为：
15．##
【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为，分别为线段，的中点，
所以,
,
,
所以
,
所以，解得，
所以，
所以的值为.
故答案为：.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；
【详解】（1）因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
（2）因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以.
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解；
（2）设，由及三点共线联立即可求解.
【详解】（1）因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得，
所以.
（2）设，
由（1）可得①，②，
又三点共线，所以③，
由①②可得，，代入③式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值.
【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用.
18．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【详解】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
19．(1)图见解析
(2)图见解析，终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）（2）根据相等向量与向量模的几何意义，画出向量，即可得解；
（1）
解：根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．
图如下所示：
（2）
解：由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.
