顺义区 2023 届高三第二次统数学试卷参考答案
一、选择题 ADBCC BDBAA
二、填空题
31
（11） 5 （12） 8 （13）8 ，
2
2
（14） f (x) = (x 1) （答案不唯一）
（15）①②③（答对一个得 2 分，答对两个得 3 分，全部答对得 5 分，有错误不给分）
三、解答题
（16）(本小题 13 分)
3
解：（Ⅰ）因为 sin A = sin B ，
2
a b
在△ ABC 中，由正弦定理 = ，…………………………………………2 分
sin A sin B
3
可得：a = b , ………………………………………………………………………3 分
2
又因为 a = 6 ，
所以b = 4 . ……………………………………………………………………………5 分
（Ⅱ）选择条件① 按公式酌情给分，最高 4 分；
选择条件②
设 BC 边上的中线为 AD ，则 AD = 17 ，CD = 3，……………………………6 分
在△ ACD 中，由余弦定理得：
2
2 2
AC 2 +CD2 AD2 4 + 3 ( 17 ) 1
cosC = = = ，…………………………9 分
2 AC CD 2 4 3 3
1 2 2 2
因为 cosC = ，C (0, )，所以 sinC = 1 cos C = ，……………11 分
3 3
1 1 2 2
所以△ ABC 的面积为 S = absinC = 6 4 = 8 2 .………………13 分
2 2 3
选择条件③
方法 1：
由题设，因为 sin 2A = 2sin Acos A，所以 sin B = 2sin Acos A , ………………6分
3
因为sin A = sin B ，所以 sin B = 3sin B cos A
2
因为 B (0， )，所以 sin B 0 ，…………………………………………………7分
1
所以 cos A = , ………………………………………………………………………8分
3
2 2 2
由余弦定理 a = b + c 2bccos A可得：…………………………………………9 分
1
1
36 =16+ c2 2 4 c ,
3
2 10
整理得3c 8c 60 = 0，解得 c = 6或- （舍），………………………………10 分
3
1 2 2
因为cos A = ，A (0, )，所以 sin A = 1 cos2 A = ，………………11 分
3 3
1 1 2 2
所以△ ABC 的面积为 S = bcsin A = 4 6 = 8 2 . ………………13 分
2 2 3
方法 2：由题设，因为 sin 2A = 2sin Acos A，所以 sin B = 2sin Acos A , ……………6 分
3
因为sin A = sin B ，所以 sin B = 3sin B cos A
2
在△ ABC 中，因为b a ，所以 B A ，即 B 0, ，所以 sin B 0 ，……7 分
2
1
所以 cos A = , ………………………………………………………………………8 分
3
1 2 2
因为 cos A = ， A (0, )，所以sin A = 1 cos2 A = ，
3 3
2 2 2 2 4 2
所以sin B = sin A = = ， …………………………………………9 分
3 3 3 9
2 7
所以cos B = 1 sin B = ， …………………………………………………10 分
9
因为 A+ B +C = ，
2 2 7 1 4 2 2 2
所以 sinC = sin (A+ B) = sin Acos B + cos Asin B = + = ，
3 9 3 9 3
…………………………………………………………………………………………11 分
1 1 2 2
所以△ ABC 的面积为 S = absinC = 6 4 = 8 2 .………………13 分
2 2 3
方法 3：因为 sin B = sin 2A 且 B (0, ) , 2A (0,2 )
所以 B + 2A = 或 B = 2A， ………………………………………………………7 分
因为b a ，所以 B + 2A = ， ……………………………………………………8 分
又因为 A+ B +C= ，
所以 A=C 即 a = c=6， ………………………………………………………………9 分
所以△ ABC 为等腰三角形，设 AC 边上的高为 BD，则 AD=2，
2 2
由勾股定理 BD= AB AD =4 2 ，……………………………………………11 分
1 1
所以△ ABC 的面积为 S = b BD= 4 4 2=8 2 . ……………………13 分
2 2
2
（17）(本小题 13 分)
（Ⅰ）证明：方法 1：因为平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1，
平面ACE 平面ABCD = AC ，
平面ACE 平面A1B1C1D1 = EF ，
所以 EF // AC .---------------------3 分
连接 A1C1 .
因为 AA1 // CC1, AA1 = CC1 ,
所以四边形 AA1C1C 是平行四边形.
所以 A1C1 // AC , EF // A1C1 .------------------------------------------5 分
因为 E 是 A1D1 的中点,
所以点 F 为C1D1的中点.----------------------------------------------6 分
方法 2：连接 A1C1 .
因为 AA1 // CC1, AA1 = CC1 ,
所以四边形 AA1C1C 是平行四边形.
所以 AC // A1C1 ,-----------------------------------------------------1 分
因为 AC 平面 A1B1C1D1，
所以 AC // 平面 A1B1C1D1，--------------------------------------------3分
因为 AC 平面ACE ，平面ACE 平面A1B1C1D1 = EF ，
所以 AC // EF .------------------------------------------------------5 分
所以 EF // A1C1 .
因为 E 是 A1D1 的中点,
所以点 F 为C1D1的中点.----------------------------------------------6 分
(Ⅱ)解：方法 1：因为 DA, DC, DD1两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 D xyz .
则 D(0,0,0) , A(2,0,0) , E(1,0,2) ,C(0,4,0) , D1(0,0,2) .
则 AC = ( 2,4,0), AE = ( 1,0,2) .
设平面 ACE 的法向量为m = (x, y, z)，
m AC = 0 2x + 4y = 0
则 ,即 ------------------------------------8分
m AE = 0 x + 2z = 0
令 x = 2，则 y =1, z =1，所以m = (2,1,1) .----------------------------10分
3
设G(2,t,0)，则 D1G = (2,t, 2),
由 D1G AC = 0得 4+ 4t = 0 ， t =1，G(2,1,0)
AG = (0,1,0)------------------------------------------------------11 分
AG m 1 6
点G 到平面 ACE 的距离 d = = = .--------------------13 分
m 6 6
方法 2：连接DG .
因为 DD1 ⊥平面ABCD ,
所以 DD1 ⊥ AC .
因为 D1G ⊥ AC , DD1 DG = D ,
所以 AC ⊥平面D1DG ,
所以 AC ⊥ DG .
在平面 ABCD 内，由 tan ADG tan DAC =1,可求出 AG =1.------8 分
由勾股定理求出 AC = 20，AE = 5,CE = 21 ,
AC 2 + AE 2 CE2 1
在△ ACE 中由余弦定理得 cos CAE = = ,
2AC AE 5
1 2 6
则 sin CAE = 1 ( )2 = ，
5 5
1
S ACE = AC AE sin CAE = 2 6 . -----------------------------10分
2
1
S ACG = AG BC =1
.
2
设点G 到平面 ACE 的距离为 d ，
1 1
由VG ACE =VE ACG 得 2 6 d = 1 2，------------------------12分
3 3
6
解得 d = ------------------------------------------------------13 分
6
（18）(本小题 14 分)
解：（Ⅰ）记“从以上所有排片场次中随机选取 1 场，该场的上座率大于 70%”为
事件M .---------------------------------------------------------------------------------------------1 分
影片 A,B,C,D 的上座率大于 70%的场数共有 5+4+3+3=15，-----------------------------2 分
5+ 4 + 3+ 3 15 3
所以 P(M ) = = = .----------------------------------------------------4 分
12 +10 + 9 + 9 40 8
4
（Ⅱ）记“从影片 A,B,C 的以上排片场次中各随机抽取 1场，每场的上座率大于 70%”分
5 4 2 3 1
别为事件 A, B,C .其中 P(A) = , P(B) = = , P(C) = = ;----------------7 分
12 10 5 9 3
这 3 场中至少有 2 场上座率大于 70%的概率为
P(ABC + ABC + ABC + ABC )
5 2 1 2 1 5 1 5 2 5 2 1
= (1 ) + (1 ) + (1 ) + .---------------11 分
12 5 3 5 3 12 3 12 5 12 5 3
59
= -----------------------------------------------------------------------------------------------12 分
180
2 2
（Ⅲ） s s . -----------------------------------------------------------------------------------------14 分 1 2
19. (本小题 15 分)
解：（Ⅰ） f '(x) = 2x sin x, ---------------------------------------------------------------------------------2 分
f (0) =1, f '(0) = 0 -----------------------------------------------------------------------------------------3 分
在点 (0, f (0)) 处的切线方程 y=1；---------------------------------------------------------------------4 分
（Ⅱ） f '(x) = 2x sin x, 令g(x) = 2x sin x, 则 g '(x) = 2 cos x, ------------------------5 分
x [ 2 , 2 ]
g '(x) 0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------6 分
g(x)在[ 2 , 2 ]上单调递增----------------------------------------------------------------------7 分
g(0) = 0,
x [ 2 ,0),g(x) = f '(x) 0, x (0,2 ],g(x) = f '(x) 0,
f (x)在[ 2 ,0)上单调递减，在(0,2 ]上单调递增, ---------------------------------9 分
当x = 0时，f (x)取最小值1，当x = 2 或2 时，f (x)取最大值4 2 +1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
（Ⅲ）要证明对任意的 s t ，有 g(s) g(t) 3s 3t ，
只需证明对任意的 s t ，有 g(s) 3s g(t) 3t
记G(x) = g(x) 3x = x sin x， -------------------------------------------------------------12 分
G '(x) = 1 cos x 0 .
G(x)在上(- ,+ )上单调递减. -----------------------------------------------------------13 分
s t.
G(s) G(t),即g(s) 3s g(t) 3t .
g(s) g(t) 3s 3t .-----------------------------------------------------------------------------15 分
5
20. (本小题 15 分)
解：（Ⅰ）由题意可知：b = 2,a = 2 2 -------------------------------------------------------------2 分
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 + =1.----------------------------------------------------------4 分
8 4
（Ⅱ）直线 l 的方程为 y = kx +1 ----------------------------------------------------------------------------5 分
设M (x1, y1 )， N (x2 , y2 )，
x2 y2
x2 y2 + =1
直线 l 与椭圆方程 + =1联立可得： 8 4 ------------------------------------------6 分
8 4
y = kx +1
消去 y 可得： (2k 2 +1) x2 + 4kx 6 = 0 ，
4k 6
则 0, x1 + x2 = , x1x2 = . ----------------------------------------------------------8 分
2k 2 +1 2k 2 +1
y 2 (t 2 x t 2 x1 ) 1 ( ) 1
直线 MA 的方程为： y = x + 2，令 y = t 可得 xP = = ,------9 分 x1 y1 2 kx1 1
y2 + 2 (t + 2) x (t + 2) x
直线 NB 的方程为： y = x 2 y = t
2 2
，令 可得 xQ = = .------10 分 x2 y2 + 2 kx2 +3
| DP |=| DQ |,
| xP |=| xQ | -----------------------------------------------------------------------------------------------------11 分
法一：易知xP与xQ异号
xP +xQ =0
(t 2) x1 (t + 2) x2
+ =0
kx1 1 kx2 +3
(t 2) x1(kx2 +3)+ (t + 2) x（2 kx1 1）
=0
（kx1 1）(kx2 +3)
(t 2) x1(kx2 +3)+ (t + 2) x（2 kx1 1）=0
(t 2) (kx1x2 +3x1)+ (t + 2（) kx1x2 x2）=0
6k 6k 4k
(t 2) ( +3x )+ t + 2（2 1 ( ) + x1+ ）=0 2k +1 2k 2 +1 2k 2 +1
6k 2k
(t 2) ( +3x1)+ (t + 2（) + x1）=0
2k 2 +1 2k 2 +1
2k
(x1 )[3(t 2)+ (t + 2)]=0 ----------------------------------------------------------------14 分
2k 2 +1
6
2k
(x1 )(4t 4)=0
2k 2 +1
2k
x2 (y1 2) = x2 (kx1 1) = kx1x2 x2 = + x2 1 02k +1
t =1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------15 分
法二：
(t 2) x1 (t + 2) x2
| |=| |
kx1 1 kx2 +3
t 2 x2 (kx1 1) kx1x2 x = = 2 .
t + 2 x1 (kx2 +3) kx1x2 +3x1
3
kx1x2 = (x1 + x2 ) ,
2
3 3 1
(x1 + xkx x x 2 ) x2 x1 + x2 1
1 2 2 = 2 = 2 2 = . -------------------------------------------13 分
kx x +3x 3 9 31 2 1 (x1 + x2 )
3
+3x1 x1 + x2
2 2 2
t 2 1
=
t + 2 3
t =1或t = 4，-------------------------------------------------------------------------------------------------14 分
2 t 2，
t =1. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------15 分
法三：
(t 2) x1 (t + 2) x2
| |=| |
kx1 1 kx2 +3
t 2 x2 (kx1 1) kx x x
= = 1 2 2 .
t + 2 x1 (kx2 +3) kx1x2 +3x1
6 4k 2k
k( ) ( x1) + xkx x 2 2 2 11 2 x2 = 1+ 2k 1+ 2k = 1+ 2k
1
= . -----------------------13 分
kx 6 6k1x2 +3x1 3k( )+3x1 +3x1
1+ 2k 2 1+ 2k 2
t 2 1
=
t + 2 3
t =1或t = 4，----------------------------------------------------------------------------------------------------14 分
2 t 2，
t =1. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------15 分
7
(21)(本小题 15 分)
解：（Ⅰ） (A) = 4, 2,0,2 ;--------------------------------3 分（多写或少写一个元素扣 1 分）
（Ⅱ）首先，0 A；-------------------------------------------------------------------------------------------4 分
其次 A 中有 4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负. ---------------------------------------5 分
记 A = 0,a,b,c,d ，不妨设 a 0 b c d 或者a b c 0 d -----------------------6 分
①当 a 0 b c d 时， ab,ac,ad = 6, 8, 12 , bc,bd ,cd = 12,18,24 ，
相乘可知bcd = 72，a3bcd = 576 ，从而 a3 = 8 a = 2 ，
从而 b,c,d = 3,4,6 ，所以 A = 0, 2,3,4,6 ；----------------------------------------------------8 分
②当 a b c 0 d 时，与上面类似的方法可以得到 d 3 = 8 d = 2
进而 b,c,d = 3, 4, 6 ，从而 A = 0,2, 3, 4, 6 -----------------------------------------10 分
所以 A = 0, 2,3,4,6 或者 A = 0,2, 3, 4, 6 .
（Ⅲ）估值+构造 需要分类讨论 A 中非负元素个数.
先证明 (A) 13．考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 (A)不变，故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：A 中没有负数．
不妨设0 a1 a2 a9 ，则0 a1a2 a2a3 a2a4 a2a9 a3a9 a8a9
上式从小到大共有 1+7+6=14 个数，它们都是 (A)的元素，这表明 (A) 14. ----------12
分
情况二： A 中至少有一个负数．
设 b1,b2 , ,bs 是 A 中的全部负元素， c1,c2 , ,ct 是 A 中的全部非负元素.
不妨设bs bs 1 b1 0 c1 c2 ct
其中 s, t 为正整数， s + t = 9, s 4, t 5 ．
于是有0 b1c1 b1c2 b1ct b2ct bsct
以上是 (A)中的 s + t 1= 8个非正数元素：另外，注意到 c2c3 c2c4 c2c5 c3c5 c4c5
它们是 (A)中的 5 个正数．这表明 (A) 13.
综上可知，总有 (A) 13. ---------------------------------------------------------------------------------14 分
2 3 2 3 4 5 6
另一方面，当 A = 0, 1, 2, 2 , 2 时， (A) = 0, 1, 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 中恰
有 13 个元素. -------------------------------------------------------------------------------------------------------15 分
8
综上所述， (A)中元素个数的最小值为 13.
9
